立体几何题（自主招生难度题）.doc

立体几何题 王自备1、证明下列结论：正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r3：1。2、如果相交成的两条直线和一个平面所成的角，则这两条直线在平面上的射影所成的锐角是_2.1、设是矩形的边上一点，以直线为轴旋转这个矩形所得圆柱的体积为，其中以为母线的圆锥的体积为，则以为母线的圆锥的体积等于（ ） A. B. C. D. 2.2、若干毫升水倒入底面半径为的圆柱形器皿中，量得水面高度为，若将这些水倒入轴截面是正三角形的侧圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A. B. C. D. 2.3、如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是_2.4、自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA、MB、MC，若，则的最大值为 3.由曲线,围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为;满足,的点组成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为,求:.3.1、在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_ABCD4.如右图,底面半径,被过A,D两点的倾斜平面所截,截面是离心率为的椭圆,若圆柱母线截后最短处,则截面以下部分的几何体体积是多少?4.1、设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（ ）（A）圆或椭圆 （B）抛物线或双曲线 （C）椭圆或双曲线 （D）以上均有可能D5.在四面体ABCD中,设,直线AB与CD的距离为,夹角为,则四面体ABCD的体积等于多少?6.正四棱锥中,二面角为且,(, 为整数),求7、求棱长为的正八面体的对角线长及相邻两面所成的二面角的大小的余弦值8.空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这 四个球都相切,则这个小球的半径等于多少?（1995年第十届CMO）9、已知三棱锥的顶点都在同一球面上，平面,则该球的表面积为_10、已知正方体的棱长为1,点P为线段上的动点，则四棱锥的外接球的半径的取值范围是_11、有一个的长方体盒子,另有一个的长方体盒子, 其中均为正整数(),并且前者的体积是后者一半,求的最大值.12、已知长方体中，,从点A出发沿着表面运动到的最短路线长是_12.1、在正三棱锥中,过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面的周长最小时,?P到截面ADE的距离为?12.2、如图所示，圆锥母线长底面半径，也即是为的四等分点，从点拉一根绳子，绕圆锥侧面一周到点（1）求绳子的最短长度（2）当绳子长度最短时，求圆锥顶点与绳子上点联线的最小长度5；0.4；12.3、过点的直线交抛物线于两点，现沿轴将平面直角坐标系翻折成直二面角，则翻折后线段的最小值是_13、若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点、与点、，则三角形面积之比为：. 若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点、与点、和、，则类似的结论为：_.13.1、设正三棱锥的高为，为的中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥截为上下两部分，求两部分体积之比（91年全国联赛）13.2、设是一个高为3，底面半径为2的正四棱锥，过顶点和棱的中点作一平面，分别交棱于点，求四棱锥的体积的取值范围14、在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 .14.1、若三棱锥为直三棱锥（两两垂直），为三角形的垂心。（1）证明：为在底面三角形所在平面的射影；（2）证明：（3）证明：（4）若二面角的平面角分别为，求的值214.2、在三棱锥中，,且在三角形所在平面上的射影为三角形的垂心。若三棱锥的外接球的半径为，试求三棱锥的顶点到面的距离15、在三角形中,所对边为分别，有余弦定理成立，类比至三面角中，三面角分别为，以为棱的二面角分别记为。证明：16、已知平面四边形对角线互相垂直，那么该四边形的一组对边的平方和等于另一组对边平方和，类比到空间四边形，并证明你所得到的结论16.1、空间四点A、B、C、D满足的取值 （ A ）.（A）只有一个；（B）有两个；（C）有四个；（D）有无穷多个.16