导数与函数的单调性.doc

第75课时 导数与函数的单调性教学目标：知识与技能：理解函数单调性的概念会判断函数的单调性，会求函数的单调区间过程与方法：通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法教学重点：函数单调性的判定教学难点：函数单调区间的求法教学过程：一、复习回忆1. 函数的单调性： 对于函数定义域内的任意一个子集A，如果对于集合A中的任意两个自变量，当时都有（或）就称在集合A上增加（减少）2. 单调函数 如果函数在其定义域上显增加的（或减少的）则称函数在集合A上显增函数（或减函数）单调区间：二、导数与函数的单调性之间的关系1. 具体函数 一次函数：， 二次函数：，时， 时，指数函数： 对数函数： ， 由以上具体实例，导函数的符号与函数单调性之间关系？2. 抽象概括：（倾斜角） 1）如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的 2）如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是减少的反之呢？对于在某个区间内可导函数，如果函数在这个区间上是增加的，那么在区间上，（或）如：在R 说明：单调性解决的是随 增还是减少问题而导数刻画的是相对于自变量变化快慢问题，导数里比单调性更加精确地反映函数的变化趋势的一个是且且越来越快 且且越来越慢且越来越大 且越来越小且越来越快 且越来越慢且越来越小 且越来越大如设是导数，如下图，则量有可能 D 3. 例题讲解例1：求的递增性与递减区间解：法1 （定义法） 法2 时 或 时， 递减区间为单调性决定图象 补：例2：求下列函数的单调区间 ；解： 或 或正确：定义域 注意定义域！步骤：求定义域；求；舍参数的函数单调性的问题： 第76课时 函数的极值教学目标：知识与技能：理解函数极值的概念会求给定函数在某区间上的极值过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法教学重点：函数极值的判定方法教学难点：函数极值的判定方法教学过程：一、复习回忆单调性与导数关系，单调区间求法二、新课1. 函数极值的定义 极大值：在含的区间内，若在任意一点函数值都不大于点值， 加为极大值点，为函数极大值极小值： 极值：极值点说明：极值是一个局部概念，适当区间内局部性质在函数定义域区间上可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大曲线在极值点处切线的斜率为0,在极大值点左侧斜率为正，右侧为负，在极小值点左侧斜率为负，右侧为正如下表+0极大0极小+求极值点步骤 求出导数；对每一个解，左右两侧符号 1）在的两侧“左正右负”大 2）在的两侧“左负右正”小 3）在的两侧符号相同，不是极值点例1：求函数极值点 解： 例2： 3+00+极大极小例2：求的极值例3：求极值解： （错误）！令 或20+0小大 极小 极大 例4：若函数在处取得极值10,求解： 或 当 无极值当 令 三、作业： 课本P84 1 234第77课时 习题课教学目标：知识与技能：复习函数单调性和极值的求法过程与方法：通过具体实例的分析，会求复杂函数单调区间和极值情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法教学重点：单调区间的求法和列表法求极值的过程教学难点：单调区间的求法和列表法求极值的过程教学过程：一、复习回忆函数的单调性与导数之间关系 极值的求法二、例题例1：已知当且仅当或时取得极值，比较极小值大4 求；求极值，设、分别是定义在R上奇数和偶函数，当时，且则不等式，解集是 .A. B. C. D. 解：为奇函数 且时，时 例2：已知函数在点处取得极大值5，其导函数解，图像经过点如图，求的值；值.解：时，或 用图12+00+极大 极小时 极大 又代入 由上式知 例3：2009年天津已知函数 其中 当时，求曲线在点处切线上的斜率；当时，求单调区间与极值解：当时， 令 或 由知 若，则+00+极大 极小若+00+大 小在 极大 作业：1. 2009年天津模 当时，求在点处切线方程；当时，求极大值和极小值2. 2009年北京 求在处切线方程； 求单调区间；若在区间，求范围.第78课时 最大值与最小值问题教学目标：知识与技能：会求函数的最大值与最小值过程与方法：通过具体实例的分析，会利用导数求函数的最值情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法教学重点：函数最大值与最小值的求法教学难点：函数最大值与最小值的求法教学过程：函数最值与极值的区别与联系：函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值；在求可导函数最值的过程中，无需对各导数为零的点讨论其是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较，这是与求可导函数的极值有所区别的；函数极值点与最值点没有必然联系，极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得。根据课程标准的规定和高考的要求，有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，没有考虑端点的函数值。一、复习回忆极值求法 单调性判定二、实际问题中导数定义：（P85-87） 例2：三、最值对于在上任意一个自变量，总存在 若总成立，则是上最大值是 若总成立，则是上最小值是最值与极值区别与联系 1）最值是整体概念，极值是局部性概念 2）函数在定义域区间上最大值，最小值最多只有一个而极值则可能不止一个，也可能没有 3）极值点不一定为最值点，最值点也不一定为极值点，极值在区间内取，最值可能在端点处取得 4）闭区间连续一定有最值，不一定，有最大无最小等最值的求法：连续在上最值 1）求在上的极值 2）将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小一个为最小值说明：当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用求导方法求解例1：课本P88例4求：在区间上最值解： 令 0220+00+4极大极小5函数最大值5 极小为 比较4个值 上最大5 最小（下节）例2：(P89 例5)解： 令 8+0大 为极大值 在上 j了大 例3：（产量与利润）P90 该企业生产成本（单位：万元）和生产收入都是产量函数，分别为 1150+0小大 函数极大 第79课时 实际问题中导数的定义最优化问题教学目标：知识与技能：让学生掌握在实际生活中问题的求解方法会利用导数求解最值过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法教学重点：函数建模过程教学难点：函数建模过程教学过程：例4：（面积容积最大问题）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱锥（如图所示），试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？思路点拨：设出项点O到底面中心的距离后，求出底面边长，表示帐篷的体积解：设为，则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：） 于是底面正六边形的面积为（单位：），帐篷的体积为（单位：） 求导数，得令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数.所以，当时，最大答：当为时，帐篷的体积最大，最大体积为方法技巧：设出一个变量后，其他变量都用这个变量表示，然后列出所求变量的函数式，再求最值，这是这类题目的常规解决。例5：（用料最省问题）统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为 ，已知甲、乙两地相距100千米。 当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？思路点拨：设出汽车的速度为千米/小时，然后表示出从甲地到乙地的耗油量解：当千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）当速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得 令，得当时，是减函数 当时，是增函数当时，取得极小值此时 （升）答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升方法技巧：正确表示出函数解析式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出解析式是解题的关键例6：（费用量省问题）要设计一容积为V的有盖圆柱形储油罐盖，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径和高之比为何值时造价最省？思路点拨：把圆柱的高用底面半径表示出来，然后把造价表示为的函数解：由，得，设盖的单位面积造价为，则储油罐的造价为由 解得，于是由问题的实际意义，上述S的唯一可能极值点就是S的最小值点当 时，储油罐的造价最省方法技巧：本题用半径把高表示出来，把实际问题转化为关于半径的函数问题是关键例7：（利润最大问题）某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件。如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件 将一个星期的商品销售利润表示成的函数；如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大思路点拨：由时，多卖出的商品件数为24件，可求得正比例函数，进而表示出利润与的关系解：设商品降低元，多卖出的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则由题意又由已知条件 得 由知当变化时，变化情况如下表：2120+0极小值极大值故时，有极大值，又 所以定价为301218元，能使一个星期的商品销售利润最大方法技巧：利润（