立体几何中的向量方法---2013届高考理科数学第一轮基础.ppt

第七节立体几何中的向量方法 1 直线的方向向量和平面的法向量 1 直线的方向向量 直线l上的非零向量a或与a 的向量叫做直线l的方向向量 2 平面的法向量 直线l 取直线l的方向向量a 则向量a叫做平面 的法向量 共线 2 利用空间向量求空间角 1 求两条异面直线所成的角设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 cos a n 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是 如图7 7 1 二面角的平面角的大小 1 直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗 2 怎样求平面的法向量 提示 不是唯一的 都有无穷多个 1 教材改编题 设u 2 2 t v 6 4 4 分别是平面 的法向量 若 则t A 3B 4C 5D 6 解析 则u v 2 6 2 4 4t 0 t 5 答案 C 2 已知平面 内有一点M 1 1 2 平面 的一个法向量为n 6 3 6 则下列点P中 在平面 内的是 A P 2 3 3 B P 2 0 1 C P 4 4 0 D P 3 3 4 答案 A 3 2012 潍坊模拟 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 A 45 B 135 C 45 或135 D 90 答案 C 答案 8 如图7 7 2所示 在四棱锥P ABCD中 PC 平面ABCD PC 2 在四边形ABCD中 B C 90 AB 4 CD 1 点M在PB上 PB 4PM PB与平面ABCD成30 的角 1 求证 CM 平面PAD 2 求证 平面PAB 平面PAD 利用空间向量判定平行或垂直 思路点拨 根据PC BC CD两两垂直建系 由PB与平面ABCD所成角求BC 分别确定D B A P M坐标 求出相应向量 用向量法证明 1 1 恰当建立坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 解答本题的关键是由PB与平面ABCD所成角求出BC 从而确定相应点的坐标 2 利用空间向量证明平行 垂直问题的优势在于将复杂的推理证明 辅助线的作法转化为空间向量的运算 降低了空间想象 演绎推理的难度 体现了由 形 转 数 的转化思想 如图7 7 3 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分别为B1A C1C BC的中点 求证 1 DE 平面ABC 2 B1F 平面AEF 2011 北京高考 如图7 7 4 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱形 AB 2 BAD 60 1 求证 BD 平面PAC 2 若PA AB 求PB与AC所成角的余弦值 3 当平面PBC与平面PDC垂直时 求PA的长 思路点拨 1 根据线面垂直的判定和性质定理易证BD 平面PAC 2 由题设条件 以BD与AC的交点为坐标原点建立坐标系 第 3 问根据法向量垂直 求出点P的坐标 进而求 PA 利用空间向量求线线角和线面角 利用空间向量求二面角 如图7 7 7所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1中点 1 求证 AB1 平面A1BD 2 求二面角A A1D B的余弦值 图7 7 7 直三棱柱A1B1C1 ABC及三视图如图7 7 8所示 D E分别为棱CC1和B1C1的中点 图7 7 8 1 求二面角B A1D A的余弦值 2 在AC上是否存在一点F 使EF 平面A1BD 若存在 确定其位置 若不存在 说明理由 利用空间向量解决开放性问题 思路点拨 1 以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 结合三视图的数据 求各点及相关向量的坐标 2 设出点F的坐标 由垂直关系 转化为代数方程求解 如图7 7 9所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是棱DD1的中点 1 求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值 2 在棱C1D1上是否存在一点F 使B1F 平面A1BE 证明你的结论 图7 7 9 从近两年高考试题看 利用空间向量求空间角是每年高考必考内容 重点考查向量方法的应用 而且从命题趋势看 创新和开放题也是命题的方向 已知空间角 探究点是否存在或者确定点的位置 进而解决问题 这类问题应引起足够重视 1 如图7 7 11所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面AB