导数与其它数学分支的交汇.doc

导数与其它数学分支的交汇江苏省如皋市石庄中学 张文海 邮编:226531一、命题热点及备考策略纵观近几年来的高考新课程卷和近两年的江苏卷，在导数这一部分多以中档以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式、恒等式等重要内容及其之间的综合运用当然平面向量和导数也可能在实际背景的题目中出现下面首先就四年来高考新课程卷（理科）中涉及导数的试题统计如下：年份题号分值占总分比例题型考查知识2000（20）128%解答题导数的应用2001（19）128%解答题导数的应用2002（20）128%解答题导数的应用2003（江苏）（21）128%解答题导数的应用2004（江苏）(5)53.3%选择题导数的应用根据近几年高考的特点，我们复习备考时特别要注意以下几点：由于导数是从大量的实际问题中抽象出来的，因此，它为解决一些实际问题和初等数学的传统问题提供了有效的方法许多的实际问题经过抽象概括，建立起一个个函数模型，解决这些实际问题就会转化为求相应函数的最值问题，而利用函数的导数可以顺利地解决这些函数的最大值和最小值问题二、考点内容分析 导数的定义及几何意义要深切理解，多项式函数的求导也要熟练掌握，更要注重的是利用导数判定一些函数的单调性、极值和最值的大小，这是我们研究函数性质的强有力的工具，也是高考命题的热点 考试内容及考试要求（考试大纲）：考试内容：导数的背景；导数的概念；多项式函数的导数；利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值考试要求：了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；掌握函数（N+）的导数公式，会求多项式函数的导数；理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值；会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题三、范例分析与解题策略1 、导数在函数中的应用导数是研究函数的重要工具，特别是借助导数，对函数的单调性能进行透彻分析，为求函数的极值、最值提供一种简单、快捷的方法例1、（2000年新课程高考理科题）函数有 （ ） （A）极小值1，极大值1 极小值2，极大值3（C）极小值2，极大值2 （D）极小值1，极大值3(2004年江苏高考试题) 函数y=的最大值,最小值分别是 （ ）（A）1,-1 （B）1,-17 （C）3,-17 （D）9,-19解：令，得或 当时，当时， 因此函数在（，1）上单调递减，在（1，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，即是极小值点，是极大值点所以极小值为3，故选（D）同理,第二题的答案为(C)评注：本题考查利用导数求函数求值的方法，解此类问题时要熟练掌握利用导数判断函数增减性以及求极值的方法例2、函数在区间23上的最大值与最小值分别是（ ） （A）5，4 （B）13，4 （C）68，4 （D）68，5解：令，得或或 由 故函数在区间23上的最大值为68，最小值为4故选（C） 评注：利用导数求函数的最值，解题过程简洁明快，解题方法新颖独到，体现了教材新内容的优越性例3、（2001年新课程卷高考题）已知函数在处有极小值1，试确定的值，并求出的单调区间解：由，解得 故函数的解析式为 由，得或；由，得 故函数在区间（，）和（1，+）上为增函数；在区间（，1）上为减函数 评注：本题主要考查函数和函数极值的概念以及运用导数研究函数性质的方法，同时考查运算能力和推理能力，要求深刻理解导数概念，运用逆向思维解决问题 例4、已知函数，问是否存在实数，使在（，）上是减函数，且在（，0）上是增函数？ 解：，要使在（，）上是减函数，且在（，0）上是增函数，必有时，即所以此时，当（，）时，；当（，0）时，故存在实数符合要求 评注：这类高次函数的单调性问题，常规思路不胜其烦，若利用导数，解法十分简捷2 、引进导数研究解析几何问题，强化导数的应用导数的引入，也拓宽了解决解析几何问题的思路导数的几何意义时曲线上点（，）处切线的斜率解析几何的许多最值问题也可以用导数来处理因此教学时，应注意典型解几题，引导学生多方面地深刻地认识问题例5、（2003年新课程卷高考题）已知抛物线和如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段 （1）取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出公切线方程；（2）若和有两条公切线，证明相应的公切线互相平分 解：（1）函数的导函数 曲线在点（，）的切线方程是 即 曲线在点（，）的切线方程是 即 如果直线是过点和的公切线，则式和式都是的方程， 所以，消去得方程 若判别式时，即时解得，此时点和重合，即当时和有且仅有一条公切线 由得公切线方程为 证明：（2）由（1）可知，当时和有两条公切线 设一条公切线上切点为（，），（，）， 其中在上，在上，则有 ， 线段的中点为（，） 同理，另一条公切线段的中点也为（，） 评注：本题主要考查导数的几何背景曲线的切线、解析几何的基本知识以及综合运用数学知识解决问题的能力，发挥了导数作为工具性知识分析问题和解决问题的作用，它将导数和解析几何融为一体，是一道不落俗套“原创”性新题，有助于考查学生进一步学习所需的潜能：探究能力、分析问题和解决问题的能力，综合运用知识解决问题能力等3 、导数与不等式相融合的问题 例6、（2003年江苏新课程高考题）已知，为正整数 （1）设，证明；（2）设，对任意，证明； 证明：（1）因为, 所以 （2）对函数求导数： ， 所以 当时，是关于的增函数 因此，当时， 所以 即对任意，有 评注：本题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力本题所用的数学知识不多，但由于学生对导数证明不等式很不适应，以致于考生丢分现象严重，这反映学生未能真正把握新教材的思想内涵 4 、导数在实际中的应用 在复习以函数为背景或解决与函数相关的应用问题时，渗透导数的应用，拓宽解题思路，培养学生运用导数的意识和能力例7、（2000年新课程卷高考题）用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边必另一边长0.5m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积解：设该容器底面矩形短边长为m则另一边长为（+0.5）m，此时容器的高为m于是此容器的容积，（0，1.6）另，解得，（不合题意，舍去）因为函数在定义域（0，1.6）内只有在处使由题意，若过小（接近0）或过大（接近1.6）时，值很小（接近0），因此，当时，取得最大值，这时高为3.22=1.2答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3 评注：本题主要考查建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识，应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力解答此类问题的关键是