2014年上海高考 数学试卷(理工农医类).doc

P.F. Productions后期制作2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一. 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数的最小正周期是_.2. 若复数，其中i为虚数单位，则_.3. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.4. 设 若，则a的取值范围为_.5. 若实数x, y满足，则的最小值为_.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为_（结果用反三角函数值表示）.7. 已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是_.8. 设无穷等比数列的公比为q. 若，则_.9. 若，则满足的x的取值范围是_.10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_（结果用最简分数表示）.11. 已知互异的复数a, b满足，集合，则_.12. 设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则_.13. 某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5，随机变量表示小白玩该游戏的得分. 若，则小白得5分的概率至少为_.14. 已知曲线C：，直线l：. 若对于点，存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为_.P.F. Productions后期制作二. 选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 设，则“”是“且”的（ ）.(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件P1P2BP4P5P3P7P8P6A16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）.(A)1(B)2(C)4(D)817. 已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）.(A)无论k、如何，总是无解(B)无论k、如何，总是唯一解(C)存在k、，使之恰有两解(D)存在k、，使之有无穷多解18. 设 若是的最小值，则a的取值范围为（ ）.(A)(B)(C)(D)P3ACP1P2B第19题图三. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图. 求的各边长及此三棱锥的体积V.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数，函数.(1)若，求函数的反函数；(2)根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.P.F. Productions后期制作21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米. 设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和.ACBD第21题图(1)设计中CD是铅垂方向. 如要求，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差. 现在实测得，求CD的长（结果精确到0.01米）.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：和点，记. 若，则称被直线l分隔. 若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.(1)求证：点被直线分隔；(2)若直线是曲线的分隔线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E. 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.已知数列满足，.(1)若，求x的取值范围；(2)设是公比为q的等比数列，. 若，求q的取值范围；(3)若成等差数列，且，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列的公差.数学（理）2014 第3页（共4页）2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1. 本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.解答一. （第1题至第14题）1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二. （第15题至第18题）题 号15161718代 号BABD三. （第19题至第23题）19. （本题满分12分）在中，所以AC是中位线，故.同理，. 所以是等边三角形，各边长均为4.设Q是ABC的中心，则PQ平面ABC，所以，.从而，.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.(1)因为，所以，得或，且.因此，所求反函数为，或.(2)当时，定义域为R，故函数是偶函数；当时，定义域为，故函数是奇函数；当且时，定义域关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.(1)记. 根据已知得，所以，解得. 因此，CD的长至多约为28.28米.(2)在ABD中，由已知，由正弦定理得，解得.在BCD中，由余弦定理得，解得. 所以，CD的长约为26.93米.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.(1)证明因为，所以点A, B被直线分隔.(2)直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有解，即. 因为直线是曲线的分隔线，故它们没有公共点，即.当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔.故实数k的取值范围是.(3)设M的坐标为，则曲线E的方程为，即.对任意的，不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点.又曲线E上的点和对于y轴满足，即点和被y轴分隔.所以y轴为曲线E的分隔线.若过原点的直线不是y轴，设其为.由 得，令，因为，所以方程有实数解，即直线与曲线E有公共点，故直线不是曲线E的分隔线.综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.(1)由条件得且，解得.所以x的取值范围是.(2)由，且，得，所以.又，所以.当时，由