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13岁儿童关于问题解决中合作的数学对话及其出现的数学关系 作者：CAROLYN KIERAN（卡罗林。） 翻译：孙禾摘要：这篇论文，以一个宽泛的观点，探索公众和私人的话语所共同形成的东西，两个13岁男孩的数学思维发展中，出现的一些情况并且是一个引起另一个。对这6对儿学生所做的论述，是来解释和图示问题形式也包括有理函数，被近期发展的数学工具的手段用来分析。每一组合作者所出现的数学的本质被发现与一些因素有关，这些因素包括解答路径生成的前后人际关系客观水平表达的方式的特征，对话者流动渠道的活性度，和在公众对话中被明确的参与者的想法的范围。宽泛的相互作用的分析假如证实了青少年在新奇的问题形式下可以体验一些困难，并且通过他们两者高度精确的相互作用，那么可以使他们的一些突发的想法呈现在合作者面前。关键词：交流，谈话，有理函数图表，相互作用，数学谈话，问题解决，数学教育研究，学生谈话1. 说明 前言最近很多数学学习的研究都注重于数学问题解决中的小组工作的促进角色。例如，一些研究（如，Forman,1989; Forman and Cazden, 1985; Glachan and Light, 1982; Teasley, 1995）发现参与策略与解释讨论的学生能从相互作用获益。Leikin and Zaslavsky (1997)描述了小团体设置是怎样导致更高的言语层次，提高态度，和增加九年级后进学生之间的数学交流。Hershkowitz and Schwarz (1997)报告了 九年级学生相互作用所产生和检查假定的方式，和他们是怎样学会批评和归咎自己的和他人的问题解决过程。Teasley (1995),比较了四年级学生在包括一个图形问题解决实验的四个不同的实验设置中的工作质量，即：二人一组工作并且谈话，二人一组工作不谈话，单独工作不说话，单独工作大声说话，结果他发现谈论对于学习过程来说是有意义的，并且当这些谈话对合作者有指导作用时意义更加显著。Kieran and Dreyfus (1998),在他们的研究中 一对儿13岁的问题解决者相互作用的类型 和 合作者指导谈话下的条件是有效的 ，表明对话者之一进入“思考的宇宙”之一简短时间 另一个是关键的重要性(cf., Trognon, 1993).但是一些其他的研究建议合作者参与的谈话可能不总是有益于学习。例如，Salomon and Globerson (1989),在一项七年级的阅读研究中，报告说设计一个特别的指导工具来提供明确的元认知指导用在学生个人的工作上比用在成双的中有更深刻的影响。在他们对这些发现的分析中，研究者建议成双组合的学生不要肩并肩地简单的个人工作，他们是一个社会制度行为和认知相互依赖并且逐渐形成相互依赖的交流反映了一个同等的和共享的努力成果（或结果成空）。这个领域的其他相关成果（例如，OConnor, 1996)鉴定了，一些消极的社会历程成为数学谈话的表层结构的基础，这对团体的意义建构不利且协商的意义在六年级里凝视相互作用。在另一个更特别关注两人一组连续两个月关于代数思维的发展的工作的七年级学生生成的数学谈话性质的研究中，Sfard and Kieran (2001)发现数学交流视乎十分困难。学生们既不在他们所说的方面严谨也不在他们注意的方面明确。更重要的是，他们的全部的社会影响的范式，没有提高研究的持续性，对他们是一点作用也没有。正如学生们没有真正的一起来解决问题那样他们都是以私人的工作来开始每个问题他们的谈话几乎都是在面对同伴通常用不同的解决方法时来争论赞同自己的解决办法 。在这一点上，Hershkowitz and Schwarz (1997)指出向同伴报告自己解决问题过程的想法通常是一个“纯净”的行为，“细节被删除，步骤也跳跃”。但是如果学生不是首先解决问题然后试图向同伴解释他们的解决办法；如果当学生们试图一起来解决问题时被谈话来代替，那么相同的净化也能来代替？4 上述研究引起一些关于数学谈话学生的相互作用的动力和这些动力帮助和提高参与者的数学成长的问题。尽管大量的研究进行关注数学课堂的相互作用，但是极少研究注重数学谈话本身的性质尤其是超越中小学年纪的学生（参见Webb的综述, 1991）谈话对每一个对话者数学思维发展的角色。提出这一论文旨在推进这一展开的领域的研究。呈现的研究包括六组13岁学生，他们刚刚完成七个星期的入门代数序列课程，处理在他们的代数课堂上未遇到过的一系列函数的一套新奇问题。对他们谈话的具体分析谈话首先包括一个合作者然后没有假如洞察青少年数学对话在过程中的的性质，问题解决环境和在那个方式里那个特征对在一个给定的组里关于在相互影响中出现的数学的每一个谈话者来说，谈话能有不同的影响。 2. 一个宽泛的视野5.20世纪70年代末和80年代初，Vygotsky的工作开始被国际数学教育团体所熟知（Fuson, 1980）。他的著作提供了一个理论看法，直接与数学教育训练教育的规模有关，也与数学教育发生广泛的文化环境有关。Vygotskian理论的最重要的方面是最近发展区。尽管如此，近来更多的数学教育研究者的研究关注于语言的角色和教育和学习数学的其他数学工具（例如，Bartolini Bussi andMariotti, 1999; Lerman, 1998; Noss and Hoyles, 1996）。6 语言是上面提到的尤其是Vygotsky (1981)的理论最重要 调解的形式，但是他也认出了一套更加广泛的调解手段无论何时他写关于符号或者心理学工具， 一套包括各种各样的计算系统，代数符号系统，图表，各种各样的习用符号。对列出的心理学工具，你必须加上计算机和计算器，即使他们有物理特征，也要有具体符号系统。7 所有更高级的思维功能都是被文化所调解思维，与他人交流，做数学，等等。因为同样的调解工具对思维和与他人谈话来说都是共同适用的，个人与社会之间的边缘已趋消失。在Vygotsky看来：8. 与精神一起的和精神之内层面的过程必定是被文化制品来调解。他的评论关于字义“既是【演讲和思维】是一个或是同步的；它是言语思维的一个单位”（ Vygotsky, 1987, p. 47）在这一点上就很明确。那是因为同样基本的调解手段被用在社会和个人层面从前者过渡到后者，反之亦然，是有可能的。事实上社会和个人的明确的分界线，一个分界线被定义大部分是我们心理学上的思维，来自于Vygotsky写的问题。(Cole andWertsch, n.d., p. 2)9. Vygotskian理论使社会与个人之间的界限变得模糊，但是一个宽泛的观点如在这里被采用的一个观点试图直接处理这个界限。正如Sfard (2000; 也在此卷中)所详细说明的，一个宽泛的观点使二者合成明确了，谈话和思维都被认为是交流的实例与他人交流和与自己交流。也就是说，社会和个人层面重现的调解作为交流的两个例子被重组。但是被支持的交流的观点不是交流的意义 之一，而在不丢失共性的情况下存在能被传达或交换。诚然，交流的观点是偶然引起的并且被环境所左右。10. 宽泛的观点有它的根源在Wittgenstein (1953)后期写的论文里，他认为理解和意义只能被 人们实际口头上说的和其他符号系统所辨别。更广泛的说，Edwards and Potter (1992)主张宽泛心理学的焦点是谈话和书写的行动定位【即，谈话和书写被用来做什么】，并且那比看到这样一个宽泛的结构如在认知情形下说话者的表达要好，他们在他们的发生作为和引起建构的背景下被检查，它精确的性质对参与者和分析家社会行为描述完成是有意义的。根据Vion (1999)的，语言与社会关系相互作用，曾经使用的语言被环境所决定，且同时环境被语言所决定。11. 宽泛心理学的问题，当分析演讲行为或话语时，不是“它代表什么？，但是接下来是什么？”(Edwards, 1993, p. 218).。Shotter and Billig (1998)指出“这里指明的理解的种类不是一种认知的，代表性的指示的种类，但是是一个实际的，对话的理解种类并且被带进我们前进的语言行为中，不断的更新，不断的说话，然后展开” (p. 24)。这样不断的更新给了谈话者一个特别的责任。根据这两个作者，“【实践中理解】仅仅是在可以理解的方式下交换实际的延长和如果“脑图”的共享或一个想法处于危险中，那只能通过人们测试和检验双方的谈话来实现，并且确定他们事实上是否同意” (p. 24)。12. 这篇论文里所使用的“谈话”一词意为“任何的有效地交流的实例，是探求现象变化的还是不管历史演变的，是与他人一起还是单独一人，是占主导地位的言辞还是其他符号系统的帮助的” (Sfard and Kieran, 2001, p. 47)。与交流有关的综合化原则一致，按上述，这一新的宽泛的接近心理学的特征之一是谈话可能是公众的或私人的。Harr and Gillett (1994)区别了定义公众谈话作为行为和定义私人谈话作为想法或思维这两者。他们也作出了详述，就像早前建议的，联接点与Vygotskian理论，当他们指出“个体所使用的符号系统，并以这个观点构成了思维，起源于人与人之间谈话过程，那是人类环境的主要特征” (p. 27).13. 尽管如此，想法值得一提，尽管它深深嵌入与文化，社会，人际关系环境，但是它不是简单的想法的满足，而是思维中语言的图示或碎片。例如，一个人可以思考一个特殊芳香的气味或者笛卡尔坐标的长度图或者正义的概念，等等。这个观点的另一个假定是思维在解释公众对话中起到了重要作用，因为它们可以说明人们做现在和过去的经验的联系，对他们现时经验的活动的影响的联系：14. 作为概念的使用的思考者（能熟练使用符号系统的思考者）是经验积极的参与者。他们选择处理形势的方面和这些成为特定（言语）概念的使用的基础。他们应用这些（言语）概念然后可以推理经验并且把它链接到其他经验上和更抽象的思维。于是（一个单词使用）一个概念的理解是一个积极宽泛的技巧。它是有选择性的在面对一套丰富的经验的可能性。（Harr and Gillett, 1994, p. 48;所有方括号，圆括号，最初的下划线）15. 这不是否认，根据Vygotskian 理论 (1981)，公众对话的遗传优先于个人。这个观点没有试图去讨论，除了以一个非常普通的方式，特别议题 关于经验“内化” 人与人之间的谈话在个人使用 适当化的过程中是怎样改变的。(see, e.g., Wertsch, 1985)16. 主要观点是公众与私人谈话的相互作用。思考是潜在的私有的；他人难以发现。但是它们也容易受到广大环境的影响。Harr and Gillett主张“当我们共同地产生会话时，每个人的活动对我们来说都是显而易见的，并且如果我们个人的心理活动也是符号的，本质上使用相同的系统，那么我们可以根据环境的要求来使它显现或隐藏” (p. 27)。17. 他们对于个人对话的评论指向了这一研究的中心问题。当数学环境好像需要它和它以什么样的形式来做时，青少年学生使他们的同伴可以清楚看见他们思维的工作方式？参与者在他们参与数学问题解决时的对话和合作的二人数学思维的出现，这两者之间的关系是怎样的？下一章节讨论在研究和描述上面所探寻问题的答案的方式所用分析的方法工具。3. 研究3.1 学生们的背景18. 这一研究中的六对儿学生是Montreal市（加拿大，蒙特利尔）的一所私立学校小学后第一年（13岁）的结束阶段的学生。他们刚好有完整的，与同班同学一起，有一个7星期的基于面向对象的代数导论课程，以给符号以意义和代数学以图示的意义并操作这些图示的转变为目标的有用的方法(见Kieran, 1994; Kieran and Sfard, 1999)。他们被认为在数学方面有相当高的能力，在同等级的80以上的代数序列中，他们总是在所有的周期评定中获胜。（在研究的一开始，他们在这一领域中的精确的熟练用一个预备的实行就早已根深蒂固）。在七个星期的代数引入课中所强调的满足主要以线性函数的背景为中心，尽管一些二次方程式和三次函数的经验在其中。很多代数序列涉及成对儿工作使用活动表，用老师和整个班级讨论的课堂教学穿插其中。代数序列被用在计算机上的数天，学生在二人组成的一组中探索参数在绘画和符号表示法中的作用和他们在不同问题环境中的关系。这样，合作互动对这些学生来说不再新鲜，在先前的数月里他们经常以合作者一样在他们的数学课堂上一起活动。他们中的大多数还参加相同的初中，他们有丰富的与同龄人数学交流和同龄人问题解决的经验。六对儿合作者在他们七星期的代数序列课的结尾同意参加研究。3.2 方法论3.2.1 让学生们做的事19. 方法论的第一部分，处理由多个学生一起参加被要求做的事，根据Hatano and Inagaki (1994)的方法论改编。它包括参加问题解决工作，根据个人报告书写，然后对相似问题的个人工作那些共同的解答。六对儿学生（5对男生组合和一对女生组合），所有精于算术的和有同样导入代数的七星期经验的，被给予同样的问题设置（见Appendix 1）。那是一个复杂的，多部分的问题，被研究员们和课堂数学老师仔细考虑，对学生来说是相当困难，因为，它是建立在 一种他们从来没有见过的从有理函数而来的函数的基础上的，即，自变量是有理式函数分母的一部分。一次对学生中的一对观察和录像。几个热身问题之后，这一组合拿到了单独的相关活动工作单。他们被告知在解决给予的问题时要合作，并且根据他们的需要尽量多的合作（问题设置可能需要大约45分钟到一个小时完成）。他们还被告知在共同工作之前，工作完成之前，他们会被要求写他们在一起时他们做了哪些东西的个人报告，然后在个人的基础上继续工作类似的问题。一台计算机放在他们工作台的旁边给他们使用，如果他们想用（计算机建立了相同的问题，在他们的代数入门课中已经使用了：数学连接：代数2Rosenberg, 1992)）。也使用计算器。在完成了共同的那部分工作后，每一个人都被要求写一个个人报告来描述他们在解决共同工作中的一些问题使用的推理过程，他们从经验中学习到的想法，和那是否是他们工作的一部分，而他们仍然还只有一个模糊的概念。紧接着，组合的每一个成员都给了一套工作单包括一个简短的问题设置类似于一个共同的工作。个人的工作也被录像。3.2.2 分析数据的工具20. 方法论的第二部分包括数据来源和数据怎样被分析。第一，所有的录像都被以译写这样的方式来捕捉所说的和所做的事情（见附录3，使用抄录磁带的协定）。然后两套工作单（一套由每一对组合的工作组成，另一套由每一个成员的后续工作组成）都被分析。最后，从所有的抄录记录中选择出来的部分用一个数学工具来处理，这是为了适应目前的研究。描述如下：21.这个工具被设计出来是为了从抄本中综合学生们彼此相互作用的方式，并且允许研究员不仅一瞥即可发现相互作用的性质，而且要集中注意那些好像要发展对话的数学内容的言论。这个工具是相互作用的流程图。相互作用分析处理这样的问题，一个谈话的参与者怎样在不同的沟通渠道（个人和人际之间的）和不同级别的会谈（客观水平和非客观水平）中游移。记录个人的沟通渠道不会与私人的言论相混淆。私人的言论指的是想法，当一个个人的渠道由那些公众的言论组成，一个参加谈话的人似乎有更多的自我。交流的客观水平关系到的宽泛的要素，被认为是整体推动数学方向向前发展。非客观水平关系到的宽泛的要素，简单的保持对话的继续，也就是表达谈话者之间的关系。22.随着参加谈话的人的对话展开，他们的注意力在个人和人际之间移动，就像在客观水平和非客观水平的关系（见附录4对这一流量的表示）。在建立相互影响的流程图，每个参加谈话人的言论都可以解释为反应的（回答先前的言论）或前摄的（回答吸引人的）。如果一个言论是反应的，那它可用一个向上的箭头表示，垂直或者对角，取决于这个言论是对演讲者自己还是同伴发出的反应。这种类型的箭头表示的事实是最初的话语（箭头起源的地方）是一个对目标话语的反应（箭头所指向）。如果一个言论是前摄的，那它可用一个向下的箭头表示，垂直或者对角。这种类型的箭头表示的事实是最初的话语引来的回应。那是演讲者一个假定的意图，而不是合作同伴，这个将被考虑，当决定一个话语是否是前摄的的时候。垂直的箭头反应了一个事实即谈话的人好像对自己说话比跟同伴说话更多，尽管这总是一个大约的解释（见附录5流程图符号）。23.反应/前摄的箭头可能是实心的或点。实心箭头象征客观水平言论而点箭头象征非客观水平言论。如果言论包括以下几点，那他们就被归为客观水平类型：阅读思考题的全文，反驳一些先前的建议，提供一些新的关于数学内容的建议，征求数学性质的信息，等等。简而言之，任何反应一种意图与关于共同活动的数学内容一同前进的言论都被认为是客观水平言论。然而，如果演讲者只同意一些先前提前的事实和言论，或重复一些非常明显的数值，他的言论就被归为非客观水平类型。后者被视为保持谈话继续下去的目标。非客观水平言论也包括，例如，那些没有数学内容，那些可能对同伴所做的事表达惊奇的（如，你在做什么？），或那些关于同伴的关系的。4.调查的结果4.1 学生的生产率24.对话也许对参加谈话的人之一有教育成效也许对其他人没有成效。成效，正如Sfard and Kieran (2001)所说，指出对话可以影响参与者的思考，或者增加参与者广泛处理新形势的的能力，等等。对于数学对话，相互合作被认为是教育成效的，如果它已经影响到学生未来参与到数学相关的问题解决活动中，未来的参与是否包括个人或小组的工作。根据Harr and Gillett (1994)，人际之间宽泛的活动中出现的想法可以提供一个根据为以后的个人和私人的性质的想法。 表一对小组和以下个人工作表的反应的正确性的评估学生小组 小组工作 第一个人的工作 第二个人的工作1. Zak & Nic 75% Zak: 79% Nic: 71%2. Dag & Naj 79% Dag: 79% Naj: 29%3. Crs & Ali 100% Crs: 100% Ali: 43%4. Jes & Jak 90% Jes: 100% Jak: 93%5. Sho & Sej 85% Sho: 100% Sej: 57%6. Koj & Jos 67% Koj: 85% Jos: 57%如果这是人际之间宽泛的活动中所有参与者的实例，那么活动被认为是对每个参与者都有结果的。尽管如此，如果人际之间宽泛的活动中出现的想法可以为给定的一对儿中的两个参与者的唯一一个人的以后的想法提供一个根据，那么这个活动被认为只是对参与者之一有结果。25.因为最近的研究包括一项后续的组成部分，涉及个人在一个工作的子集问题，类似于学生们与合作伙伴工作，检查每个学生的个人书面工作的方式是有可能的在给定的数学环境中他们思考的一个反映是建立在与合作者共同的讨论和圈进的基础上的。换言之，认出那些他们可能选择去借鉴以前的合作经验的想法是可能的。它可能的情况是，例如，如果共同的工作对一个特别困难的问题能引导出一个有意义的解决方法，那么小组中的每个成员都可能被看出从经验中以相同的方式做事。或许可能不被看出。在两种情况下， 对他们宽泛的活动的深入分析或许可以提供他们关于鼓励（或不） 每一个参与者特殊的数学思维的出现的谈话特点的线索，思考可能被诱发在随即的关于类似问题的后续个人工作中。26.一个关于六对儿参与者的生产率的最初推测因此产生，分析对每一对儿的活动单 共同产生的反应。尽管参与者已经参与处理一个相当棘手的问题设置这个事实包括有理函数中没有先前经验的东西，但是他们的参与活动单表明大多数合作者能够回答相当的、甚至更困难的问题。 他们过去描述推理支撑他们的数字和图形工作的言论， 在大多数情况下，暗示了对数学问题情境的特别理解。尽管如此，对他们后续个人活动单的相应的分析，基于一个在结构上类似的问题设置，显示了一些不同的解释，那不是数学的适当的并且暗示了，六对儿中的四个，人际间的话语或许对两人都没有结果（见附表1我关于两套活动表产生的反应的正确性的评价）。对这四对儿来说，给定的一对儿合作者中的每一个人产生的个别的东西之间有一个巨大的差异（见，特别的，表1Sho and Sej, Crs and Ali, Dag and Naj, and Koj and Jos的结果）。这四对儿中的每一个，参与者之一的个人的工作试图以共同书写出来的东西为基础，而这对于另外的参与者来说则不是。只有两对儿，Jes 与Jak 和 Zak 与 Nic，是每一个合作者的个人工作，对合作者们一起产生了的东西有一致的看法。于是它也被认为是，对于前面四对儿，宽泛的合作对一个参与者的成效比其他的要多，并且这些后来的参与者的成果的匮乏在个人工作中产生的数学思考的性质中反映出来。换句话说，对于特定的参与者来说，出现在个人工作中的思考好像不是直接以已经在一对儿的公共合作中表达了且优先于相似的数学内容的 思考为基础。27.对个人活动表的反应内容的分析表明给定一对儿中的伙伴之间的差异最明显的问题是类似于共同工作的5c问题Nathalie 问题。事实是对其他几个问题的共同的反应和个人的反应之间有更密切的配合诚然这些问题比Nathalie 问题更简单建议是合作在这些其他的实例中可以更丰富的效果。尽管如此，比起分析那些在解决那些其他问题时发生的合作，我决定试着解释合作所引起的共同问题设置的5c问题，和它的类似物，Susan问题，在个人问题设置中（见附录2中的Susan问题）之间差异的原因。28. Nathalie 问题（问题5c）是联合设置的第一问题，要求参与者标出“点”，并且对计算方案态度明确，那样才会允许他们去做。尽管先前的5c问题被设计来鼓励潜在形式关系的意识（“飞行时间的时数等于机场距离除以飞机速度无风情况下，或者有风时加顺风风速或者减逆风风速”），替代方法例如阅读图表信息也许会帮住学生解决这些早期问题。但是没有其他的方法来成功的解决5c问题 （除非一个人拥有函数的代数表达式）；他必须要对问题情境中的变量和常量的关系非常明确。29.在对5c问题的联合工作中四个有疑问的组合会发生什么，这样这些组合中的每一个只有一个伙伴可以，或者选择， 在处理类似问题后利用同伴的经验？ 对所有6个组合在联合设置这个问题上的论文的详细的相互作用分析随后被提出目的是辨明他们的沟通模式和探求线索为什么四个组合宽泛的相互作用或许没有他们以前更富有成效。因为六个组合在5c问题上数据的冗长，这篇论文不能列出所有的数据并讨论。所以，选择了两个组合。第一对儿组合，Sho 和Sej，解释相互讨论模式有一些特征，这些特征在四对儿中的模式未被发现，且在后续个人工作中产生的组合中的每个成员之间有巨大的差异。第二对儿，另一方面Jes 和 Jak阐明了互动的一个相当不同的模式并且没有引起差异的那个刚刚好在四对儿中引起注意。第六对儿，Zak 和 Nic，就对他们的工作表全面正确的答复（成对儿和个人的二者）而言，虽然没有Jes 和 Jak 成功，正与Jes 和 Jak同组因为Zak 和 Nic 看来吸取他们的共同经验在某种程度上比其他四组所做的更像Jes 和 Jak。于是，Zak 和 Nic 与Jes 和 Jak之间合作的对比将充当讨论基础并且反应合作的各种模式和这些模式好像与他们的数学交流的成效有关的方式。即使其余四个组合宽泛的合作没有被详细介绍，评论也会随之进行，恰当的时候，对所有组合进行分析。4.2 相互合作分析：Sho 和 Sej 的相互合作30从Sho 和 Sej 相互合作的记录的章节来看，他们处理5C问题用了5分钟（见附录1，全文摘录）。在前面两个问题，4c和4d（见附录1，联合问题设置的题目），男孩们没有取得这么多进展。 h说的话做的事 301sho:好的！假设Nathalie这么做302sej： 假设Nathalie是这么做。303 sho:图表1，5c问题Sho 和 Sej。他们最终决定跳过这些问题并以 “它不太合理；至少我们知道它不会是在一个恒定速率”（sho）和“我们找不到真正的模式”（sej） 作为结束语。他们继续到5a问题，Sej在阅读了问题之后回答“分界线”，并且Sho继续“150除以30”和标记点（0，5）（问题5b）。此刻，读者被鼓励去阅读相互作用的抄本想到5c问题对男孩儿们的协作努力有个最初的感觉。31.表面看来，可能出现男孩们交流的非常好。尽管如此，宽泛的分析指出了一些缺点。图表2的左部分包含Sho 和 Sej的交流活动被压缩的相互作用流程图。（空间限制不允许列入数字包含逐行记录部分并伴随着相应的相互作用流程图章节。）图表1.续在表二的这部分，我们发现箭头代表sho和sej的客观和非客观水平言语，言语被解释为属于个人的或人际沟通的渠道sho的个人沟通在左部分的末端，sej的在右端，人际沟通在中间。（园左侧的这些数字代表Sho 和 Sej的言语参考相应的抄本内容。）32.浏览了Sho 和 Sej全部的栏目后，会马上注意两个男孩儿的个人沟通之间的不同。从313中，sho的谈话被客观水平紧紧的连接起来，而sej的个人沟通的联系数字几乎是零。所以，我们也许第一会问313之前发生了什么。在阅读了301303问题表后，没有男孩具有清晰的方向感来跟着解决问题。表2. Sho 和 Sej 与 Jes 和 Jak 相互作用图表5c问题这样，人际沟通从301到313主要由客观水平交流组成，男孩一起讨论可能的解决途径。Sej固定的大声说图表可以是任何东西304，这时，Sho不同意，建议说者应该像他们在问题1中图表一遇见的问题305. Sej又提到他们应该考虑所有的顺风的可能性 310，这时sho反驳说这对他不会产生多少感觉因为问题不是让他们“标志可以是任何东西的点”311。Sej接着说道，“如果他们给我们一个顺风”312，这标志着人际沟通和sho的个人沟通的一个性质的转变。到目前为止话语除了与解题状态的初次读数有关的以外既不是男孩的个人沟通涉及自我进击或自我反应。这时人际沟通是竞技的行动，这一领域解决的办法这在产生。33. sej还是希望有一个明确的顺风312似乎激起sho先前没有仔细考虑过的思路的一点。事实上，它为sho引起了一个清晰的个人沟通渠道，而不是为sej自己。它让sho313 标记了一个未经考虑的参考点在5c问题坐标平面（10，4.5）点好像是要说随着10千米/小时的顺风，时间会降到，4.5小时。但是片刻之后，317 sho说道：“但是，等一下，不，不不不，好的，我弄明白了，好的，她，她是30千米/小时，对不对？是这样么？30？”但是sho所“弄明白的”从来没有以对sej来说公共话语变得透明的方式完整的讨论。在319里，sho提到，“它不到40，”而sej问到，“你是怎么知道它不到40的？”320。Sho回答到，“40，这是它是什么，”提及可能的“不到40”或“超过40”。同时，sho再三的表明附录1中的问题1图表的点（30，0）和点（40，0） 。坐标平面的部分好像促成了sho的思维，纵然他对那部分可以组成整体的方式不是很明确。 34. sho然后说“他们必须计算出时间”325。他描述推断他进入计算：“150除以10.”他选择10也许来自于他的40减30，两个值他图表中标记了出来。他迅速重新看到计算器屏幕上过于大的商值，然后说，“不，对不起，我想是30加10”329。虽然sho的肢体语言暗示他也许不是完全确定他所做的，他好像 从计算器中产生的新的商值那收到一些假定的反馈它已经接近正确值了。这成了他对sej发言的习惯：“我们得到了相同的数值”335。在新的值（10，3.75）被标记出来和删除了旧的“数值”（10，4.5），sho继续宣布更多的计算，“一个50除以50等于3”351，“好的，然后我们有30，所以，60，啊哈，一个50除以60”355,并且“一个50除以70”357。尽管如此，他的言论仍然相当机械。两个男孩之间交流从来没有简单的涉及这些数值的真正意义，或者他们之间的关系。35.sej参与相互作用，帮助标记出要点。每次sho宣布出一套计算的结果时，sej就会用他的钢笔放在Y轴并且向sho表示这个值在数轴上是可以找到的，例如，344,356.然后sho会根据sej离开Y轴的点并且沿线平行于Y轴，停于X值相当于他在他的计算器中使用的顺风速度。Sej从来不知道在哪停止他的移动转向正确的方向，沿着平行于X轴的直线，因为在sho的计算表中X值没有明确。36. 男孩儿们的合作，包括一些言语301-368 ，可以分为3个阶段。第一阶段是相对较短的前解决期301-312人际沟通显示前摄的和反应两个男孩的部分客观水平。其次是为期很短的阶段，sho的个人沟通仍旧集中于寻求解决路径，最终通过计算得到了一个有希望的结果。在这一时期有助于个人沟通的客观水平比较薄弱，因为sho专心于他个人的沟通。Sej摆出了一个非常清晰的客观水平问题320，但是sho的反应似乎更倾向于自己而不是sej。余下的合作330-368有助于巩固对sho来说已经出现的。他的个人沟通仍然具有强大的客观水平标志。相反的，人际沟通则显示出很少的客观水平。Sej的贡献主要是非客观水平反应性质。37. 公众对话包括与计算机使用有关的谈话，目的是为了绘制图表中的点，但是sho的部分公众对话是更个人的，而非人际的。它对于sej来说没有明确的足够的意义。从336中，sej更像是一个“伙伴”，他帮着弄图表，而不像是一个对问题有贡献和测试其他人的谈话的合作者。已经调解sho思维的图表工具事实上允许sej参与问题解决的过程，但是它或许是一个有限制的参与挑选标记Y值的点的位置。Nathalie问题，好像对sho已经有成效了，而对sej还没有。这就好像，一旦合作者之一发现了解决问题的关键，人际沟通就变得没那么重要了。38. 以sho和sej的相互作用为特征的对话的模型也能被看见，例如，crs和ali。Crs的个人沟通十分的有重点和公众，ali的仍然不活跃。当然，会有人辩论，刚好因为一个参与者试图性格内向，而不是意味着重要的思想不在他身上发生。尽管如此，在人际沟通中ali言语的性质，伴随着他接下来的个人工作，让我们推断男孩们合作时发生的公众对话没有在ali那产生思路，随后被称为想到相关问题。事实上，ali在与crs合作中的贡献提醒了sej，因为ali的言语试图引起反应，非客观水平类型。Ali只做了四个客观水平言语并且其中3个与制作更精确的被标记点的Y轴坐标位置有关不是X值同样的情况就是sej。Ali也充当了作图“同伴”的角色。Sho和sej在5c问题上相互合作的模式，同crs和ali还有其他两对儿组合一样，是问题情境的公众对话好像对两个合作者中的一个不是很有效果。解决路径的关键成分，好像要在合作者之一中出现时，似乎没有同样的出现在其他同伴身上。所以，公众对话是偏颇的。我们现在来看这样一对儿，公众话语的性质，特别的，在找到一个解决方法 之前的部分，是那么戏剧性的不同。4.3 相互作用分析：jes和jak的相互作用39.从jes和jak的相互合作的记录章节看，他们解决5c问题用了10分钟（见附录3抄本摘录）。前两个问题，4c和4d，jes和jak，就像Sho和sej，没有取得多少进展并决定跳过他们。他们转移到5a问题，jak在jes还没来得及读完题目时脱口而出“150除以30等于5”。当jes阅读时，jak读到了5b问题并且马上回答“所以是35小时。”jes继续“这是5，那是30，”在Y轴和X轴各自的标记了（0，5）和（30，0），然后两个男孩儿一起在坐标平面上标记了（30，5）点此刻，表3.5c问题抄本jes和jak。好像没有注意到，X轴指的是风速。（可以观察到没有一个男孩扮演了被动观察员关于机械地标记点的身份）。他们准备好了要解决5c问题了。这时，读者不妨预测下在这个两个男孩解决5c问题时发生的相互合作，Nathalie 问题。40.除了比sho和sej的Nathalie 问题片段有些长外，这一对儿的相互合作流程图看起来与先前的一对儿非常不同。表3 。续全部的摘录459-533是要找到解决办法。相比之下，sho和sej的相互合作中一个解决办法开始在sho的片段中很早出现从第13个言语中jes和jak之间的相互合作几乎是寻求所有的解决办法的方向。人际沟通在客观水平言语中更加活泼对其他组合也是这样:42客观水平言语，反对25sho和sej。少数的人际沟通的客观水平言语模式对那些谈话对两个参加谈话的人来说好像没有成效的组合来说是典型的。图表3。 续41. 相互作用流程图和那四对儿组合之间的另一不同点是，以sho和sej摘录中代表的，jes和jak二者的个人沟通在开始时很活跃459-474。紧密连接个人和人际活动的时期可以分为2个阶段：第一阶段459-465a，每一个人都完成了其他的句子在他们分享解题状态时；第二阶段465b-474，每个人试图提供理由以支持他们最初关于怎样解决问题的想法。Jak，在这一阶段第一个公开说出自己想法提醒我们sej的304最初对解题状态的反应，相信没有给定顺风速度他们可以按自己所想的选择。Jes，另一方面，想当然的认为如图所示的问题1中的顺风曲线图的关系与Nathalie 问题情境相同“只要他们计算出它。”41.合作的一个新阶段是以jak在475中的非客观水平言语标志的：“啊。”这时，jak的个人沟通开始变的不活跃了，而他开始更多站在对jes的言语思想的立场作出反应更少的支持自己。在问题1中出现的jes关于顺风图的公众分析，包括寻求曲率的两个图表的模式，在484b中继续。那时，他说他们需要转移到计算机上，目的是要“找出风的表达式”48842.在接下来的第四部分，寻找一个解决路径的阶段488-504，相互作用模式又一次改变了。Jes的个人沟通变得更加活跃，他试图创造在计算机屏幕上产生图形就像问题1中的那些个表达式。（图表软件在计算机上需要输入一个表达式来产生图表）。又一次，人际沟通开始充满了客观水平言语。这是使用了计算机似乎激起了人际沟通的一个变化，早期言语中的沟通呗非客观水平言语所控制。计算机开始不仅调解jes的个人沟通而且也调解jak在人际沟通中的客观水平言语。Jak现在有一个更加明确的参照点瞄定jes的公开说出的想法。但是，即使计算机使公众对话更便利于测试猜想，在他们寻求期望的表达式的研究中男孩们并非真正推动了。他们需要一个突破点。43.尽管他们没有谈论跳过Nathalie 问题，jak懒懒的转到一系列活动表中问题的下一页。当jes检查他创造的最新的计算图表时504，jak注意到下面的问题，6a，包含一个符号式的片段（见附录1）.他选择了给定三个表达式的第一个顺便说一下，不是与问题情境一致的那个然后开始与jes分享他的发现：“看这，表达式”505。这标志了他们寻求问题解决办法的最后阶段。44.从这一集中jes和jak的客观水平谈话中每个男孩儿是否以每个要点总结了飞机的整个飞行从起飞到着陆都给定了一个顺风速度这样的方式思考图表还不是很清楚；换句话说，汇集所有图表是假设性选择的摘要图表上的每一个点代表这一一个选项（某一旅行时间某一风速）。关于图表的这些想法对学生来说是很难想象已经被几个研究的人提出了（例，见Leinhardt, Zaslavsky, and Stein, 1990）他们指出学生试图阅读图表作为随着时间而过的历史。Jak翻阅问题时发现的符号式是至关重要的，至少对标记点本身来说，并且可能对即将更好的理解图表上每个点的意义来说也是关键的。尽管jes感觉他们在使用它们时被“欺骗”520了，他们输入它们，一次一个，输入电脑。很快他们总结了三个表达式，150 / (50 x), 对照前面的问题1的图表，整个图表他们试图解开。Jes有了反应，“是它，我知道了，好的，1 ，50是它需要多长时间，50是它的速度”532，Jak说“等下，x代表了风的速度”533。他们先在好像在正确的方向了，即使他们关于表达式中每个实体的指示物的谈话仍然有一些混乱。45.jak，此刻，想回到问题4c，他们曾经跳过去的。但是4c是处理Matt的飞机，而且他们已经用图表表示过了，150 / (50 x),是Glen做的。但是这并没有打扰到jes，他骄傲地宣布：“好的，我马上给你Matt的，看，50比60少X”546抄本中没有列出的部分。Jak继续说道“好的，如果x是50，那么60减x等于10，结果是50除以10.”当他们又重新回到5c问题时，问题还不完整，他们在电脑中输入表达式“Nathalie顺风”： 150 / (30 + x)。为了尽量描述活动表中提供的同样的飞机的Nathalie 情境，他们一起在计算机图表中找出了两点（20，3）和（30，2.5）和jes将它们转化成文本描述。他加入了他们他们不久前标记的先前的点（0，5）472b以一个不太优美的曲线并问jsk：“是不是这样？”jsk高兴的回答“啊，看起来不错。”事实上，男孩们解决了书面回答中出现的表达式中所指的每个指示物，它们联合组成逆风的有关问题，#8b:“我们将距离除以它的速度减去逆风速度。”46. Nathalie 的片段对jes和jak来说好像已经顺利结束了。但是这两个男孩之间全部的合作，不仅仅是这个讨论的部分，有类似的特点。Jes擅长于将他的想法公之于众。这些公开的言语充满数学问题，他谈到了他自己和他的合作伙伴。在这个意义上两个男孩的公众对话可以说比其他组合它们的合作以sho和sej为代表，对此的做法更加广阔，更加算术的演讲。Jak被给了一个机会参与到jes的想法以这样的方式 ， 在质量上不同于sej和其它几对儿来说是可行的东西。 但是Jak同样比其他组合是一个更加活跃的合作伙伴，高兴的履行他的那部分“检查他的同伴的话。”47.这些男孩们交流成功的另一重要因素是推测时间的长度，他们试图找到一个解决办法。它们漫长的探索产生了人际沟通 客观水平言语的特点。这是相反的，而片面的话语有sho和sej合作的特点。对sho和sej，还有其他三对儿相似的组合，给定一对儿中每一个成员的接下来的个人工作产生的两个成效之间有差异，人际沟通主要特点一旦解决路径被建立就是非客观水平反应 在一定程度上很快。事实上，在一个合作者解决了之后，其他合作者在接着的谈话中很少出现数学了。48.jes和jak这对儿在所有组合中提供了最清楚的例子，“人际话语过程”可以充当“个人和私人使用符号系统”的基础(Harr and Gillett, 1994, p. 27).在 Nathalie 问题里，没有一个男孩儿以准备好了的思维关于怎样继续解决问题 进入到合作中。他们之中也没有一个人有快速的领悟力，就像其他组合那样，实际上已经关掉了人际合作的潜在的成果。不，他们的语言和他们使用的其他调解工具，特别地计算机和Nathalie 问题里的数学关系构成的符号，组织了他们共同的经验和使他们在几分钟之后都选择了借鉴。他们宽泛的合作影响了他们的数学思维在分析他们接下来的个人工作中收到了一定程度的确认。个别工作的相似问题 公众话语的互动 他们有目的的以一个组合参与 。他们每一个用来应付问题的语言稍微不同于他们一起产生的书面回答，但是想法与共同的先前经验有很大关系。尽管事实是共同工作使jes和jak产生了数学洞察力，洞察力即他们都在他们以后的个人工作中利用的，对六对儿中的四个来说这是有些令人清醒的认识，Nathalie 问题里的数学对话好像对两个合作者来说没有同等的效果。5.讨论49.为了方便下面的讨论，我将提起四对儿组合，他们在Nathalie 问题中的宽泛的相互作用好像对他们两个没有同样的效果，称为“非互助效果组”；这些组合的相互作用可以通过sho和sej的例子来看出。剩下的两对儿，jes和Jak是典型，被称为“互助效果组”因为两个合作伙伴好像从他们宽泛的相互作用中收益的程度类似，尽管没有人声称这些组合产生的数学思维优越于其他组合的参与谈话的人产生的。产生效果的不对称是问题所在。讨论，将包括来自分析的例子，会开展对六对儿组合的研究，主要精力放在两个组合的宽泛的相互合作的对比模式，特别要考虑那些，对配对工作中的两个合作者来说似乎不利于出现数学思维的出现的模式 。5.1. 非互助效果组合与互助效果组合之间的显著的宽泛的差异50.在两个主要组合的宽泛的相互作用中找到的重要差异已经在报告关于sho和sej组合还有jes和Jak组合的调查结果里提到过；尽管如此，这些差异中的一个值得深入讨论。它涉及非互助效果组合聚焦的一些参与者的个人沟通活动相对缺乏，除了客观水平言语在个人沟通中数量和质量的相对缺少。关于公共言论的个人沟通活动，对这四对儿组合中的每一对儿的的一个来说，那好像几乎是不可能的。在一定程度上，它是其他合作者的个人沟通言论，那好像是第二参与者在人与人之间的性质发生的任何言论的主要来源。Wertsch (1998)曾经说过“与其试着接收属于演讲者的言论的意义通过通道隐喻作为预想(Reddy, 1979)，还不如将焦点放在谈话的人怎样使用文本作为思考的策略并以新意义生成的方式回答他们” (p. 115).251.不过，从他们的合作者那“试图接收意义”正是这些组合的参与谈话的人的一个似乎是发生了什么。他们已经以新意义生成的方式“回答了他们” 他们的同伴的言论， 那可能是随后的个人沟通活动的标记，他们那部分与人际沟通的客观水平言论或者在人际沟通中不变的言论相联系。但是这并没有发生。非互助效果组的客观水平言论，主要集中在一个参与谈话的人的言语中，而不是两个人，倾向于在本质上最简化，并且它好像更加用于自身而非两个人，往往产生人际沟通中遏制决策意义活动的效果。52.对六对儿组合的相互作用分析表明了在解决途径产生之前的人际客观水平言论的数量值得注意不同于非互助效果组 互助效果组。在表2中，出现的