函数的单调性与导数(2).ppt

1 3导数在研究函数中的应用1 3 1函数的单调性与导数 2 运用导数解决函数的单调性问题 2 设函数f x x alnx a R 讨论f x 的单调性 练习 规范解答 f x 的定义域为 0 f x 令g x x2 ax 1 其判别式 a2 4 当 a 2时 0 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 当a 2时 0 g x 0的两根都小于0 在 0 上 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 当a 2时 0 g x 0的两根为当0 x x1时 f x 0 当x1 x x2时 f x 0 当x x2时 f x 0 故f x 分别在 0 x1 x2 上单调递增 在 x1 x2 上单调递减 1 若函数f x x3 x2 mx 1是R上的单调增函数 则m的取值范围是 3 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 解 若a 0 对一切实数恒成立 此时f x 只有一个单调区间 矛盾 若a 0 此时f x 也只有一个单调区间 矛盾 若a 0 则 易知此时f x 恰有三个单调区间 故a 0 其单调区间是 单调递增区间 单调递减区间 和 规范解答 由f 0 1 f 1 0得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依题意须对于任意x 0 1 有f x 0时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图象开口向上 而f 0 a 0 所以须f 1 a 1 e 0 即0 a 1 2012 江西高考 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 求a的取值范围 当a 1时 对于任意x 0 1 有f x x2 1 ex0 f x 不符合条件 故a的取值范围为 0 1 若k 0 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下 所以f x 的单调递增区间是 k 和 k 单调递减区间是 k k 若k 0 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下 所以f x 的单调递减区间是 k 和 k 单调递增区间是 k k 例1 2012 福建高考 已知函数f x ex ax2 ex a R 1 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线平行于x轴 求函数f x 的单调区间 2 试确定a的取值范围 使得曲线y f x 上存在唯一的点P 曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 自主解答 1 由于f x ex 2ax e 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线斜率k 2a 0 所以a 0 即f x ex ex 此时f x ex e 由f x 0得x 1 当x 1 时 有f x 0 当x 1 时 有f x 0 所以f x 的单调递减区间为 1 单调递增区间为 1 2 设点P x0 f x0 曲线y f x 在点P处的切线方程为y f x0 x x0 f x0 令g x f x f x0 x x0 f x0 故曲线y f x 在点P处的切线与曲线y f x 只有一个公共点P等价于函数g x 有唯一零点 因为g x0 0 且g x f x f x0 ex 2a x x0 若a 0 当x x0时 g x 0 则x x0时 g x g x0 0 当x x0时 g x 0 则x x0时 g x g x0 0 故g x 只有唯一零点x x0 由P的任意性知 a 0不合题意 若a 0 令h x ex ex0 2a x x0 则h x0 0 h x ex 2a 令h x 0 得x ln 2a 记x ln 2a 则当x x 时 h x 0 从而h x 在 x 内单调递减 当x x 时 h x 0 从而h x 在 x 内单调递增 a 若x0 x 由x x 时 g x h x h x 0 由x x 时 g x h x h x 0 所以g x 在R上单调递增 所以函数g x 在R上有且只有一个零点x x b 若x0 x 由于h x 在 x 内单调递增 且h x0 0 则当x x x0 时 有g x h x h x0 0 g x g x0 0 任取x1 x x0 有g x1 0 又当x x1 时 易知g x ex ax2 e f x0 x f x0 x0f x0 ex1 ax2 e f x0 x f x0 x0f x0 ax2 bx c 其中b e f x0