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高等数学背景下的导数问题一、函数的拐点问题例1（2007湖南文21）已知函数在区间，内各有一个极值点（I）略；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式解析：（II）思路一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故点评 本题中“在点处穿过函数的图象”实际上是指点A处是函数的拐点。有关拐点的问题，在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数。在处虽然导函数值为0，但不是极值点，左右两边的单调性相同。从数来看，使导函数所对应方程的偶次重根。所以本例中可知是重根。二、函数的凸凹性例2.若对所有的都有成立，则实数的取值范围是_.解析：fx-ax0只需fx-axmin0,设则 , 由得。注意到F(0)=0，若在定义域有极值则比在区间(0,+)外.即ea-11,a1.另解：fx=lnx+1+1，且有f0=1. 又fx在0，+上单调增，即切线斜率随x的增大而增大。f(x)的示意图如图，由图可知直线y=ax在区间(0,+)上恒在y=f(x)图像下方，所以a1.点评：本题注意的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带来一个问题：虽然可以证明函数是单调递增函数，但是递增的形式是类似还是类似即函数的凸凹性。我们也可以通过再求导，探讨切线斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。三、拉格朗日中值定理例3.(南通2008第二次调研考试.19)已知函数如果是增函数，且存在零点（为的导函数。（1）求a的值； （2）设是函数的图像上两点，的导函数。证明：解析：（1）略。a=e。 （2）由（1）得 即.将换成构造函数，定义域为则，即在定义域上单调增，。即同理可证点评：本道题目背景是拉格朗日中值定理中值定理：若函数是在闭区间a,b上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则(a,b)至少存在一点，使得。而我们解决这一问题的手段是通过构造函数，利用导数证明单调性，从而求证不等式。我们学过的指数、对数函数，正弦、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理。仿照例3，请尝试证明下面题目。1、 证明:当0a1.点评：注意到割线的表示形式， 定义域D，联系拉格朗日定理，易证若.可将本题推广到任意曲线割线斜率的范围组成的集合B是切
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