数列精编-送交.doc

数列试题精编数列问题是每年高考命题的热点问题，其主要原因是它作为一个特殊函数，使它可以与函数、不等式、解析几何、三角综合起来，命出开放性、探索性强的问题，更体现了在知识交汇点上命题原则。又因为数列与生产、生活的联系，使数列应用题也备受欢迎。在高考中，数列问题也是常考常新。考查方式涵盖选择题、填空题和解答题多种题型，小题多是考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式等基础知识为主的中低档难度的题目，大题多是考查数列定义、数列求和、求通项、有关数列问题的证明及数列与函数、方程、不等式、解析几何等知识点交汇的综合题。数列问题的考查又能体现高中数学所蕴含的函数与方程，等价转化，分类讨论的思想方法运用。1（湖北省监利一中2011届高三10月月考）定义：若数列对任意的正整数n，都有（d为常数），则称为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”，“绝对公和”，则其前2010项和的最小值为（ A ）A2006B2009C2010D2011 2（改编题）an为等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n（D ）A11B17C19D20 2【解析】由1，得0000，则要使Sn取得最小正值必须满足S190，此时n20.3（湖南长沙雅礼中学高三月考）设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是（ C ）A，2)B，2C，1)D，1 3【解析】f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、yR，都有f(x)f(y)f(xy)，a1，anf(n)(nN*)，an+1f(n1)f(1)f(n)an，Sn1()n.则数列an的前项和的取值范围是，1).4、(2011届山东省烟台市“十一五”课题调研卷).设是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若，则中数字0的个数为 A.11B.12C.13D.14 提示： 必有39个1或-1 选A5(江苏省盐城市2011年高三年级第一次调研考试)已知是公差不为0的等差数列, 是等比数列,其中,且存在常数、 ,使得=对每一个正整数都成立,则= 4 .6（改编题）等差数列an的前n项和为Sn，且a4a28，a3a526，记Tn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，TnM都成立则M的最小值是_2 4【解析】由a4a28，可得公差d4，再由a3a526，可得a11，故Snn2n(n1)2n2n，Tn，要使得TnM，只需M2即可，故M的最小值为2，答案：27（改编题）已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是_4_.01245【解析】4.8（湖南长郡中学2011届高三第四次月考）设是数列的前项和，若是非零常数，则称数列为“和等比数列”。1）若数列是首项为2 ，公比为4的等比数列，则数列 （填“是”或“不是”） “和等比数列”； 2）若数列是首项为 ，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，则与之间满足的关系为 6、 是 9（高考资源网皖南八校2011届高三第一次联考）在数列。 （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设 9 解：（1）证明：是等差数列。 ， （2）由（1）知从而 10、（改编题）已知：数列an的前n项和为Sn，满足Sn=2an2n(nN*) （1）证明数列an+2是等比数列.并求数列an的通项公式an； （2）若数列bn满足bn=log2(an+2)，而Tn为数列的前n项和，求Tn.10解： （1）当nN*时，Sn=2an2n， 则当n2, nN*时，Sn1=2an12(n1). ，得an=2an2an12， 即an=2an1+2 an+2=2(an1+2) 当n=1 时，S1=2a12，则a1=2， an+2是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列. an+2=42n1，an=2n+12， （2）由 则 ， ，得 11、已知数列的首项,通项与前n项和之间满足(1)求证:是等差数列,并求公差;(2)求数列的通项公式;(3)数列中是否存在正整数k,使得不等式对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.11解:(1)当(2)(3)所求最小k=3.12（改编题）已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an+1)(nN*）在函数yx21的图象上.()求数列an的通项公式；()若列数bn满足b11,bn+1bn2an，求证：bnbn+2b2n+1.12【解】()由已知得an+1an1，即an+1an1，高考资源网又a11，所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列，故an1(a1)1n.()由（）知：ann从而bn+1bn2n.bn(bnbn-1)(bn-1bn-2)（b2b1）b12n-12n-2212n1.因为bnbn+2b(2n1)(2n+21)(2n-11)2(22n+22n+22n1)(22n+222n+11)52n42n2n0,所以bnbn+2b.13（改编题）已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图像上.（）求数列an的通项公式；（）设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m；13【解】（）设这二次函数f(x)ax2bx (a0) ，则 f(x)2axb，由于f(x)6x2，得a3 ，b2，所以f(x)3x22x.，又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图像上，所以Sn3n22n，当n2时，anSnSn1（3n22n）3(n1)22(n1)6n5，当n1时，a1S13122615，所以，an6n5（nN*）.（）由（）得知bn()，故Tnbi(1)()()(1），因此，要使(1）（nN*）成立的m，必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.14(湖南浏阳一中2011模拟考试)设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；(2)一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.14解：（1），令，有，.再令，有， 4分（2）,又是定义域上单调函数， 当时，由，得，当时， 由，得，化简，得，即，数列为等差数列. ，公差.，故. （3），令=,而. =， ，数列为单调递增函数，由题意恒成立，则只需=， ，存在正数，使所给定的不等式恒成立，的取值范围为 15（改编题）.把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有个正整数.设（i、jN*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数. （）若2010，求i和j的值；（）记N*)，试比较与的大小，并说明理由.15【解】（）因为数表中前i1行共有个数，则第i行的第一个数是，所以. 因为，2010，则i110，即i11 令，则. （）因为，则N*). 所以.所以. 检验知，当，2，3时，即. 猜想：当时，. 证：当时, . 综上分析，当时，；当时，. 16. （改编题） 数列an中a1t，a2t2（t0且t1）. x是函数f（x）an-1 x33（t1）anan+1 x1（n2）的一个极值点.（1）证明数列 an-1an是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）记bn2（1），当t2时，数列bn的前几n项和为Sn，求使Sn2008的n 的最小值；（3）当t2时，是否存在指数函数g（x），使得对于任意的正整数n有成立？若存在，求出满足条件的一个g（x）；若不存在，请说明理由（说明： f（k）f（1）f（2）f（n）.16解：（1）f（x）3an-1 x23（t1）anan+1 （n2）. 由题意f（）0，即3an-1（）23（t1）anan+1 0（n2）， an+1ant（anan1）（n2）， t0且t1，且a2a1t（t1）0 . 数列 an+1an是以t2t为首项，t为公比的等比数列， an+1an（t2t）tn1（t1）tn ， a2a1（t1）t ， a3a2（t1）t2，anan1（t1）tn1 以上各式两边分别相加得ana1（t1）（tt2tn1）， antn（n2）， 当n1时，上式也成立，antn（2）当t2时，bn2， Sn2n（1）2 n2 n2（1）2 n22.由Sn2008，得2 n22（）n2008，n（）n1005，当n1004时，n（）n1005，当n1005时，n（）n1005，因此n的最小值为1005.（3）（）令g（k）2k，则有：则（）（）（）（）（）即存在函数g（x）2x满足条件 .17（北京市日坛中学）数列的前n项和为，若，点在直线（）上（）求证：数列是等差数列；（）若数列满足，求数列的前n项和；（）设，求证：17解： （1）略（2）=（）= 18、（ 湖南长沙市一中2011届高三月考）已知正项数列an的首项a1，函数f(x)，g(x).(1)若正项数列an满足an1f(an)(nN*)，证明：是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)若正项数列an满足an1f(an)(nN*)，数列bn满足bn，证明：b1b2bn0，即1.当n2时，()()()n1，n1，an.当n1时，上式也成立，an(nN*)，bn，b1b2bn(1)()()10.又an1an，由迭代关系可知，an1an0，ana1.又(2an)(2an1)(2)(2an1)54an17，19（2011年广州市高三年级调研测试） 如图5，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点 ，又过作轴的垂线交曲线于点，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N） (1) 求、及数列的通项公式； (2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N. 图519解: (1)由，设直线的斜率为，则.直线的方程为.令，得， ， . .直线的方程为.令，得. 一般地，直线的方程为，由于点在直线上，.数列是首项为，公差为的等差数列. （2）解： . （3）证明：. ，. 要证明，只要证