北师大版选修11 第四章 第2课时　函数最值的应用 课件（34张）.pptx

第2课时函数最值的应用 第四章2 2最大值 最小值问题 学习目标1 了解导数在解决实际问题中的作用 2 会利用导数解决不等式问题及恒成立问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一生活中的优化问题 1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 2 利用导数解决优化问题的实质是求函数最值 3 解决优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的过程 优化问题 数学建模 知识点二导数在不等式问题中的应用 利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决 思考辨析判断正误 1 用导数解决实际问题的关键是建立函数模型 2 恒成立问题可以转化成函数的最值问题 3 用导数证明不等式可以通过构造函数 转化为函数大于等于0或小于等于0 题型探究 类型一几何中的最值问题 解答 例1如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 解设广告的高和宽分别为xcm ycm 其中x 20 y 25 令s 0 得x 140 令s 0 得20 x 140 函数在 140 上是增加的 在 20 140 上是减少的 s x 的最小值为s 140 当x 140时 y 175 即当x 140 y 175时 s取得最小值24500 故当广告的高为140cm 宽为175cm时 可使广告的面积最小 反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段 三角形 四边形等图形 主要研究与面积相关的最值问题 一般将面积用变量表示出来后求导数 求极值 从而求最值 跟踪训练1把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的正三角形铁皮箱 当箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 解答 这个极大值就是函数v x 的最大值 类型二函数的最值与不等式的证明 例2已知函数f x ex 2x 2a x r a r 1 求f x 的单调区间与极值 解答 解由f x ex 2x 2a知 f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 故f x 在区间 ln2 上是减少的 在区间 ln2 上是增加的 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为2 1 ln2 a 无极大值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 证明 证明设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a 由 1 知g x 的最小值为2 1 ln2 a 当a ln2 1时 g x 0 故g x 在r上是增加的 所以x 0时g x g 0 0 即ex x2 2ax 1 反思与感悟利用函数的最值证明不等式常用的方法与步骤 1 构造函数 2 利用导数确定函数的单调性 最值 或值域 3 将其归结为函数的最值或值域问题 4 证明函数y f x 的最大 小 值大于0或小于0 或逆用单调性定义得出结论 证明 又f 0 0 f 1 0 所以当x 0 1 时 记h x sinx x 则当x 0 1 时 h x cosx 1 0 所以h x 在 0 1 上是减少的 则h x h 0 0 即sinx x 类型三与最值有关的恒成立问题 例3已知函数f x x3 ax2 bx c在x 与x 1处都取得极值 1 求a b的值及函数f x 的单调区间 解答 解由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 所以f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 若对任意x 1 2 不等式f x c2恒成立 求c的取值范围 解答 因为f 2 2 c 所以f 2 2 c为最大值 要使f x f 2 2 c 解得c2 故c的取值范围为 1 2 反思与感悟解决恒成立问题 常用方法是转化为求函数的最值问题 通过分离参数 要使m f x 恒成立 只需m f x 的最大值即可 同理 要使m f x 恒成立 只需m f x 的最小值即可 跟踪训练3已知函数f x xlnx 若对所有x 1都有f x ax 1 求实数a的取值范围 解由题意 得f x ax 1在 1 上恒成立 当x 1时 g x 0 故g x 在 1 上是增加的 所以g x 的最小值是g 1 1 因此a g x min g 1 1 故a的取值范围为 1 解答 达标检测 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为a 13万件b 11万件c 9万件d 7万件 答案 解析 1 2 3 4 5 解析 x 0 y x2 81 9 x 9 x 令y 0 解得x 9 当x 0 9 时 y 0 当x 9 时 y 0 y先增加后减少 当x 9时函数取最大值 故选c 2 在某城市的发展过程中 交通状况逐渐受到更多的关注 据有关统计数据显示 从上午6时到9时 车辆通过该市某一路段的用时y 分钟 与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y t3 t2 36t 则在这段时间内 通过该路段用时最多的时刻是a 6时b 7时c 8时d 9时 1 2 3 4 5 答案 解析 当t 6 8 时 y 0 当t 8 9 时 y 0 故t 8时 y取最大值 3 容积为256的方底无盖水箱 它的高为 时最省材料 1 2 3 4 5 4 解析设水箱高为h 底面边长为a 则a2h 256 当08时 s 0 答案 解析 当x 2时 ymin 160 元 4 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方体容器 已知底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 元 160 1 2 3 4 5 答案 解析 5 已知函数f x ex 2x a有零点 则a的取值范围是 1 2 3 4 5 答案 解析 2ln2 2 解析函数f x ex 2x a有零点 即方程ex 2x a 0有实根 即函数g x 2x ex与y a有交点 而g x 2 ex 可知函数g x 2x ex在 ln2 上是增加的 在 ln2 上是减少的 所以g x 2x ex的值域为 2ln2 2 所以要使函数g x