《高等数学》教案.pdf

安徽水利水电职业技术学院安徽水利水电职业技术学院 高等数学 教案 高等数学 教案 课 程 高等数学 系 部 基 础 部 教 研 室 数 学 第第 1 章章 极限与连续极限与连续 1 1 函数函数 教学目的 教学目的 使学生弄清集合的基本概念 集合的表示方法 全集与空集及集合间的关系 集合的运算 弄清无限区间与有限区间 理解区间的真正含义 理解函数的概念 会求函数的定义 域 弄清函数的几种特性及反函数的概念 重点与难点 重点与难点 函数概念 求函数的定义域 邻域概念 教学方法 教学方法 复习总结式 教教 学学 过过 程程 一 集合 区间及邻域概念 集合的基本概念 集合的表示方法 几种特殊的集合 集合间的关系 与集合的运算 区间的概念 有限区间与无限区间 开区间 闭区间 半开半闭区间 邻域概 念 实心邻域与空心邻域 二 常量与变量 常量与变量的概念 三 函数概念 四 1 函数的定义 设 x 和 y 是两个变量 D 是一个给定的数集 若对于每个数 x D 变量 y 按照 一定法则总有确定的数值和它对应 则称 y 是 x 的函数 记为 y f x 数集 D 称为定义域 x 称 为自变量 y 称为因变量 2 函数的表示方法 3 函数两个基本要素 4 函数的定义域及求法 5 函数举例 五 函数的几种特性 1 函数的有界性 定义与几何解释 2 函数的单调性 定义与几何解释 3 函数的奇偶性 定义与几何解释 4 函数的周期性 定义与几何解释 六 反函数 反函数的概念 求法及其间的相互关系 七 例题与作业 习题 1 1 八 小结 函数的两个基本要素非常重要 务必使学生会求函数的定义域 弄清函数的特性 1 2 初等函数初等函数 教学目的 教学目的 使学熟练掌握基本初等函数理解复合函数的概念 初等函数 了解双曲函数与反双曲函 数 与会建立某些函数关系式 重点与难点 重点与难点 复合函数的概念 函数关系式的建立 教学方法 教学方法 启发与练习相结合 教教 学学 过过 程程 一 基本初等函数 常用基本初等函数的简要回顾 二 复合函数 1 定义 设 y f u 是数集 B 上的函数 又 u x 是由数集 A 到数集 B 的函数 则 对于每一 x A 通过 u 都有确定的 y 与之对应 这时在数集 A 上 y 是 x 的函数 这个函数称 为数集 A 上的由函数 y f u 与 u x 复合而成的函数 简称复合函数 记为 y f x 其中 u 称为中间变量 A 是复合函数的定义域 2 注意 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数 1 x lg 1y 2 x1y 1 3 2 过程和定义域指出下列各函数的复合 例题 4 课堂练习 三 初等函数 1 定义 2 例题与练习 四 双曲函数与反双曲函数 概念 五 函数关系式的建立举例 六 例题与作业 习题 1 2 七 小结 学生要真正认清复合函数的复合层次 这点极为重要 1 3 数列的极限数列的极限 教学目的 教学目的 使学生了解数列极限的 N 定义 理解数列极限的含义及几何解释 了解收敛数 列的若干性质 重点与难点 重点与难点 数列极限的定义 教学方法 教学方法 诱启式 教教 学学 过过 程程 一 引例 刘徽 九章算术 中的割圆术 结合教材中的例题 让学生观察 二 数列极限的定义 1 描述性语句 严格定义 N 定义 2 几点说明 1 的任意性 N 的相应性 3 数列极限的几何解释 三 数列极限的举例 教材中的例 1 例 2 例 3 四 收敛数列的性质 唯一性 有界性等 五 例题与作业 习题 1 3 六 小结 数列极限的 N 定义较抽象 不要求学生掌握 但对于培养学生的理解能力大有 裨益 1 4 函数的极限函数的极限 教学目的 教学目的 使学生了解函数极限的严格定义 弄清其含义及几何解释 了解函数极限的若干性质 重点与难点 重点与难点 函数极限的定义 函数极限的几何解释 单侧极限的概念 教学方法 教学方法 诱启练习式 教教 学学 过过 程程 一 自变量趋于无穷大时函数的极限 1 引例 考察当的变化趋势 时 x 1 f x x 2 定义 描述性语言 严格定义 X 3 几何解释 4 的极限 f x x x时 5 三者间的关系 定理 AxfxfAxf xxx lim lim lim 2 二 自变量趋于有限值时函数的极限 1 引例 考察当 1 x 1 x f x 1 xf x 1 2 时 x的变化趋势 2 定义 描述性语言 严格定义 3 几何解释 y 4 的左右极限 00 xfxxxx 5 三者间的关系 定理 AxfxfAxf xxxxxx lim lim lim 00 0 6 例题 见教材 三 函数极限的性质 局部保号性 局部有界性等 四 例题与作业 例题 习题 1 4 1 1 2 1 作业 1 五 小结 学生虽不必掌握函数极限的严格定义 但可通过几何图形来理解概念 1 5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 教学目的 教学目的 使学生理解无穷小与无穷大概念的含义 了解函数 极限 无穷小三者间的关系 无穷 小与无穷大间的关系 重点与难点 重点与难点 无穷小与无穷大的概念 教学方法 教学方法 复习诱启式 教具 教具 彩色粉笔 教教 学学 过过 程程 一 无穷小 1 引例 2 定义 3 关于无穷小的几点说明 4 无穷小与函数极限间的关系 定理 在自变量的同一变化过程中 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和 反之 若函数 可表示为常数与无穷小之和 则该常数就是这函数的极限 二 无穷大 1 引例 2 定义 3 关于无穷大的几点说明 4 无穷大与无穷小间的关系 定理 在自变量的同一变化过程中 若f x 为无穷大 则 无穷大 则为无穷小 且为无穷小 反之 若 f x 1 0 f x f x 1 xf 三 例题与作业 习题 1 5 四 小结 学生要弄清无穷小与无穷大这两个概念的真正含义 掌握无穷小与无穷大之间的相互关 系 1 6 极限运算法则极限运算法则 3 教学目的 教学目的 使学生掌握极限运算法则 会使用之熟练求极限 重点与难点 重点与难点 极限运算法则 求极限问题 教学方法 教学方法 讲解练习式 教具 教具 彩色粉笔 教教 学学 过过 程程 一 无穷小的性质 1 有限个无穷小的和仍是无穷小 2 有界函数与无穷小的积仍是无穷小 3 推论 常数与无穷小的积是无穷小 有限个无穷小的积仍是无穷小 二 极限的四则运算法则 若g x lim f x 1 lim lim 则BxgAxf 推论若可加以推广 B Alimg x limf x g x lim f x B Alimg x limf x nn Alim f x nA limf x CA lim Cf x C A limf x 是正整数 则若为常数 则2 若 B A limg x limf x g x f x lim 0B Blimg x A limf x 则且 上述定理对数列极限同样适用 三 例题 见教材 四 小结与作业 习题 1 6 五 学生要熟练掌握无穷小的性质 函数极限的运算性质 1 7 极限存在准则 两个重要极限极限存在准则 两个重要极限 教学目的 教学目的 使学生掌握两个重要极限公式 求函数的极限 重点与难点 重点与难点 两个重要极限公式的使用 教学方法 教学方法 讲练结合式 教教 学学 过过 程程 一 夹逼准则 准则 1 如果数列 nnn xy 1 zzyx nnn 满足以下条件 axlim x alimylim 2 1 2 3 n n n nn n n n 且的极限存在 则数列z 准则 成立 时 有或当如果h x f x g x M x v xUx 1 1 0 0 y 2 Af x lim A h x limg x lim x 0 x 0 x 0 xxxxxx 则 二 利用夹逼准则推导 1 公式 1 sin lim 0 x x x 2 例题 三 准则 2 单调有界数列必有极限 推导公式e x x x 1 1 lim等价式ex x x 1 0 1 lim 4 四 利用公式e x x x 1 1 lim 求极限举例 见教材 七 例题与作业 习题 1 7 八 小结 两个重要极限公式对于求某些函数极限非常重要 务必使学生熟练掌握 特别是公式的 灵活运用 1 8 无穷小的比较无穷小的比较 教学目的 教学目的 使学生掌握无穷小的比较 会利用等价无穷小求极限 重点与难点 重点与难点 无穷小阶的比较 利用等价无穷小求极限 教学方法 教学方法 诱启练习式 教教 学学 过过 程程 一 无穷小阶的比较概念 1 定义 2 例题 见教材 二 定理 1 是与 等价无穷小的充要条件是 0 2 设 limlim lim 存在 则且 三 例题与练习 教材例题及习题 1 8 四 小结 无穷小阶的比较概念 使学生会利用等价无穷小求函数的极限 1 9 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 教学目的 教学目的 使学生理解函数的连续性概念及间断点概念 重点与难点 重点与难点 函数的连续性与间断点 教学方法 教学方法 诱启练习相结合 教教 学学 过过 程程 一 函数的连续性 1 函数的增量概念 1 定义 设变量 U 从它的一个初值 记为的增量称为变量 则终值与初值之差变到终值 U UUU UU 12 21 即 2 几何解释见图 12 UUU 2 函数 y f x 在点的连续性 0 x 1 利用增量定义 设函数 y f x 在点的某一邻域内有定义 如果当自变量的增量 0 x 左右连续的概念 定义 利用 点连续 在点则称函数 式 及邻域有定义 若有下在设改写定义 连续 在点 则称也趋于 时 对应的函数的增量趋于 4 3 xf x f xf x limx f x y 2 x f x y0f x x f xy 0 0 0 xx 0 0 00 0 xxx 5 3 函数 y f x 在区间内的连续 1 在开区间 a b 内的连续 2 在闭区间 a b 上的连续 二 函数的间断点 1 函数间断点的概念 若函数 f x 有下列三种情况之一 a 在点没有定义 b 虽在点有 定义 但 c 虽在点有定义 0 x 0 x 不存在 lim 0 xf xx 0 x 称为间断点 点不连续 点在则称函数但存在 000 xx xxf x f xf x lim lim 00 xf xx 2 函数间断点的类型 3 函数间断点的举例 见教材 三 例题与习题 习题 1 9 四 小结 函数的连续性与间断性概念是非常重要的两个概念务必使学生真正理解 1 10 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目的 教学目的 使学生掌握连续函数的运算及初等函数的连续性 重点与难点 重点与难点 连续函数的运算及初等函数的连续性 教学方法 教学方法 讲练结合式 教教 学学 过过 程程 一 连续函数的和差 积商的连续性 定理 二 反函数与复合函数的连续性 1 定理 2 例题 三 初等函数的连续性 1 重要结论 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 2 例题 求 下列极限 1 4x 3 5x lim 3sinx ln lim 2 1lim 4x 2 x 2 0 x xx 4 x 1a lim 6 x x 1log lim 5 sin5x 24x lim x 0 x a 0 x0 x 四 例题与作业 习题 1 10 五 小结 学生要掌握初等函数的连续性 记住一切初等函数在其定义区间内均连续这一重要结论 对于分段函数特别要注意分段点的讨论 本本 章章 小小 结结 1 本章主要内容为 函数的定义 基本初等函数 复合函数与初等函数的概念 数列极限与函数极 限的定义 极限的运算法则 无穷小与无穷大的概念 两个重要极限 函数的点 连续与区间连续的概念 闭区间上连续函数的性质 2 几个常用的基本极限 的常数为常数 0 0 x 1 lim 3 xxlim 2 C CClim 1 x 0 xx x x x 00 6 mn mn 0 mn b a bxbxb axaxa lim 6 e x 1 1lim 5 1 x sinx lim 4 0 0 n 1 n 1 n 0 m 1 m 1 m 0 xx0 x 出的有关概念间时函数的极限与由此引和 xxx 0 处有增量在当自变量的某一邻域内有定义 在点设xxxx y 1 00 xf 利用导数定义求导举例 导数 导函数简称式的改写式 导数定义明 关于导数定义的几点说 或 或记作 的导数 记为在点存在 则称该极限值为 若有 函数的增量 3 b a 2 dx df x dx dy xf yxf x y x f xx f x lim x y lim f xx f xy 00 0 xxxx0 xx0 00 00 x 00 Lxf x y 2 0 的曲线的导数等于函数所表示在点函数 导数的几何意义 的斜率 在相应点 y x 00 3 列出了当的联系 第第 2 章章 导数与微分导数与微分 2 1 导数的概念导数的概念 教学目的 教学目的 使学生理解导数概念 弄清导数的几何意义及函数的可导性与连续性间的关系 重点与难点 重点与难点 导数的概念 导数的几何意义 可导与连续的关系 教学方法 教学方法 启发诱导式 教教 学学 过过 程程 一 引例 1 变速直线运动的速度 2 平面曲线的切线的斜率 二 导数定义 时 相应 三 1 曲线的切线定义 图示 四 数可导性与连续性之间的关系 对一元函数可导一定连续 但连续未必可导 即 连续是可导的必要条件 可导是连续的充分条件 五 例题与练习 习题 2 1 六 小结 函数的导数概念非常重要 要使学生理解其真正含义 特别是定义式 2 2 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 7 2 3 函数和 差 积 商的求导法则函数和 差 积 商的求导法则 教学目的 教学目的 使学生熟记基本初等函数的导数公式 掌握函数和 差 积 商的求导法则 重点与难点 重点与难点 基本初等函数的导数公式 函数和 差 积 商的求导法则 教学方法 教学方法 讲练结合式 教教 学学 过过 程程 一 利用导数定义推导基本初等函数的导数公式 1 常数的导数 0 c 2 1 x x 幂函数的求导公式 3 三角函数的导数公式 1 cosx sinx x sec tanx 3 sinx cosx 2 2 x 1 lnx lnxx 1 xlog 4 cotx cscx cscx 6 secx tanx secx 5 x csc cotx 4 a 2 对数函数的求导公式 2 22 22 x xxx v vuvu v u 3 wuvwvuvwu uvw vuvu uv 2 vu v u 1 v x v u x u x1 1 arccotx 4 x1 1 arctanx 3 x1 1 arccosx 2 x1 1 arcsinx 1 6 e e lnaa a 5 如的情形 可推广到有限个函数积 形可加以推广到有限项情 均为可导函数 则有设函数则 函数和差积商的求导法二 反三角函数导数公式 指数函数的导数公式 三 例题与作业 习题 2 3 四 小结 导数的基本公式 和 差 积 商的求导法则 2 4 反函数的导数与复合函数的求导法则反函数的导数与复合函数的求导法则 教学目的 教学目的 使学生熟练掌握复合函数的求导法则 灵活使用该法则求复合函数的导数 重点与难点 重点与难点 复合函数的求导法 教学方法 教学方法 诱启练习式 教教 学学 过过 程程 一 反函数的导数 1 定理 2 推导数反三角函数的求导公式 二 复合函数的求导法则 1 定理 复合函数的求导法则 明函数求导法则的几点说关于复合 或写成且处也有导数 在点则复合函数 处有导数在对应点函数 处有导数在点如果 2 uyy x u fy dx du du dy dx dy x x f y u f du dy u f u y x dx du x x u xux 8 2 3 x n x 1 sin x2 232 2 x e1 xsin y 9 ey 8 cos eln y 7 xcos 1y 6 tanxy 5 2x1y 4 x1 2x sin y 3 ey 2sinx ln y 1 求下列函数的导数 三 复合函数求导举例 四 例题与作业 习题 2 4 五 小结 复合函数的求导法也称为链式求导法 是函数求导的一个极为重要的法则 学生务必要 熟练掌握 2 5 初等函数求导问题初等函数求导问题 2 6 高阶导数高阶导数 教学目的 教学目的 使学生熟练掌握初等函数的求导问题 会求高阶导数 重点与难点 重点与难点 初等函数的求导问题 求高阶导数 教学方法 教学方法 总结练习式 教教 学学 过过 程程 一 基本初等函数的求导公式 二 函数和 差 积 商的求导法则 三 复合函数的求导法则 四 高阶导数 1 高阶导数的概念 2 高阶导数求导举例 阶导数的求例 阶导数的求例 阶导数的求例 的各阶导数 求例 求例 nx 1ln y 5 n sinx y 4 n ey 3 0 a axaxay 2 y 1 x 0n 1n 1 n 0 baxy 五 例题与作业 习题 2 6 六 小结 弄清高阶导数的概念 记住几个较常用的函数的 n 阶导数公式 2 7 隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 教学目的 教学目的 使学生会求隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 重点与难点 重点与难点 求隐函数的导及由参数方程所确定的函数的导数 教学方法 教学方法 讲练结合式 教教 学学 过过 程程 一 隐函数的求导问题 1 隐函数概念 F x y 0 2 隐函数求导举例 9 3 2 3 2 1 9 y 16 x 3 dx dy 0 xy 03xx2yy 2 dx dy 0exye1 22 0 x 75 y 处的切线方程 在点 求椭圆 例 处的导数在所确定的隐函数 求由方程 例 所确定的隐函数的导数 求由方程例 说明举例 公式 数的导数由参数方程所确定的函二 的导数 求 例 的导数求 例 对数求导法 3 2 1 4 3 x x 2 1 x x y 5 0 x xy 4 3 sinx 三 例题与作业 习题 2 7 四 小结 隐函数的求导问题是本章的一个难点 通过例题与练习使学生逐步掌握 2 8 微分的概念微分的概念 教学目的 教学目的 使学生理解微分的概念及与导数间的关系 弄清微分的几何意义 掌握微分的运算法 则 并会求函数的微分 重点与难点 重点与难点 微分的概念及与导数间的关系 微分的几何意义及微分的运算法则 求函数的微分 教学方法 教学方法 诱启练习式 教具 教具 三角板 彩色粉笔 教教 学学 过过 程程 一 微分的概念 1 引例 一个正方形金属薄片 当受冷热影响时 其边长由 如图 变到 x x0 0 x 少 问薄片的面积改变了多 dx x fdy dx xx x fdy x f x y x f x y 3 x Ady dy x x f x yxAx f x yxx 0 xA x 0 xAy yxxx x f x y 2 00 00 00 00 0 则有规定 且有可导 在点函数可微的充要条件是 在点函数定理 即记为的微分 自变量增量 相应于在点称为函数是可微的 而在点 数的高阶无穷小 则称函是比的常数 而 是不依赖于其中 可表示为 数的增量为该邻域的点 如果函及 的某邻域内有定义 在点设函数定义 f x yx f x y 4 0 纵坐标的相应增量 的切线上点的的微分 就是曲线在点函数 微分的几何意义 二 几点说明 三 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1 基本初等函数的微分公式 2 微分运算法则 1 函数和 差 积 商的微分法则 2 复合函数的微分法则 一阶微分形式不变性 10 3 举例 已知 y sin 2x 1 求 dy 四 例题与作业 习题 2 8 2 9 微分的应用微分的应用 教学目的 教学目的 使学生掌握微分在近似计算中的应用 了解微分在误差估计中的应用 重点与难点 重点与难点 微分在近似计算中的应用 教学方法 教学方法 讲练结合式 教教 学学 过过 程程 一 微分在近似计算中的应用 1 计算函数增量的近似值 x x fdy 0 y 要注意条件 相对较小 x 2 计算函数值的近似值 1 计算函数 f x 在点 x n 1 1 x1 x1ex x ln 1x x tanxsinx x 0 x f f 0 f x 0 xf x 2 x x x f f x f x n x 000 几个常见的近似计算式 相对较小附近的近似值 在点计算函数 相对较小 条件是附近的近似值 xx 二 微分在误差估计中的应用 1 公式 2 举例 三 小结与习题 习题 2 9 四 小结 微分在近似计算中的应用 本本 章章 小小 结结 1 本章主要内容为 导数的定义和导数的几何意义 初等函数的导数公式和求导法则 隐函数的导数 对数求导法 由 参数方程所确定的函数的求导 以及微分的定义和微分的几何意义 微分的基本公式和微分法则 2 在学习函数微分时 要注意微分有两个特性 u du fdy 2 0 x x 0 dy yxx x fdy 0 x x f 1 00 即一阶微分形式不变性 的线性函数 且是时 当 联系 但应注意它们的区别与 的联系 统称为微分法在计算方法上有着紧密求函数的导数和求微分 3 本章概念和公式较多 以下列出了主要内容之间的联系 11 数导数由参数方程所确定的函 求导法则 隐函数 和微分法则基本公式求导法则 微分基本公式导数的复合函数 求导法则 和 差 积 商 线性主部 函数增量的函数微分函数的导数 函数的变化率 微分几何意义导数几何意义二阶导数 x dx fdy dx dy x f 第第 3 章章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 3 1 中值定理中值定理 教学目的 教学目的 使学生了解中值定理 弄清中值定理的条件及结论 明白中值定理的几何意义 重点与难点 重点与难点 中值定理 教学方法 教学方法 诱启式 教教 学学 过过 程程 一 罗尔 Rolle 中值定理 1 定理 0 f b a a f b f 3 b a 2 b a 1 f x y 得 使 内至少存在一点则在开区间 内可导 在开区间 上连续 在闭区间 满足条件 如果函数 2 几点说明 3 几何意义 如果连续光滑曲线 y f x 在 a b 的两端点的值相等 且在 a b 内每一点有处 处不垂直于 x 轴的切线 则至少有一条平行于 x 轴的切线 如图 4 举例 二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 1 定理 a b ff a f b ab f a f b f b a b 2 b a 1 f x y 或写成 得 使 内至少存在一点则在开区间 内可导 在开区间 上连续 在闭区间 满足条件 如果函数 a 2 定理推导 3 几点说明 4 几何意义 若连续曲线 y f x 上的弧除端点外有处处不垂直于 X 轴的切线 则在这段弧上 AB 12 至少存在一点 C 使曲线在 C 点的切线平行于弦 AB 如图 5 推论 1 与推论 2 6 举例 三 柯西 Cauchy 中值定理 1 定理 2 几点说明 四 例题与作业 习题 3 1 五 小结 微分中值定理是微分学的基本定理 尽管非常重要 但只要求学生作一般了解 3 2 洛比达洛比达 L Hospital 法则法则 教学目的 教学目的 使学生掌握洛比达 L Hospital 法则 求未定式极限 重点与难点 重点与难点 洛比达 L Hospital 法则求未定式极限 教学方法 教学方法 讲练结合式 教 学 过 程 一 型未定式 0 0 1 定理 如果 2 在点 都趋于与时 当0g x f x xx1 0 存在 或都存在且的某一邻域内 x g x f lim 3 0 x g x g x fx 0 xx 0 x 1 arctanx 2 lim sinxx xcosxx lim 8x 42xx lim 1 3 2 x g x f lim g x f x lim x0 x 3 3 xx xxxx 0 0o 求例举例 几点说明 且 二 未定式 1 定理 如果 大 都趋于无穷与时 当g x f x xx1 0 2 在点存在 或都存在且的某一邻域内 x g x f lim 3 0 x g x g x fx 0 xx 0 为 且 x g x f lim g x f x lim 0o xxxx 2 几点说明 3 举例 x xln lim 2 x 求 13 三 其它类型未定式 除前面两种基本的未定式外 四 还有例题型来解决 可转化为五种类型未定式 0 0 1 0 0 0 0 五 练习与作业 习题 3 2 六 小结 洛比达法则求极限时一定要注意它的使用条件 未定式 3 3 函数的单调性与极值的判定函数的单调性与极值的判定 教学目的 教学目的 使学生掌握函数的单调性判定 会求函数的极值 重点与难点 重点与难点 函数的单调性判定 求函数的极值 教学方法 教学方法 诱启练习式 教教 学学 过过 程程 一 函数的单调性 1 单调性概念与图示说明 2 定 理 设 函 数y f x 在 a b 上 连 续 在 a b 内 可 导 1 若在 b a x fy 0 x fb a上单调增加 在则函数内 2 上单调减少 在则函数内 若在 b a x fy 0 x fb a x 时 点不取得极值 处取在点则 在点则 0 0 0 0 x f xf x 0 f x 0 x 三 函数极值举例 的极值 求函数例的极值 求函数例3x x x f 6 x 2 3 x x f 5 3 3 2 四 结与习题 归纳求函数的单调区间与求函数极值的解题步骤 习题 3 3 3 4 函数的最值及其应用函数的最值及其应用 教学目的 教学目的 使学生掌握函数最值的求法及函数最值的某些应用 重点与难点 重点与难点 函数最值的求法及函数最值的某些应用 教学方法 教学方法 诱启练习式 教教 学学 过过 程程 一 函数最值的概念 1 概念 2 定理回顾 二 求函数最值的一般步骤 1 求出 f x 在 a b 上的所有驻点和不可导点 2 求出驻点 不可导点及端点的函数值 3 对上述函数值进行比较 其最大者即为最大值 其最小者即为最小值 三 举例及应用 例 1上的最大值和最小值 在 2 1 1 x1 x x f 32 求 例 2 用一块宽为 6m 的长方形铁皮 将宽的两个边缘向上折起 做成一个开口水槽 其横截面积为 矩形 高为 x 问高 x 为何值时水槽流量最大 例 3 横截面为矩形的梁原强度与矩形高的平方和宽的禾乘积成正比 用直径为 D 的圆木作矩形梁 问高和宽各为多少时梁的强度最大 15 例 4 设工厂 A 到铁路的垂直距离为 20 千米 垂足为 B 铁路线上距离 B 为 100 千米处有一原料供 应站 C 图示 现在要从铁路 BC 中间某处 D 修建一个车站 再由车站 D 向工厂 A 修一公路 问 应选处才能使得从原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省 已知 1 千米的铁路运费与公路运费之 比为 3 5 四 小结与作业 习题 3 4 3 5 曲线的凹凸性函数图形的描绘曲线的凹凸性函数图形的描绘 教学目的 教学目的 使学生掌握函数曲线的凹凸性及函数图形的描绘 重点与难点 重点与难点 函数曲线的凹凸性及函数图形的描绘 教学方法 教学方法 讲解回顾练习式 教教 学学 过过 程程 一 曲线的凹凸性与拐点 1 定义 设函数 y x 在区间 a b 内可导 若曲线 y f x 在 a b 上每一点的切线都位于该曲 线的下 上 方 则称曲线 y x 在区间 a b 内是凹 凸 的 如图 2 定理 b a x f y 0 x f b a 2 b a x fy0 x f b a 1 b a x y 内是凸的 在则曲线内 在若内是凹的 在 则曲线 内 若在内具有二阶导数 在区间设 称为曲线的拐点 曲线凹凸部分的分界点 区间 结论也成立 定理中的区间改为无穷 说明 2 1 3 的凹凸区间及拐点 求曲线举例 间 即可得出曲线的凹凸区点 反之则不是 同时应的曲线上的点即是拐 该点对的符号 若异号 则与两侧列表考察上述各点邻近 不存在的点 和求出 的定义域 求出 的步骤 求曲线的凹凸间及拐点 x xy 5 x f 3 x f0 x f 2 x f 1 4 3 5 3 8 二 函数图形的描绘 1 渐近线概念 水平渐近线与垂直渐近线 2 作图一般步骤 1 确定函数的定义区间 2 考察函为数的奇偶性 周期性与有界性 3 确定函数的单调区间 极值点 凹凸区间与拐点 4 求曲线的渐近线 5 根据上面讨论并利用曲线与坐标轴交点及相关辅助点 描出函数的图象 三 举例 描绘 y 的图形 x 1 x 2 四 例题与习题 习题 3 5 五 小结 函数曲线的凹凸性判定 函数图形的描绘 3 6 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用 16 教学目的 教学目的 使学生了解导数在经济分析中的应用 如成本函数 收入函数 利润函数 边际分析 中的边际成本 边际收入 边际利润 最大利润 弹性概念等 重点与难点 重点与难点 导数在经济分析中的应用 如成本函数 收入函数 利润函数 边际分析中的边际 成本 边际收入 边际利润 最大利润 弹性概念等 教学方法 教学方法 启发诱导式 教教 学学 过过 程程 一 成本函数 收入函数 利润函数 1 成本函数 C x 是生产数量为 x 的某种产品的总成本 它为固定成本及变动成本之和 成本 函数 C x 为单调增函数 2 收入函数 R x 表示售出数量为 x 的某种商品所获得的总收入 收入 价格 数量 即 R x p x 3 利润函数 L x R x C x 二 边际分析 1 边际成本 2 边际收入 3 边际利润 4 最大利润 三 弹性的概念 1 概念 2 例题 四 例题与习题 习题 3 6 3 7 曲线的曲率曲线的曲率 教学目的 教学目的 使学生理解弧微分 了解曲线的曲率概念及曲率半径 重点与难点 重点与难点 弧微分 曲线的曲率及曲率半径 教学方法 教学方法 启发诱导式 教教 学学 过过 程程 一 弧微分 1 弧微分的概念 2 弧微分公式 dx y 1 dy dx dS 222 二 曲率及曲率半径 1 曲线曲率的概念 1 定义 2 曲率计算公式 2 3 2 y 1 y k 2 曲率半径的概念 1 计算公式 k 1 R 2 例题 三 例题与习题 习题 3 7 四 小结 曲线的曲率概念在工程技术中有着某些应用 本本 章章 小小 结结 1 本章研究两大内容 即微分中值定理和导数的应用 微分中值定理是微分学的基本定理 是本章内容的理论依据 导数的应用具体的有这样几个方面 一是洛比达法则求极限 二 是利用导数讨论函数的变化性态 三是导数在经济方面的应用 四是曲率问题 2 中值定理是沟通函数与其导数的桥梁 是利用导数研究函数性质的根据 3 洛比达法则用于求 型未定式极限 和 0 0 应注意以下几个方面 17 1 每次使用法则应检查是否符合条件 2 满足条件可连续使用 3 洛比达法则失效 并不说明极限不存在 需用别的方法来求 4 函数的单调性是函数的特性 是函数极值的基础 要熟练掌握函数的单调性判定方法 5 极值是局部概念 最值是全局概念 要熟练掌握函数极值和函数最值的求法 6 函数图形的描绘是综合知识的运用 是本章前几节内容的概括 7 了解导数在经济方面的应用 8 曲率问题 1 弧长微分公式 dx y 1 dy dx dS 222 2 曲率 2 3 2 y 1 y k 3 曲率半径 k 1 R 第第 4 章章 不定积分不定积分 4 1 不定积分的概念 性质及基本公式不定积分的概念 性质及基本公式 教学目的 教学目的 使学生理解不定积分的概念 掌握不定积分的性质及基本公式 重点与难点 重点与难点 不定积分的概念 不定积分的性质及基本公式 教学方法 教学方法 启发诱导式 教教 学学 过过 程程 一 原函数的概念 几点说明 的一个原函数 为则称或 使得 知函数 若存在函数是定义在某区间上的已设函数定义 2 f x F x f x dx dF x x f x F F x f x 1 二 不定积分的概念 为积分符号 为被积表达式 为被积函数 为积分变量 称其中 的不定积分 记为称为全体原函数函数定义 f x dxf x x f x x F CF x f x dxf x CF x f x 1 2 积分曲线及积分曲线族的概念 3 例题 4 积分运算与微分运算之间的互逆关系 CF x dF x CF x x dx F 2 f x dx f x dxd f x f x dx 1 或 或 18 三 基本积分公式 Carcsinxdx x1 1 13 Carctanxdx x1 1 12 Ccscxcscxcotxdx 11 Csecxsecxtanxdx 10 Ccotxxdxcsc 9 Ctanxxdxsec 8 Ccosxsinxdx 7 Csinxcosxdx 6 C lna a dxa 5 Cedxe 4 C x lndx x 1 3 1 Cx 1 1 dxx 2 Ckxkdx 1 2 2 22 x xxx 1 五 直接积分法举例 性质 可加以推广性质 四 不定积分的性质 0 k f x dx kkf x dx 2 g x dx f x dxdxg x f x 1 六 小结与习题 小结不定积分的概念及基本公式和不定积分的性质 习题 4 1 4 2 换元积分法换元积分法 教学目的 教学目的 使学生熟练掌握不定积分的换元积分法 第一类换元积分法和第二类换元积换元积分 法 重点与难点 重点与难点 第一类换元积分法和第二类换元积换元积分法 教学方法 教学方法 诱启练习式 教教 学学 过过 程程 一 第一类换元积分法 凑微分法 1 引例 2 定理 C x F CF u f u du x x d f x dx x f g x dx x u 回代 令凑微分 3 例题与说明 4 几个常用的凑微分式 d arctanx dx x1 1 d arcsinx dx x1 1 d cotx xdxcsc d tanx xdxsec d sinx cosxdx d cosx sinxdx x d lndx x 1 d edxe x2d x dx d x 2 1 xdx 1 2 2 2 2 xx2 baxd a dx 5 几个常用积分式推导 19 二 第二类换元积分法 C x F CF t t dt t f f x dx t dt t f t xf x dx 1 1 t x 回代 令 序进行计算 易求出 则可按以下程 进行换元 如果时 适当地选择定理 计算 2 几种常见换元的举例 1 根式换元法 dx 13x 1x x1 dx 3 求 t 1 x 3 ax dx 0 a x a dx 0 adx xa asect x ax atanx x ax asinx x xa 2 22 3 222 22 2222 22 令到代换 求 令时 对令时对 令时 对三角换元 三 小结与习题 不定积分的换元积分法是求不定积分的重要积分法 要记住一些常见的凑微分和 换元 习题 4 2 4 3 分部积分法分部积分法 教学目的 教学目的 使学生熟练掌握不定积分的分部积分法 重点与难点 重点与难点 不定积分的分部积分法 教学方法 教学方法 诱启练习式 教教 学学 过过 程程 一 分部积分公式 1 公式推导 2 几点说明 分部积分的关键是恰当地选择 u 和 dv 一般要考虑以下两点 1 v 要容易求得 可用凑微分法求出 2 容易积出要比 udv vdu 3 常见几个被积函数式形式选择 u 和 dv 的具体方法 三 分部积分积分举例 dx xarctan arcsinxdx sinxdxe dxex xlnxdx dx cosx x xx2 例题 四 课堂练习与习题 习题 4 3 五 小结 使用分部积分过程中 如何恰当地选取 u 和 dv 作出一般性的概括总结让学生加以理解 掌握 4 4 积分表的使用积分表的使用 教学目的 教学目的 使学生会查简易积分表 重点与难点 重点与难点 积分表的使用 20 教学方法 教学方法 练习式 教教 学学 过过 程程 一 积分表介绍 二 简易积分表使用 三 举例与课堂练习 例题 xdxlnx 4cosx 3 dx 2x x 3 23 2 dx 查表求 四 小结与练习 本本 章章 小小 结结 1 本章主要内容为 不定积分的概念 积分的基本公式及运算法则 几种基本积分法 2 原函数和不定积分的概念是积分学中的最基本的概念 3 下面框图指出了它们间的联系 原函数族 不定积分 积分曲线族 CF x y f x x F f x dx CF x y 若 当 x x0 通过点 x0 y0 y y0 一个原函数 一条积分曲线 y F x C0 y F x C0 4 积分的基本公式和法则是求不定积分的重要工具 学习时必须熟记 并用相应的导函数公式和 法则与之对比验证 应该注意 求积分的运算要比求导运算困难 技巧性较强 直接积分法是 其它积分法的基础 5 第一类换元积分法和第二类换元积分法统称为换元积分法 因为它们都是通过适当的变量代换 来求积分的 值得注意的是 它们的区别在于积分变量 x 所处的地位不同 第一类换元积分法 是令 u x 其中 x 是自变量 引入的新变量是函数 而第二类换元法是令 x t 其中 x 是函数 引入的新变量 t 是自变量 另外 在进行第一类换元积分时 通过凑微分 新变量 u 可 不明显地标出 而进行第二类换元积分时 新变量 t 必须明显地引进 即 令 和 回代 这两 个过程不能省略 6 分部积分的关键是合理地将被积表达式分成 u 和 dv 两部分 从而代入分部积分公式 7 一般说来 查积分表可节省计算积分的时间 但应注意 只有掌握了基本积分法才能灵活地使 用积分表 21 第第 5 章章 定积分及其应用定积分及其应用 5 1 定积分的概念定积分的概念 教学目的 教学目的 使学生理解定积分的概念 弄清定积分的几何意义 掌握定积分的性质 重点与难点 重点与难点 定积分的概念 几何意义及定积分的性质 教学方法 教学方法 诱启式 教教 学学 过过 程程 一 定积分问题的举例 1 曲边梯形的面积 1 曲边梯形的概念 5 曲边梯形的面积问题 a 作分割任取分点 把底边 a b 分成 n 个小区间 i 1 2 n 对应的第 i 个小曲边梯形的面积记为n 2 1 i Ai b 取近似代替 在第 i 个小曲边梯形的底上任取 一点 1i x i x 则得小曲边梯形面积 i A 的近似值 ii x f i 1 2 n i c 求和 将 n 个小曲边梯形面积的近似值求和 即 n 1i ii x f n 1i i ni1 ii 0 x max x f limA d 其中曲边梯形的面积即为求极限 2 变速直线运动的路程 二 定积分的概念 定积分的定义 略 1 几点说明 1 定积分表示一个数 与被积表达式和积分上 下限有关 而与积分变量无 关 2 规定 3 定积分的存在性 当 f x 在 a b 上连续或只有有限个间断点时 f x 在 a b 上可积 dxf x dxf x 0dx a b b a b a xf 三 定积分的几何意义 曲边梯形面积的代数和 四 定积分的性质 性质 1 线性性质 k b a 12211 k x dxfk x fk dx b a xf 2 dx b a xf 22 性质 2 积分的可加性 dx b a xfdx c a xfdx b c xf 性质 3 积分的比较性 在 a b 上 若有 f x 则有 xg dx b a xf dx b a xg 性质 4 积分估值性质 设 M 与 m 分别是 f x 在 a b 上的最大值与最小值 则有 m b a dx b a xf M b a 性质 5 积分中值性质 如果 f x 在 a b 上连续 则在 a b 上至少存在一点 a b 使得 f dx b a xf b a 五 小结与习题 定积分的概念与定积分的若干性质 习题 5 1 5 2 微积分基本公式微积分基本公式 教学目的 教学目的 使学生弄清积分上限函数的概念 熟练掌握牛顿 莱布尼兹公式 重点与难点 重点与难点 积分上限函数的概念 牛顿 莱布尼兹公式 教学方法 教学方法 诱启练习式 教具 教具 三角板 彩色粉笔 教教 学学 过过 程程 一 积分上限函数 1 概念 定理 如果函数 f x 在 a b 连续 则积分上限函数 上可导 且其导数是在 b a dt t f x x a x a bxa x f dt t f dx d x y y f x 2 推论 连续函数的原函数一定存在 事实上即是 f x 的一个原函数 0 a x x x a dt t f x 二 牛顿 莱布尼兹 Newton leibniz 公式 b a F a F b x dx f f x F x b a x f 1 的任一原函数 则有为上连续 且在设函数定理 2 例题 见教材 三 小结与习题 积分上限函数 牛顿 莱布尼兹公式 习题 5 2 5 3 定积分的积分法定积分的积分法 教学目的 教学目的 使学生熟练掌握定积分的换元法和分部积分法 重点与难点 重点与难点 定积分的换元法和分部积分法 教学方法 教学方法 诱启练习式 教教 学学 过过 程程 一 换元积分法 1 换元积分法概念 设函数 f x 在 a b 上连续 而 x t 满足以下条件 1 x t 在 23 上有连续的导数 2 a b 且当 t 在 内变化时 x t 在 a b 上变 化 并不超出 a b 则有换元公式 t 为偶函数 为奇函数 b a xf a 0 2 0 上连续 试证明 a a f x dx a 1 0 2 0 2 b a b a ex 2 uvudv 求例 b a cosxdx vdu xdx 例题 xdx 2 0 b a f x A 所围成的面积 2 d 积为 fdx t dt 2 注意 换元必须换限 原上限对应新上限 原下限对应新下限 3 例题 f x f x dx f x a f x 在