2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市宾县一中高二上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）VIP

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市宾县一中高二上学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1下列说法错误的是（ ）A对于命题：，则：，B“”是“”的充分不必要条件C若命题为假命题，则，都是假命题D命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”【答案】C【解析】根据非命题的概念可知正确,根据充分不必要条件的概念可知正确,根据真值表可知不正确,根据逆否命题的概念可知正确.【详解】对于,对于命题：，则：，是正确的;对于, “”是“”的充分不必要条件是正确的;对于,若命题为假命题，则，至少有一个是假命题,故不正确;对于,命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”是正确的.故选:C【点睛】本题考查了判断命题的真假,考查了非命题,考查了充分不必要条件,考查了真值表,考查了否命题,属于基础题.2已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )ABCD【答案】D【解析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.【详解】设，若点与点共面,则，只有选项D满足，.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，且,则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】 抛物线的焦点为故选C4设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 ( )A2B-4C-2D4【答案】D【解析】根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.【详解】因为，所以，解之得，应选答案D【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.5已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）A虚轴长为4B焦距为C离心率为D渐近线方程为【答案】D【解析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为，则C错误；对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.故选：D.【点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到三角形ABC重心G的距离为()A2BC1D【答案】D【解析】以P点为坐标原点建立空间直角坐标系，得出A、B、C的坐标，进而得出G的坐标。最后由两点间的距离公式，可得出P、G之间的距离。【详解】以P点为坐标原点，PA、PB、PC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。易得AB、C故G所以=【点睛】本题主要考察利用空间直角坐标系求两点间的距离。若三角形的三顶点坐标分别为、.则其重心坐标为 7P是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向的外角平分线作垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹为( )A直线B圆C双曲线D抛物线【答案】B【解析】如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQF2M，F2PQ=MPQ可得MP=F2P，点Q为线段F2M的中点连接OQ，利用三角形中位线定理、椭圆与圆的定义即可得出【详解】如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQF2M，F2PQ=MPQMP=F2P，点Q为线段F2M的中点连接OQ，则OQ为F1F2M的中位线，MF1=F1P+F2P=2aOQ=aQ点的轨迹是以点O为圆心，a为半径的圆故选：B【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、三角形中位线定理、椭圆与圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8已知四棱锥中，则点到底面的距离为（ ）ABCD【答案】D【解析】设是平面的一个法向量，则由题设，即，即，由于，所以，故点到平面ABCD的距离，应选答案D。9双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形【答案】C【解析】试题分析：双曲线(a0，b0)和椭圆(mb0)的离心率互为倒数，三角形一定是直角三角形【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质10如图，正方体中，点，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】以为原点, 所在直线分别为,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,根据向量的夹角公式可得向量与的夹角的余弦值,由此可得与的夹角的余弦值.【详解】如图:以为原点, 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,所以,所以,设向量与的夹角为,则,因为,所以与的夹角即为向量与的夹角,所以与的夹角的余弦值为.故选:B【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角的余弦值,正确建系,写出向量与的坐标,代入夹角公式计算是解题关键.11已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )A2B3CD【答案】A【解析】直线l2：x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin212分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点若为等边三角形，则的面积为（ ）A8BCD16【答案】C【解析】由双曲线的定义，可得F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，即可求出BF1F2的面积【详解】因为ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，在F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a222a4acos120，得c2=7a2，在双曲线中：c2=a2+b2，b2=24a2=4BF1F2的面积为=24=8故选C【点睛】本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求三角形的面积，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题二、填空题13在空间中，已知平面过和及轴上一点，如果平面与平面的夹角为，则_.【答案】【解析】设,先求出平面的一个法向量,然后取平面的一个法向量,利用两个平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值等于,列等式可解得.【详解】设,则,设平面的一个法向量,则 ,即 ,取,则,所以,取平面的一个法向量,则,又,.故答案:.【点睛】本题考查了求平面的一个法向量,考查了二面角的向量求法,属于基础题.14在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:()2=3;()=0;的夹角为60;正方体的体积为|.其中正确命题的序号是_.【答案】【解析】由向量的运算法则以及垂直向量其数量积为0，可得正确。由向量线性运算以及空间中与垂直可知正确。易得三角形为等边三角形。又，故夹角为与的补角为120，故错误。|=|故错误【详解】()2=222=3故正确()=0,故正确。因为/，均为面对角线，所以三角形为等边三角形，而的夹角为与的补角。所以的夹角为120，故错误。正方体的体积为|，而|=|故错误【点睛】本题主要考察空间向量的线性运算。在求向量夹角时，注意判断向量的方向。15如图，若为椭圆：上一点，为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与相切于中点，则椭圆的方程为_.【答案】【解析】设线段的中点为,另一个焦点,利用是的中位线以及椭圆的定义求得直角三角形的三边之长,再利用焦点坐标可求解椭圆方程.【详解】设线段的中点为,另一个焦点,由题意知,又是的中位线,所以,所以,由椭圆的定义知,又,所以在直角三角形中,由勾股定理得,又,可得,因为为椭圆的焦点,所以,所以,联立解得,所以椭圆的方程为.故答案为: 【点睛】本题考查了椭圆的定义,考查了三角形的中位线定理,考查了利用求椭圆方程,本题属于中档题.16过双曲线的左焦点F作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】由题意，可知E是PF的中点，OE为的中位线，根据三角形中中位线定理及双曲线的定义，即可求解的关系，即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意，双曲线焦点在轴上，焦点，则，所以，因为，则E是PF的中点，OE为的中位线，则，由双曲线的定理可知，则，所以双曲线的离心率为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理用题设条件，借助双曲线的定义和三角形的中位线，求得的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及转化思想的应用，属于中档试题.三、解答题17已知命题：空间两向量与的夹角不大于；命题：双曲线的离心率若与均为假命题，求实数的取值范围【答案】【解析】先求出为真命题时,的取值范围,再根据与均为假命题,可得为真命题，为假命题,由此列式可求得答案.【详解】解：若命题为真，则有，即，解得或；若命题为真，则有，解得：；与均为假命题，为真命题，为假命题则有，解得故所求实数的取值范围是【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数的取值范围,考查了向量的夹角,考查了根据椭圆的离心率的取值范围求参数的取值范围,属于中档题.18已知直线L: yxm与抛物线y28x交于A、B两点（异于原点），（1）若直线L过抛物线焦点，求线段 |AB|的长度； （2）若OAOB ，求m的值；【答案】(1)m =2,|AB|=16；(2)m=-8.【解析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OAOB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值【详解】(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)直线L: yxm过点(2,0)，得m=2,直线L:y=x2与抛物线y2=8x联立可得x212x+4=0，x1+x2=12, x1x2=4，.(2)联立，得.OAOB,.m=0或m=8,经检验m=8.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，主要是利用舍而不求的思路，表示弦长或垂直关系，属于基础题.19如图，平面平面，是等腰直角三角形，四边形是直角梯形，分别为，的中点（1求异面直角与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1） （2）【解析】(1) 以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系利用向量与的夹角公式计算可得;(2) 设直线与平面所成的角为，利用计算可得答案.【详解】（1），平面平面，平面平面，平面，平面，平面如图所示，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，.，异面直线与所成角的大小为.（2）由（1）知，.设平面的法向量为，则由，可得，令，则，设直线与平面所成的角为，则直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线所成角,求直线与平面所成角,正确建立空间直角坐标系是解题关键,本题属于中档题.20设直线l：y=2x1与双曲线（，）相交于A、B两个不同的点，且（O为原点）（1）判断是否为定值，并说明理由；（2）当双曲线离心率时，求双曲线实轴长的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）为定值5将直线y=2x1与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简整理即可得到定值；（2）运用双曲线的离心率公式和（1）的结论，解不等式即可得到所求实轴的范围【详解】（1）为定值5理由如下：y=2x1与双曲线联立，可得（b24a2）x2+4a2xa2a2b2=0，（b2a），即有=16a4+4（b24a2）（a2+a2b2）0，化为1+b24a20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，由（O为原点），可得x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x11）（2x21）=5x1x22（x1+x2）+1=0，即52+1=0，化为5a2b2+a2b2=0，即有=5，为定值 （2）由双曲线离心率时，即为，即有2a2c23a2，由c2=a2+b2，可得a2b22a2，即，由=5，可得5，化简可得a，则双曲线实轴长的取值范围为（0，）【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题21如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，.（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】(1) 取的中点，连接，可证为二面角的平面角,再根据计算可得,即二面角为直二面角,根据平面与平面垂直的定义可证平面平面;(2) 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，以的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，然后求出平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用两个法向量的夹角即可求得答案.【详解】（1）证明：由题设可得，从而又是直角三角形，所以.取的中点，连接，则，.又因为是正三角形，故，所以为二面角的平面角在中，又，所以，故,即二面角为直二面角,所以平面平面（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，以的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的