高考数学分类解析一.doc

高考数学分类点评2012年数学全国统一考试试题是这几年最难的，部分题不但综合性强，运算量大，而且技巧性要求很高，有些题目的解法平时几乎没有训练过，全省高分不多，且很难拉开差距，文理科平均分是近几年最低的，分别是42.27和59.31分，选择题分别是25.9和33.67分，填空题及解答题分别是16.37和25.64分，由此可见数学题难度之大。理科12个选择题中，第4、9、10、12题难度较大，不但题目新颖而且解法怪异，考生得分率低。文科试卷第8、9、11、12题难度也大，其中第8、9、11题与理科题相同，第12题虽然比理科难度低，但对文科生而言仍很难，得分率依然很低。填空题中理科第13、14题较简单，第15题难度中等，第16题很难。全省131534名考生平均分8.71分，满分20分有2832人，第16题仅有3492人做对。文科题较容易，全省104034名考生平均分7.51分，满分12801人。理科三角函数题较简单，仍用到诱导公式、和差角公式、正弦定理及特殊角的值，全省平均分6.11分，近5万人得满分。文科题用到等差中项、正弦定理、特殊角的值及和角公式等知识点，难度不大，但全省平均分仅1.59分，仅607人得满分。文科数列题较简单，第一问容易得分，第二问给出an=SnSn-1的表达式，按递推关系式即可得其通项，难度不大。全省平均分仅2.58分，满分也只有689人，应有较大的提升空间。理科数列题很难，综合性强。第一问用数学归纳法、解析几何知识、不等式的技巧，得分很低；第二问要变形构造、等比数列，难度大，全省仅有少数人得分。该题平均分仅有0.4分，38人得满分，1012分仅有104人。特别值得注意的是有少数考生用Xn+1与Xn表达式的特征值法（也称不动点法）构造出等比数列，十分巧妙地得出Xn的通项并证明第一问，可见考生要想得高分，还需在知识的广度和深度上下功夫。（2006年也考过类型题。）立体几何题第一问，证明直线PC平面BED，利用菱形对角线相互垂直、三垂线定理及相似三角形即可得出；第二问用传统方法较难，用向量代数方法解该题要简单些，点及向量坐标仅涉及一个未知参数，且第一问不必求该参数，第二问定出参数后求解也不难。该题难度应与2011年相当，但理、文科平均分分别为2.78分及1.18分，比2011年有所降低，满分分别为920人和127人。值得注意的是解立体几何题时，也可将向量代数方法与传统方法结合使用，力求解题方法多样化。概率应用题，文、理科第一问都是求甲、乙比赛为1:2的概率，难度不大，但仍存在不提出假设、叙述不清、计算能力差等缺陷；文科第二问求甲领先的概率，考生分析各种情况不完整，得分不高，该题全省平均分1.27分，满分仅613人；理科第二问是求乙得分的数学期望，有一定计算量，但难度不大，有些考生引入二个或三个服从二项分布的随机变量，非常简洁地求解该题，全省平均分3.87分，近9000人得满分。解析几何题第一问是用抛物线和圆有公切线求圆的半径，利用圆的切线与半径垂直求切点即得，难度不大但题型新颖，解题思路不易构思，文、理科考生得分低；第二问是求另两公切线的交点到第一条的距离，难度也很大，将导数的应用与圆锥曲线结合解题，综合性较强（2006年也考过）。全省理科平均得分0.37分，最高分10分仅1人，69分全省57人，创近10年最低。理科导数应用题第一问难度不大，讨论函数的单调性，涉及到求导数，参数a的取值判定单调；第二问太难，首先给出a的最大值，又要作一函数讨论单调性后满足不等式，并变形后讨论/2不等式成立。全省没有一个考生能完整解题，利用数形结合参数分离可给出a的取值，但不严谨。全省平均分2.94分，最高分11分仅有12人，1011分仅有58人。文科第一问也不是太难，仍是带有参数的函数单调性；第二问太难，既有综合性，又有技巧性，运算量也较大，全省没有一个考生完整解答，平均分1.87分，最高分9分27人，89分132人，79分767人。2011年数学试卷的难度较2010年数学试卷的难度有所降低，据专家分析2011年的数学试卷是基于高中课改的要求，但由于考生答题不规范，成绩仍不够理想。2011年数学试题的题型与近几年的题型基本相同，理科12个选择题中有8个题比较简单，第6，10，11，12题较难，其中6，10计算量较大，11，12题技巧性较强，得分较低，全省理科选择题平均分为33.49，比08，09年有所下降。文科的12个选择题中第8，10，11，12较难，全省平均分为30.32，也比08，09年有所下降。填空题仍是二个比较容易，一个中等，一个较难。理科文科平均分数分别是8.77分和6.54分，和前几年差别不大。在解答证明的六个题目中，三角函数类题仍要用到正弦定理，诱导公式，和差角公式，特殊角的值等知识点求角c,难度不大，但学生解答不够理想，理科平均分为3.93分，是近几年最低的，文科题用到正弦和余弦定理及和角公式，难度适中，平均分为3.4分，是近几年最高的。数列类题目理科题要会观察、审题及判断，即可得一等差数列，并给出其通项公式，再利用无理函数项分项的技巧证明一个不等式，本题难度是近几年较低的，但平均分仅为2.26分，是三年最低的。分析其原因是学生不会破题及解题方法错误。文科题很规范，难度较低，平均分为4.4分，是近几年比较高的。立体几何类题有一定变化，一改近几年出的棱柱形题目，而是以四棱锥题型出现，难倒了许多学生，又由于给出的已知条件比较多，学生不会理清条件，解答不好。其实第一问用传统方法证明时仅涉及到勾股弦定理及直线与平面垂直的条件即可得出。若用向量代数的方法解答第一问时，有一个点的坐标要设三个参数，用已知条件可解出所设的三个参数，对考生而言是比较困难的。第二问用传统方法难度较大，用向量代数方法求解也要解三个参数求出平面的法向量才能解出直线与平面所成的角。理科、文科全省平均分分别是4.21分和1.82分，分数虽不高，但比前两年略有增加。概率应用题应该是近几年最简单的，涉及到的知识点也不多，计算量也不大，但由于考生没有假设事件，叙述不清楚，很多考生答案虽然正确，但附加了购买甲、乙两种保险的独立性，改变了题意，被扣了3分。概率题如何规范答题一直未引起老师和考生高度重视。概率题解答哪些过程可以省略，哪些步骤决不能省略，老师和考生应分析及研究到位。2011年理科、文科全省平均分分别是1.99分和1.72分，这也是近几年来最低的，理科仅有2人得满分，7人得11分，文科高分也很少。解析几何题由于二问都是证明题，考生认为该题难度太大，得分较低。其实第一问是解答形式的证明，对理科考生而言不应太难，第二问证明椭圆周上的四点共圆，其证明思路本身就较难，加上该题计算量大，得高分很不容易。全省满分仅有117人，平均分3.52分，近几年处于中间水平。但文科考生就感到难度太大，全省10到12分的仅有3人，平均分仅有0.66分，是近几年最低的。导数应用题理科题比较新颖，第一问很简单，是一个很规范的证明题，考生容易得分，第二问结合概率证明不等式，构思巧妙，且综合性强，全省满分有19人，平均分为2.55分，是近几年较高的。而文科考题较规范，仍是一个带参数的三次多项式，求一条切线方程及取得极值后讨论参数的取值范围，全省平均分为2.23分，比2010年增加较多。 近几年数学试卷考题难度大致相当，2010年考题难度有所增加，仍是贴近教学，立足基础、覆盖全面、稳中有变、特别注意变化的形式，综合性强、展现考生能力。2010年数学考试题是自2003年数学试题难度最大的一年试题，全省文理科考生的数学成绩最高分均未超过140分，平均成绩也有较大幅度的下降。2010年理科类三角函数二小一大共20分，立体几何三小一大共27分，解析几何二小一大共22分，数列一小一大共17分，组合、二项式、概率二小一大共22分，代数、函数等六小一大共42分，其中选择题12个题中，仍是8个较容易、2个中等、2个较难。填空题中2题较容易、一个中等、一个较难，选择填空题的难度与2009年相当，变化不大，得分也大致相同。今年选择题812题中皆有较大运算量，花了不少时间却不一定选对，影响了后面题目的解答，尤其是第11题，要证明难度大，填空题第16题虽是常规题，但要求空间思维能力较强，填对的不多。2010年6个大题中，难度都有不同程度的增加，且在原考题基础上都有一定变化。三角函数题变化不大，若考生对平面几何的概念清楚，解题迎刃而解，仍是以正弦定理、边角关系、和角公式等为主，平均分略有下降，从4.4分下降到4分。数列题第一问较简单，第二问证明方法很多，不等式缩小得太小，考生做的较好，但不完整，考分略有增加，平均分从3.58分增加到4.23分.立体几何题难度与2009年近似，仅由于直三棱柱图形平放，同学们没有注意图形的变化，该题第一问较简单，向量代数方法及传统方法都可以解决，但有些同学仍抓不住关键，叙述不清，影响得分，第二问传统方法太难；图形中要引入6条辅助线，向量代数的方法较简单，其难度与09年相当，平均分略有下降，从3.98分降到3.33分.但比08年的7.30分及07年的6.98分仍下降较多。概率应用题变化大，学生对题目理解不透，第一问就无法求解，即使能求但由于不规范，不设事件，不说明字母A、B表示的事件，仅给一个算式，虽答案正确但得分不高，第二、三问考生理解不透，不会分析，得分不多，全省高分不多，概率题中哪些该叙述，哪些事件该说明，解答过程哪些不能省，哪些可以省略，考生一直未重视，平均分下降最多，从5.88分降至2.58分，08年最低保险费题平均分1.57分，是近几年平均分较低的一年，解析几何双曲线题第一问并不难，第二问证明过三点的圆与x轴相切的题型新颖，考生抓不住要点，答题思路不对，全省仅有三人得满分，且高分也不多，考生基本知识不牢固，平均分从3.36分下降到2.36分，但仍比08年的1.92分略高。导数应用题第一问将f(x)代入后化简后成常规不等式证明，难度不算大，但由于是最后一题，时间有限，平均得分仅0.76分，是近几年最低的。第二问求参数a的取值范围以满足不等式，该题太难，且将抽象函数f(x)一直保留，根据a的取值不等式作放大及缩小，学生根本想不到，且其他方法用求极限的罗必塔法则超出了高中教材要求，该题全省最高分仅一个得10分，且7-10分全省仅148人，该题深入研究价值不高，不仅对学生学习，就是对老师也是一个考验，估计今后命题不会在出现这类题型。文科类试题有95分与理科题相同，其中选择题中第812题对文科考生太难，填空题中15、16题也太难，由于解答证明题中，第17（三角函数）、19（立体几何）、20（概率）、22（解析几何）与理科题相同，文科平均分下降也较大，降到50分以下，这是近几年最低的。概率题对理科考生难度都较大，对文科考生更是难，有50%以上的考生得零分，文科试题的数列题和导数应用题是较规范的，难度也适中，但由于文科考生惧怕数学，加上时间安排不好，选择填空题用时超限，导致数列题平均分从4.9分下降到1.45分；导数应用题平均分从2.52分下降到0.96分，这有些出乎人意料，文科类导数应用题近几年都没有变化，即一元三次多项式带参数讨论增减性，单调性，求极值题型，应该是得分的，请考生多注意。2009年高考数学理科类，得分点与2010年考题基本相同，其中12个选择题中，8个较容易、2 个中等、2个较难。4个填空题中，2个较容易、一个中等、一个较难。对较难的选择题、填空题，学习成绩中等以上的同学不愿放弃 ，花费了不少时间答题，影响了后面的大题解答。 6个大题中，有3个题较容易（三角函数、概率、数列，概率题满分近22000人），一个题中等（立体几何，该题比较前二年有一定变化，第一问用传统方法简单，第二问用向量代数简单），二个题较难（解析几何与函数；第一问简单，但第二问难。分数集中在3-4分之间，高分不多，如22题10分以上全省仅14人，21题满分的全省147人。）2009年高考数学文科类近90分与理科完全相同，文科类考题与2010年考点的要求，得分其中12个选择题与4个填空题难易程度与08年基本相同，选择题、填空题中对文科生而言各有两个题较难。（一）三角函数类 在三角形内利用正弦定理、余弦定理建立边角之间关系及函数表达式求其定义域，化同一函数求最大最小值问题。 利用正弦定理、余弦定理、等差数列、等比数列、诱导公式、和角倍角公式求三角函数的值、三角形边的值及三角形面积或三角形面积的最大值为一类综合题型，可参考近五年试题。 利用三角函数的图形求函数的周期、平移或放大缩小求函数的最大小值，用三角函数的性质求特殊角，半特殊角的值或用值求其角度，利用三角函数图形判定其增减性，正负性等。1、为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位解：考虑取最大值时，令 则， 又令 则， 向右平移，选(B)2、已知是第二象限的角，则。解， 则.3、已知是第二象限的角，则解：是第二象限角， ，. 或：， ，（如图）则.4、已知ABC中，则 (D) (A) (B) (C) (D) 解: 由已知,则，作图 则 , 故选(D).5、已知为第二象限角，则 解：是第二象限的角，则，排除（C）、（D）；，选（A）。6、若函数 是偶函数，则 解：代选项（A）（B）不成立，当时，选（C）。7、已知为第二象限角，则 解：，选（A）。8、设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（C） （A） （B）3 （C）6 （D）9解答：考虑的最大值，又向右平移，则，故选C。9、当函数 （）取得最大值时， 。解答：，或，10、 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ B ）（A）1（B）（C）（D） 2解答：， 当时取最大值.即 (也可以用图示法分析，图形点纵坐标之差最大值为).11、已知 ，,则。解答：，也可用三角代换法求出。12，的内角、的对边分别为、，已知，求。解：由 ，得 于是 由已知得 由正弦定理 得 由得 于是（舍去）又故不是钝角，所以 13、的内角、的对边分别为、。已知，求。解法1：由正弦定理及已知条件。 得 又 则 于是 因 所以 故 解法2：由正弦定理及已知条件。 得 又 则 即 故 或（舍去） 14、的内角、的对边分别为、，。（I） 求；（II） 若，求、。（I）解：由正弦定理得由余弦定理得故，又由 （II）解法： 解法2：过作于， 15，中，内角、成等差数列，其对边、满足，求。解法1：由,成等差数列得 又，得 ，, 由及正弦定理得 ， 故 又=， 所以， 或 故 或 解法2：由,成等差数列得， 又 ，得，, 由及正弦定理得 故 所以 = =， 所以， 当时， 当时， 16、中，为边上的一点，求.解法1：由， 由已知得 从而 . 由正弦定理得 , 所以 . 5x3x33DHCBA4x解法2：如图，由知为锐角. 作于H. 在中，设，则，. 在中，从而, 解得, 从而. 17、设的内角、的对边长分别为、，,，求.解法1：由，得 又由及正弦定理得 故 ，或（舍去） 于是或 又由知或，所以 . 解法2：由及正弦定理得 （积化和差） ，或 当时，且故与已知矛盾， 18、 在中，（）求的值； （）设的面积，求的长解：（）由三角形求三角函数值法，如图，已知得 已知，得 故 （），则， 由正弦定理， 则 代入：又由正弦定理，则（注：本题也可先求出，得分率较高）19、在中,已知内角,边,设内角,周长为,(1)求函数的解析式和定义域；(2)求的最大值 解:(1),， 由正弦定理， （2）当, 即时取得最大值,最大值为.20、设的内角、的对边长分别为、，且，求三角形及外接圆的面积。解：法一、由，由正弦定理， ，（舍去），法二、由余弦定理，又由法三、作角的平分线，交于，设由角平分线性质，又由，即（舍去）由法四、猜想三角形为直角三角形，不满足，又猜想及，由正弦定理，由余弦定理，满足条件，。21、在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，且.()求；()求的面积.解：（I）因为，, 代入得到， . 因为 , 所以. （II）因为，由（I）结论可得： . 因为，所以 . 所以.（可求出 由得， 及判断和推出） 所以的面积为： （22）设的内角、的对边长分别为、，（1）求角；（2）若，当时，求解：（1）由已知，又，有及正弦定理，则，；（2）法一， 由，推出：，有： ，则：。法二，由及，代人余弦定理，得：，则：（二）数列类 证明等比数列（直接证或同时减一个常数或同时减一个含的函数），证明等差数列（直接证或同时除以一个常数或同时除以一个含的函数），即变形构造等比、等差数列。 利用通项和部份和之间的关系及等比、等差数列的性质求数列的通项，并证明其通项公式，证明一类不等式。 由给出的已知条件、利用通项公式及部份和公式联立方程组求首项、公差、公比和某项及部份和。以上各种题型可参考近5年文理科试题。1、如果等差数列中， ，那么(A)14 (B)21 (C) 28 (D)35解：， 选（C）或由，等差数列为：其和为28，或由，等差数列为：其和为28。2、设等差数列的前项和为，若，则 9 解： ，则 ，故 或取,3=1,则数列为，3、设等比数列的前项和为，若，则 3 解：因为 ，则，即，所以 .4、已知等差数列的前项和为，则数列的前项和为： 解答：取，则，或 ，选。5、已知数列的前项和为，则 解答：，选（B）；或 ，选（B）。6、设为等差数列的前项和，若，公差, ，则（D） （A）8 （B）7 （C）6 （D）5解答：方法1：， ，故选D。方法2：，则等差数列为1，3，5，7，9，11，13，由11+1324，即，故选（D）。7数列 满足，则的前60项的和为： 。（A） 3690 （B）3660 （C） 1845 （D）1830解：时 取 则； 时 ； 时 ； 时 ； 时 。 ，选（D）8、等差数列的前项和为，已知，则解：*（1） ， ，数列 , , *(2)或取最小值，(3)或设 ,，同理取最小值9、已知数列中，前项和。（）求，；（）求的通项公式。（）解：由得 ， 得 由，得， 解得 （）解：由题设知，当时有 整理得 于是， ， ， 10、函数，定义数列如下：，是过两点、的直线与轴交点的横坐标。（）证明：；（）求数列的通项公式。解法1：先求数列的通项，直线：，令：，得 ，取极限有：， ， ，且 则有： 解法2：（I）数学归纳法（i）当时，直线的方程为 令，解得 ，所以 （ii）假设当时，结论成立，即 直线的方程为令，解得由归纳假设知， ，即 所以，即当时，结论成立。由（i）（ii）知对任意的正整数，。（II）由（I）得，设，则 ， 数列是首项为，公比为5的等比数列， 因此，即 所以数列的通项公式为 11、设数列满足且。（I）求的通项公式；（II）设，记，证明：。（1）：解法1：由题设 即是公差为1的等差数列. 又, 故. 所以. 解法2：由题设, 计算得即. 猜想. 用数学归纳法证明: 1当,成立. 2假设当时成立,即,则当时, ,所以也成立. 综上. （II）由(I)得 . 12、设等比数列的前项和为，已知，求和。解法1：设an的公比为q 解得 或 当 时 当 时 解法2： 解得， 从而 当 时 当 时 13、已知数列的前n项和.（）求；（）证明：.解法一：(I) 所以 （II）当时， 当时， 所以，当时，.解法二：(I) （） （II）（注意没有等号扣一分） 14、已知是各项均为正数的等比数列，且，.（）求的通项公式；（）设，求数列的前n项和.（I）解法一：设公比为q，则 由已知有 化简为 解得 所以 解法二：， = （由）， 设公比为（），首项为 （II）由（I）知 因此 15、设数列的前项和为，已知,(1) 设,证明数列是等比数列;(2) 求数列的通项公式.解：(1)由，得 故 又 于是 ，即 是首项为3，公比为2的等比数列 (2)由()知，等比数列中， ， 于是 是首项为，公差为的等差数列 16、已知等差数列中，求前项和.解法一： 设的公差为，则 整理得 解得 或 或 所以 或 解法二： 因为为等差数列，有 所以 解得 或 设的公差为，则 或 解之得 或 ，或 所以 或 17、设数列的前项和为已知，.（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围.本题解答技巧性强，有一定综合性，得分率较低。解：（）由 故 （） ，时又4418、设数列首项， 。（1）求通项公式；（2）设，证 解：（1）， 由 则是首项为公比为的等比数列 （2）（逆证分析） 若 ， , 即 或 即 可分析出 故可如此证明：由， 则， ， 即 ， ，19、已知等差数列中，又数列中（1）求数列、的通项公式；（2）若数列、的前项和分别是，求数列的前项和。1）解（1）设等差数列的公差为，则由题设得：由于，数列是以为首项，公比为的等比数列，。（2）由（1）可得（三）立体几何类 证明空间立体边与边、角与角、线与面、面与面之间关系，用传统方法及向量代数的方法求线与面、面与面之间的夹角及特别是含有未知参数时的综合题。 求点到线、点到面、线到线、面与面的距离。 对空间立体作截面化为平面几何求面积、表面积、全面积及体积问题。1、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ）（A）1 （B） （C） （D）2解法一：不妨设两圆半径相等，为的中点，则. .解法二： （特值法）取一圆过球心，则铅直圆为其直径，为圆心， . 2、已知正四棱锥的侧棱长与底边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ C ）（A）（B） （C） （D）解法一：传统方法，设是底面正方形的中心，设边棱长为1，则（仅一个选项含，可选（C）. , .解法二：设，则，3、一直正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）(A) 1 (B) (C) 2 (D) 3解：设，则， ， ， 选（C）或用选项求正四棱锥的体积，（A），同理可得（B）, (C) =32/3, (D) =6, 选（C）4、与正方体的三条棱AB、所在直线的距离相等的点(A) 有且只有1个 (B) 有且只有2个(C) 有且只有3个 (D) 有无数个解：图解： 选（D） 上的点都满足5、一直三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（ ）(A) (B) (C) (D) 解：法一：取， ， ，.平面的法向量为=(3, ),取.设AB与平面所成的角为，与所成角为，则 ， 选（D）法二：作连SD则,连BE，为AB与面所成角，由已知：AD=，SD=，, 选（D）6、已知正四棱柱中,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为 (C) (A) (B) (C) (D)解:不妨设正四棱柱底边长为1，以点为原点建立空间直角坐标系，则 ,.,. 故选(C).7、已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，.若，则两圆圆心的距离.解：如图， ， 为等边三角形， 同理下方小圆， 为等边三角形 .8、设是球的半径，是的中点，过且与成角的平面截球的表面得到圆，若圆的面积等于，则球的表面积等于 解：如图：设圆的圆心为，半径为，则 ， 设球半径为，由球心和截面圆心的连线 垂直于截面知 ，依题意，故，球表面积为9、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、西、南、北，现在沿正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展开，得到右侧平面图形，则标“”的面方位是 （B） （A） 南 （B）北 （C）西 （D）下解：将展开图形翻面，重新还原为正方体，沿剪开及剪开和剪开，外面朝上展开得“”为北。选（B）10、已知正四棱柱中，为的中点，则直线与平面的距离为： 解答：解法1：建立坐标系，平面的法向量取为，选（D）。（注：）解法2：，选（D）。DBlCA11、已知直二面角, 点，为垂足，为垂足，若，则到平面的距离等于（C）（A） （B） (C) (D) 1解答：，设D到平面ABC的距离为h，则由四面体体积，又，故选C。O30CNAMB6012、已知平面截一球面得圆,过圆心且与成二面角的平面截该球面得。若该球面的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为（D） （A） （B） （C） （D）解答：设圆的半径，则，故选D。13、三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为 。解答：由三棱柱底面边长和侧棱长相等，设为1，且，解法1：用向量解法解法2：补形法，如图补行为四棱柱，则,是与所成角，设边长为1，；余弦定理，；同理，作；由，在上，故，即，是正方形，14、已知正方体中，、分别为、的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为 。解答：设边长为1，连，15、已知、分别在正方形的棱，上，且，则面与面所成的二面角的正切值等于。解答：取，。16、如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，.，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为90，求与平面所成角的大小。（）解法一：FPABCDE因为底面为菱形，所以， 又底面，所以。设 ，连结。因为，故， 从而 ，。因为，所以，由此知。与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以平面BED。与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以平面BED。解法二：过A作PC垂线，垂足为H， 平面ABCD FPABCDEH 在中 又 H为PC的一个三等分点，故PH = EH = CE在中，为中位线， 又平面BED 解法三：FPABCDExyz以A为坐标原点，射线AC为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设，其中，则， 于是， 从而， 故，。又，所以平面BDE 解法四：建立如解法六空间直角坐标系 因， 设，其中， 因， 故，.又，所以平面BDE 解法五：建立如图所示的空间直角坐标系 FPABCDExyz则， ， 设，其中则， ， 又，所以平面BDE （）解法1：在平面PAB内过点A作，G为垂足。因为二面角为，所以平面平面PBC，又平面平面，故平面PBC， BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故平面PAB，于是，所以底面ABCD为正方形，AD = 2， 设D到平面PBC的距离为。因为，且平面PBC，平面PBC，故AD平面PBC， A、D两点到平面PBC的距离相等，即 设PD与平面PBC所成的角为，则sin 所以PD与平面PBC所成的角为。解法2：， 设为平面PAB的法向量，则，即且，令，则 设为平面PBC的法向量，则，即且令，则， 因平面平面PBC，故，即，故 ， cos ，因为PD与平面PBC所成角和互余，故PD与平面PBC所成角为 解法3：前面解法与解法一相同。BC平面PAB，于是BCAB，BCPB， PABCDEB1C1D1M设D到平面PBC的距离为h , 即 设PD与平面PBC夹角为，则有sin ，即PD与平面PBC所成角 解法4：前面解法与解法一相同。底面ABCD为正方形，AD = 2， 又 PA = 2 把图形补成如图所示正方体连结，且，可以证明平面PBC 连结PM，则PM是PD在平面PBC上的射影。 DPM是PD与平面PBC所成的角。 ， sin 即PD与平面PBC所成角 17、DSCBA如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，。（）证明：平面；（）求与平面所成的角的大小。() SABCDE图19-1解法1： 取AB中点E, 连结DE, 则四边形BCDE为矩形 (如图19 - 1 ), DE = CB = 2. 连结SE, 则SEAB, SE = . 又SD = 1, 故ED2 = SE2 + SD2, 所以DSE为直角. 由ABDE, ABSE, DESE = E, 得 AB平面SDE, 所以ABSD, SD与两条相交直线AB、SE都垂直. 所以SD平面SAB. 解法2： 取AB中点E, 连结DE, SE (如图19 - 1 ), 则四边形BCDE为矩形 ABDE, 又 SAB为等边三角形, ABSE, 又由DESE = E, 得 AB平面SDE, 又 AB 平面SAB. 平面SAB 平面SDE . DE = CB = 2, SE =, SD = 1, SE SD, 平面SAB 平面SDE = SE, SD 平面SDE 所以SD平面SAB. 解法3：SABCDE图19-2 ABCD, BCCD, 四边形ABCD为直角梯形 取AB中点E, 连结DE, (如图19 - 2 ), DE = CB = 2, AE = 1, AD =, 又 SAB为等边三角形, SA = AB =2 , 又SD = 1, 故AD2 = SD2 + SA2, 所以DSA为直角. SDSA. 连结DB, DB =, BD2 = SB2 + SD2, 所以DSB为直角. SDSA. 又因ASBS = S, AS 平面SAB , BS 平面SAB ,SABCDE图19-4FGH 所以SD平面SAB. () 解法1： 作SF DE, 垂足为F, 则SF 平面ABCD , SF =. 作FG BC, 垂足为G, (如图19 - 4 ) 则 FG = DC = 1. 连结SG , 则SG BC . 又BC FG , SG FG = G ,