2017_18学年高中数学第二章参数方程本讲知识归纳与达标验收教学案.docx

第二章 参数方程考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题真题体验1(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_解析：由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为yxa，椭圆的方程为1，所以其右顶点为(3,0)由题意知03a，解得a3.答案：32(陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_解析：由三角函数定义知tan (x0)，yxtan ，由x2y2x0得，x2x2tan2x0，xcos2，则yxtan cos2tan sin cos ，又时，x0，y0也适合题意，故参数方程为(为参数)答案：(为参数)3(新课标全国卷)已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解：(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点曲线的参数方程与普通方程的互化1.消参的常用方法(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y，或x，y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin2cos21，sec2tan21，224等2消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x，y的影响，否则易扩大变量的取值范围(2)参数方程中变量x，y就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x，y的取值范围例1参数方程表示的曲线是什么？解化为普通方程是：x2y225，0x5，5y5.表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆例2将参数方程(t为参数)化为普通方程解由xt1得t(x1)，代入yt21，得y(x1)21，即为所求普通方程.直线的参数方程及其应用1直线参数方程的标准形式直线参数方程的一般形式为(t为参数)，只有当b0，a2b21时，上述方程组才为直线的参数方程的标准形式，直线经过的起点坐标为M0(x0，y0)，直线上另外两点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)对应的参数分别为t1，t2，这时就有|M0M1|t1|，|M0M2|t2|，|M1M2|t1t2|.2直线参数方程的应用直线的参数方程应用十分广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时，可以利用参数的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，优化解题思路3应用直线的参数方程求弦长的注意事项(1)直线的参数方程应为标准形式(2)要注意直线倾斜角的取值范围(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.(4)套公式|t1t2|求弦长例3已知点P(3,2)平分抛物线y24x的一条弦AB，求弦AB的长解设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，代入方程y24x整理得：t2sin24(sin cos )t80.因为点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程的两个实根t1，t2满足关系t1t20.即sin cos 0.因为0，所以.|AB|t1t2|8.曲线的参数方程及其应用圆心为(a，b)，半径为r的圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)；长半轴为a，短半轴为b，中心在原点的椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)，圆、椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用，利用圆、椭圆的参数方程将上述问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的变换公式可以简化计算，从而避免了繁杂的代数运算例4(新课标全国卷)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知曲线的方程为(t为参数)，则下列点中在曲线上的是()A(1,1)B(2,2)C(0,0) D(1,2)解析：当t0时，x0且y0.即点(0,0)在曲线上答案：C2直线xy0被圆(为参数)截得的弦长是()A3 B6C2 D.解析：圆的普通方程为x2y29，半径为3，直线xy0过圆心，故所得弦长为6.答案：B3点P(1,0)到曲线(其中t为参数且tR)上的点的最短距离为()A0 B1C. D2解析：点P与曲线(tR)上的点之间的距离dt211.答案：B4参数方程(为参数)所表示的曲线为()A抛物线的一部分 B一条抛物线C双曲线的一部分 D一条双曲线解析：xy2cos2sin21，即y2x1.又xcos20,1，ysin 1,1，为抛物线的一部分答案：A5当参数变化时，动点P(2cos ，3sin )所确定的曲线必过()A点(2,3) B点(2,0)C点(1,3) D点(0，)解析：令x2cos ，y3sin ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆：1，曲线过点(2,0)答案：B6已知三个方程：(都是以t为参数)那么表示同一曲线的方程是()A BC D解析：的普通方程都是yx2，但中x的取值范围相同，都是xR，而中x的取值范围是1x1.答案：B7直线(t为参数)上与点P(2,3)的距离等于的点的坐标是()A(4,5) B(3,4)C(3,4)或(1,2) D(4,5)或(0,1)解析：可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得|t|，可得t，将t代入原方程，得或所以所求点的坐标为(3，4)或(1,2)答案：C8(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆C截得的弦长为()A. B2C. D2解析：由题意得，直线l的普通方程为yx4，圆C的直角坐标方程为(x2)2y24，圆心到直线l的距离d，直线l被圆C截得的弦长为22.答案：D9已知圆的渐开线(为参数)上有一个点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为()A B3C6 D9解析：把已知点(3,0)代入参数方程得由得tan ，所以0，代入得，3r(cos 00)，所以r3，所以基圆的面积为9.答案：D10已知方程x2axb0的两根是sin 和cos (|)，则点(a，b)的轨迹是()A椭圆弧 B圆弧C双曲线弧 D抛物线弧解析：由题知即a22b(sin cos )22sin cos 1.又|.表示抛物线弧答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11若直线l：ykx与曲线C：(参数R)有唯一的公共点，则实数k_.解析：曲线C的普通方程为(x2)2y21，由题意知，1，k.答案：12双曲线(为参数)的渐近线方程为_解析：双曲线的普通方程为x21，由x20，得y2x，即为渐近线方程答案：y2x13已知点P在直线(t为参数)上，点Q为曲线(为参数)上的动点，则|PQ|的最小值等于_解析：直线方程为3x4y50，由题意，点Q到直线的距离d，dmin，即|PQ|min.答案：14直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为，且交直线xy20于M点，则|MM0|_.解析：由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)代入直线方程xy20，得1t20，解得t6(1)根据t的几何意义可知|MM0|6(1)答案：6(1)三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)(福建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解：(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.16(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆y21上的一个动点，求Sxy的最大值解：因为椭圆y21的参数方程为(为参数)故可设动点P的坐标为，其中02.因此，Sxycos sin 22sin.所以当时，S取得最大值2.17(本小题满分12分)已知曲线C1：(t是参数)，C：(是参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t是参数)距离的最小值解：(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：1，C1为圆心是(4,3)，半径是1的圆C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故M(24cos ，2sin )C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|.从而当cos ，sin 时，d取得最小值.18(本小题满分14分)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为的直线，在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为4cos .(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方