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第一章 三角函数11任意角和弧度制第一课时 1.1.1 任意角教学目标：1、理解任意大小的角：正角、负角和零角；2、掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角. 教学重点：理解概念，掌握终边相同的角的表示法. 教学难点：理解角的任意大小. 教学过程：一、复习准备：1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0360）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ 说明研究推广角概念的必要性（钟表；体操，如转体720；自行车车轮；螺丝扳手）二、讲授新课：1.教学角的概念： 定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角. 讨论：推广后角的大小情况怎样？ （包括任意大小的正角、负角和零角） 示意几个旋转例子，写出角的度数. 如何将角放入坐标系中？定义第几象限的角.（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.） 练习：试在坐标系中表示300、390、330角，并判别在第几象限？ 讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？ 结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角. 口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题. 讨论：与60终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？与终边相同的角如何表示？ 结论：与角终边相同的角，都可用式子k360表示，kZ，写成集合呢？ 讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？ 注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。2.教学例题： 出示例1：在0360间，找出下列终边相同角：150、1040、940. （讨论计算方法：除以360求正余数 试练订正） 出示例2：写出与下列终边相同的角的集合，并写出720360间角. 120、270、1020（讨论计算方法：直接写，分析k的取值 试练订正） 讨论：上面如何求k的值？ （解不等式法） 练习：写出终边在x轴上的角的集合，y轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？ 出示例3：写出终边直线在y=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式的元素写出来. （师生共练小结）3. 小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1. 写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y=-x呢？2. 作业：书P5 练习 3 、4、5题. 第二课时：1.1.2 弧度制（一）教学目标：1、掌握弧度制的定义；2、学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念. 教学重点：掌握换算. 教学难点：理解弧度意义. 教学过程：一、复习准备：1. 写出终边在x轴上角的集合 . 2. 写出终边在y轴上角的集合 . 3. 写出终边在第三象限角的集合 . 4. 写出终边在第一、三象限角的集合 . 5. 什么叫1的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？二、讲授新课：1. 教学弧度的意义： 如图：AOB所对弧长分别为L、L，半径分别为r、r，求证：. 讨论：是否为定值？其值与什么有关系？结论：=定值. 讨论：在什么情况下为值为1？是否可以作为角的度量？ 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角. 用rad表示，读作弧度. 计算弧度：180、360 思考：360等于多少弧度？ 探究：完成书P7 表1.1-1后，讨论：半径为r的圆心角所对弧长为l，则弧度数=？ 规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r的圆心角所对弧长为l，则弧度数的绝对值为|. 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制. 讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？ 讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？度表示与弧度表示有啥不同？720的圆心角、弧长、弧度如何看？2 .教学例题：出示例1：角度与弧度互化： ；. 分析：如何依据换算公式？（抓住：180=p rad） 如何设计算法？ 计算器操作： 模式选择 MODE MODE 1(2)；输入数据；功能键SHIFT DRG 1(2)= 练习：角度与弧度互化：0；30；45；120；135；150； 讨论：引入弧度制的意义？（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系） 练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x轴上； 终边在y轴上.3. 小结：弧度数定义；换算公式（180=p rad）；弧度制与角度制互化.三、巩固练习： 1. 教材P9 练习1、2题.2. 用弧度制表示下列角的集合：终边在直线y=x； 终边在第二象限； 终边在第一象限.3. 作业：教材P10 5、6、7题. 第三课时：1.1.2 弧度制（二）教学要求：1、更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算.2、掌握弧长公式，能用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角.3、掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式. 教学难点：理解弧度制表示. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？2. 弧度与角度互换：、210、753. 口答下列特殊角的弧度数：0、30、45、60、90、120、135、二、讲授新课：1. 教学例题： 出示例：用弧度制推导：SLR；.分析：先求1弧度扇形的面积（R）再求弧长为L、半径为R的扇形面积？方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换. 练习：扇形半径为45，圆心角为120，用弧度制求弧长、面积. 出示例：计算sin、tan1.5、cos（口答方法共练小结：换算为角度；计算器求） 练习：求、的正弦、余弦、正切.2. 练习：. 用弧度制写出与下列终边相同的角，并求02间的角. 、675 用弧度制表示终边在x轴上角的集合、终边在y轴上角的集合？终边在第三象限角的集合？ 讨论：k360与2k30是否正确？ 与的终边相同，且20则定义域无上界；T0则定义域无下界； 2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)） 3T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,-2p,-4p,都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期为2p （一般称为周期） 从图象上可以看出，；，的最小正周期为；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）3、例题讲解 例1 求下列三角函数的周期： （3），解：（1），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现， 所以，函数，的周期是（2），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是（3），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是练习1。求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+)解：1 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz 即：f (2p+z)=f (z)f (x+2)p+ =f (x+) 周期T=2p2令z=2x f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos2(x+p)即：f (x+p)=f (x) T=p 3令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(+2p)=3sin()=f (x+4p) T=4p 思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；（2）若，如：； ； ，则这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数及函数，的周期思考： 求下列函数的周期： 1y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx| 解：1 y1=sin(2x+) 最小正周期T1=p y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=yxo1-1p2p3p-pT为T1 ,T2的最小公倍数2p T=2p 2 T=p 作图 三、巩固与练习P36的1、2、3题四、小 结：本节课学习了以下内容：周期函数的定义，周期，最小正周期五、课后作业：世纪金榜相关练习题1.4.2 正弦、余弦函数的性质(二)教学目的：知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用教学过程：一、 复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课： 1. 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()； 由于cos(x)=cosx f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。 (2)正弦函数的图形观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。2.单调性从ysinx，x的图象上可看出：当x，时，曲线逐渐上升，sinx的值由1增大到1.当x，时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.3.有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为x= kZ y=cosx的对称轴为x= kZ练习1。（1）写出函数的对称轴； （2）的一条对称轴是（ C ）(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线， (D) 直线思考：P46面11题。4.例题讲解例1 判断下列函数的奇偶性 (1) (2)例2 函数f(x)sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .例3P38面例3例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0； 例5 求函数 的单调递增区间；思考：你能求的单调递增区间吗？练习2：P40面的练习三、小 结：本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质1 单调性 2 奇偶性 3 周期性五、课后作业：世纪金榜相关练习题1.4.3正切函数的性质与图象教学目标：知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。 教学过程：一、复习引入：问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线： 下面我们来作正切函数的图象二、讲解新课： 1正切函数的定义域是什么？ 2正切函数是不是周期函数？ ，是的一个周期。 是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。3作，的图象 说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y，且的图象，称“正切曲线”。0x（3）正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。4正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：（1）定义域：；（2）值域：R 观察：当从小于，时， 当从大于，时，.（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。5.讲解范例：例1比较与的大小解：，内单调递增， 例2：求下列函数的周期：（1） 答：。 （2） 答：。说明：函数的周期例3：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：1、由得，所求定义域为2、值域为R，周期， 3、在区间上是增函数。思考1：你能判断它的奇偶性吗？ （是非奇非偶函数），练习1：求函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性。略解：定义域：值域：R， 奇偶性：非奇非偶函数， 单调性：在上是增函数 练习2：教材P45面2、3、4、5、6题解：画出ytanx在(，)上的图象，在此区间上满足tanx0的x的范围为：0x结合周期性，可知在x R，且xk上满足的x的取值范围为(k，k)(kZ)思考2：你能用图象求函数的定义域吗？0TA解：由 得 ，利用图象知，所求定义域为，0亦可利用单位圆求解。 四、小结：本节课学习了以下内容：1.因为正切函数的定义域是，所以它的图象被等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-/2，/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是个单位，就可以得到整个正切函数的图象。五、作业 P46面7、9题1.5函数yAsin（x）的图象（1）教学目的：1、要求学生掌握“、”在y=Asin(x+)的图象中的作用；2、会用图形变换方法和五点法分别画出y=sin(x+)和y=sin(x+)的图象。教学重点：理解“、”在y=Asin(x+)的图象中的作用教学难点：0或0时图象是左移还是右移。教学过程一、复习提问怎样用五点法画正弦函数的图象？具体是哪五点？二、新课1、探索“”对y=sin(x+)的图象的影响用五点法分别画出y=sinx和y=sin（x ）的图象，对比两个图象怎样平移？ 画出函数y=sin(x+) (xR)；y=sin(x-) (xR)的简图1用平移法 注意讲清方向：“加左”“减右”；2也可用列表法, 然后用五点法作图 以y=sin(x+)为例；3小结：y=sin(x+)可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当0时），或向右（当0时平行移动|个单位而得到的。x+0p2p x-sin(x+) 01 0-102x+0p2p x-sin(2x+) 01 0-102、探索“”对y=sin(x+)的图象的影响分别画出y=sin（x ）和y=sin（2x ）的图象，对比两个图象变化？画出函数y=sin(2x+) xR的图象。解：周期T=p（五点法）令X=2x+则x=y=sin(x+)的图象可以看作是把y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短（1时）或伸长（01）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。3、探索A（A0）对y=Asin(x+)的图象的影响画出y=sin（2x ）和y=3sin（2x ）的图象，对比图象的变化，可以发现：y=3sin（2x ）的图象可以看作是把y=sin（2x ）的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）而得到的。y=Asin(x+)的图象可以看作是把y=sin(x+)的图象上所有点的纵坐标伸长（A1）或缩短（A1）到原来的A倍而得到的（横坐标不变）。练习：P551、2 作业：P571、21.5函数yAsin（x）的图象（2）教学目的：进一步掌握yAsin（x）的图象中“A、”的作用，掌握它的图象是如何从ysinx的图象变化而来的，掌握振幅、周期、频率、相位、初相的概念，会从一个图象中求出它们。教学重点：yAsin（x）的图象中“A、”的求法。教学过程一、 复习提问ysinx的图象如何通过变化得到yAsin（x）的图象？二、 新课把正弦曲线向左（右）平移|个单位长，得到ysin（x）的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到ysin（x）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，得到yAsin（x）的图象。作y=sinx（长度为2p的某闭区间）得y=sin(x+)得y=sinx得y=sin(x+)得y=sin(x+)得y=Asin(x+)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。沿x轴平 移|个单位横坐标 伸长或缩短横坐标伸 长或缩短沿x轴平 移|个单位纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短例1、画出y2sin（x）的图象简图。解：先把正弦曲线上所有点向右平行平移动个单位长度，得到ysin（x）的图象；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到ysin（x）的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到函数y2sin（x）的图象。用五点法画出上述函数图象。x02x25y02020 yAsin（x）中，A是振幅，周期为T，频率为，x称为相位；x0时，称为初相。例2、如图（课本P54）是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）从点O算