2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年山西省高二上学期期末测评考试数学（理）试题一、单选题1设命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（ ）ABCD【答案】A【解析】判断命题的真假，然后根据“且”命题、“或”命题的真假判断原则，对四个选项逐一判断，选出正确的答案.【详解】命题为真，命题也为真，为真,故本题选A.【点睛】本题考查了复合问题的真假判断. “且”命题的真假判断原则是见假就假，要真全真，“或”命题的真假判断原则是见真则真，要假全假.2与直线：垂直且过点的直线的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】求出直线的斜率，然后求出与其垂直的直线的斜率，利用点斜式可得直线的方程，化为一般式，最后选出正确答案.【详解】直线：的斜率为，与其垂直的直线的斜率为，根据点斜式可得直线的方程为，即.【点睛】本题考查了两直线互相垂直时，它们的斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用.3命题“，”的否定是（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定.【详解】根据全称命题的否定的原则，命题“，”的否定是，故本题选D.【点睛】本题考查了全称命题的否定，改量词，否定结论是关键.4下列命题中，假命题的是（ ）A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.B平行于同一平面的两条直线一定平行.C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.D若直线不平行于平面，且不在平面内，则在平面内不存在与平行的直线.【答案】B【解析】利用线面平行的定义、性质定理，面面垂直性质定理，四个选项逐一判断.【详解】选项A: 由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，所以与相交；选项B:平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面；选项C:由面面垂直的判定定理可知：本命题是真命题；选项D:根据线面平行的判定定理可知：本命题是真命题，故本题选B.【点睛】本题依托线面的平行的判定与性质、面面垂直的判定，考查了判断命题真假的问题，考查了反证法.5已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（ ）ABC或D或【答案】D【解析】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为， 即，解得或，故选D.6在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“是锐角三角形”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】判断“”能否推出“是锐角三角形”，以及判断“是锐角三角形”能否推出“”.【详解】， ，是锐角，但不能推出其它角也是锐角，所以不能推出“是锐角三角形”，但当是锐角三角形时，三个角都是锐角，一定有成立，故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查必要不充分条件的判断和判断三角形形状，意在考查基本概念和基本变形，属于基础题型.7在平行六面体中，若，则（ ）ABC1D【答案】B【解析】在平行六面体中，有，再根据，所以有，有已知可求出的值.【详解】在平行六面体中， ， ，即.故选：B【点睛】本题考查空间向量，意在考查数形结合和转化与化归，属于简单题型.8曲线与曲线的（ ）A长轴长相等B短轴长相等C焦距相等D离心率相等【答案】C【解析】可以判断出两个曲线的类型，然后求出它们的焦距，这样可以选出正确的答案.【详解】曲线表示椭圆，焦距为，当时，曲线表示双曲线，焦距为，故两条曲线的焦距相等,故本题选C.【点睛】本题考查了通过曲线方程识别曲线的能力，考查了椭圆与双曲线方程中，之间的关系.9若双曲线的一个顶点在抛物线的准线上，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】求出抛物线的准线，这样可以求出的值，进而可以求出双曲线的离心率.【详解】抛物线的准线方程为，则离心率，故本题选B.【点睛】本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.10直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于A30B45C60D90【答案】C【解析】【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AEA1B，EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得AEC1为正三角形，EC1B为，故选C11设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则ABCD【答案】A【解析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，可求出得到.【详解】抛物线的焦点为（0，2），椭圆的焦点在y轴上，c=2，由离心率e=，可得a=4，b2=a2-c2=，故.故选A.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置12已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM/平面A1DE,则动点M 的轨迹长度为（ ）ABC2D【答案】D【解析】设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，则F为B1C1的中点分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，可证出平面A1DE平面ANO，从而得到NO是平面BCC1B1内的直线由此得到点M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段ON【详解】解：设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，则F为B1C1的中点分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，则A1FAO，ANDE，A1F，DE平面A1DE，AO，AN平面ANO，A1F平面ANO同理可得DE平面ANO，A1F、DE是平面A1DE内的相交直线，平面A1DE平面ANO，所以NO平面A1DE，直线NO平面A1DE，M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段NOM的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长NO故选：D.【点睛】本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点M满足NO平面A1DE，求M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养二、填空题13命题“若，则或”的逆否命题为_【答案】“若且，则”.【解析】若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则.”【详解】因为若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则.”所以命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”.【点睛】本题考查了写出原命题的逆否命题，关键是要知道原命题与逆否命题的关系.14已知向量，若，则_.【答案】8【解析】由题意可知，可得到的值.【详解】， ， ，解得：，.故答案为：8【点睛】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础知识的考查，基础题型.15已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程_【答案】x2y216【解析】设，由化简即可得结果.【详解】设，因为到定点的距离等于到 的距离的2倍，所以，化简可得，故答案为.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、两点间的距离公式，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.本题就是利用方法求的轨迹方程的.16已知点P是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】运用正弦定理和椭圆的基本性质来解题【详解】，解得故答案为【点睛】在求离心率的题目时结合题意，运用余弦定理解三角形，得到边的数量关系，然后求得离心率，本题较为基础。三、解答题17已知：对任意的实数，函数（为常数）有意义，：存在实数，使方程表示双曲线.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】.【解析】求出函数的定义域；方程表示双曲线，可以求出的取值范围，进而可以求出是成立时，的取值范围，根据已知是的充分不必要条件，可以求出实数的取值范围.【详解】由可得，由知表示双曲线，则，即或，：.又是的充分不必要条件，.【点睛】本题考查了已知充分不必要性，求参问题，关键是对充分不必要条件的理解.18已知圆：.（1）若直线：与圆相切，求的值；（2）若圆：与圆相外切，求的值.【答案】(1) 或.(2) .【解析】（1）根据圆的一般方程，化为标准方程形式，求出圆心坐标和半径，利用点到圆切线的距离等于半径，求出的值；（2）根据两圆相外切时，两圆半径和等于两圆的圆心距，求出的值.【详解】（1）由圆的方程为，即，圆心，半径为.又直线：与圆相切，圆心到直线的距离，即，解得或.（2）由题得，圆心，因为圆与圆相外切， 所以，又，解得.【点睛】本题考查了圆的切线性质、圆与圆相外切的性质，考查了运算能力.19如图，在正三棱柱中，点Q，R分别为BC，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）要证明面面平行，需证明线线平行，根据题意转化为证明，；（2）由（1）可知三条线两两垂直，以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式求解.【详解】（1）证明：，平面平面，平面.又平面，平面，平面.，平面平面.（2）解：，平面，以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，由得令，.又，设直线与平面所成的角为，.故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查证明面面平行和空间坐标法求线面角，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，证明线面平行和面面平行时，线线平行是基础，证明时或做辅助线时，需构造三角形中位线或是平行四边形，都是证明线线平行常用方法.20已知抛物线：.（1）若直线经过抛物线的焦点，求抛物线的准线方程；（2）若斜率为-1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，当时，求抛物线的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线与横轴的交点坐标就是抛物线的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；（2）写出斜率为-1经过抛物线的焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出，结合已知，求出的值，写出抛物线的方程.【详解】(1)直线经过抛物线的焦点，抛物线的焦点坐标为，抛物线的准线方程为.（2）设过抛物线的焦点且斜率为-1的直线方程为，且直线与交于，由化简得，.，解得，抛物线的方程为.【点睛】本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.21如图，在三棱锥中，O为AC的中点.（1）证明：平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）要证明线面垂直，需证明垂直于平面内的两条相交直线，根据条件转化为证明和；（2）由（1）知，三条线两两垂直，所以以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求二面角.【详解】（1）连接OB.为AC的中点，.又，即.在中，.，.又，平面ABC.（2），平面ABC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设，又，.设平面PAM的法向量为，由得令，又平面PAC的法向量为，.故所求二面角的大小为.【点睛】本题考查证明线面垂直和空间坐标法求二面角，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.22已知椭圆：，该椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是圆上任意一点，由引椭圆的两条切线，当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值.【答案】(1) .(2)见解析.【解析】（1）由椭圆经过点，可以求出的值，由离心率为，可知的关系，结合