2020届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三元月联考数学（理）试题（解析版）

2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三元月联考数学（理）试题一、单选题1复数满足，则在复平面上对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】由题意可得,根据复数的除法运算得，可得选项.【详解】由题意可得,对应的点在第二象限，故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的坐标表示，属于基础题.2已知全集，集合，集合，则( )ABCD【答案】D【解析】根据对数不等式的解法可求得集合,根据一元二次不等式的解法可求得集合,再根据集合的补集运算可求得或,从而可得选项.【详解】集合,，集合,所以或,所以或故选：D.【点睛】本题考查对数不等式和一元二次不等式的解法，以及集合的交集、补集运算，属于基础题.3已知，则( )ABCD【答案】A【解析】先判断指数函数底数，故指数函数在上单调递增，可得，再由对数函数底数，故对数函数在上单调递增，故，从而可得选项。【详解】由指数函数底数，故指数函数在上单调递增，故，由对数函数底数，故对数函数在上单调递增，故.综上所述，.故选：A.【点睛】本题考查指数函数的单调性，对数函数的单调性，在比较指数、对数和幂函数的大小时，常常化成同底数、同指数、同真数或找中介数0或1，属于基础题。4据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（）A2盏B3盏C26盏D27盏【答案】C【解析】分析：每次灯的个数成等差数列，设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，利用等差数列求和公式列方程可得详解：设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，（盏），所以最下面一层有灯，（盏），故选C.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.5若直线截得圆的弦长为，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用已知条件求出的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可.【详解】解：圆的半径为1，圆心，直线截得圆的弦长为2，直线经过圆的圆心，可得：，即则，当且仅当时，等号成立，故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.6我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数的图象大致是( )ABCD【答案】B【解析】先根据函数的奇偶性的判断得，函数是奇函数，故排除A选项和C选项，再由当时，可排除D选项，可得选项.【详解】因为，所以，所以函数是奇函数，故排除A选项和C选项，在时，当，所以，而当时，所以在时，当，所以排除D选项，所以只有B选项符合条件.故选：B.【点睛】本题考查由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,属于基础题.7函数的图像可由函数的图像至少向右平移( )个单位长度得到ABCD【答案】D【解析】利用辅助角公式化简,和，可得选项.【详解】因为,，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.故选：D.【点睛】本题考查运用辅助角公式化简和三角函数的图像的平移，在图像平移时注意平移的对象和平移的方向，属于基础题.8若向量与的夹角为，则( )A B1C4D3【答案】B【解析】先利用向量的模的平方等于向量的平方,展开得到，代入已知条件得到关于的方程,解之可求得.【详解】因为，所以，又因为,所以,解得（-2舍去），故选：B.【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积运算,注意在求向量的模时常常需求向量的平方,属于基础题.9如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据圆的对称性只需看四分之一即可，利用面积比即可得到结果.【详解】解：根据圆的对称性只需看四分之一即可，设扇形的半径为r，则扇形OBC的面积为，连接BC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：，此点取自阴影部分的概率是故选：A【点睛】本题考查几何概型，解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算10设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】根据已知条件求出当时，函数，做出示意图如下图所示： 要使，则需，而由可解得，从而得出的范围.【详解】当时，而时，所以又，所以当时，当时，做出示意图如下图所示： 要使，则需，而由解得，所以，故选：D.【点睛】本题考查函数不等式的求解问题，解决问题的关键在于根据已知条件求出相应区间的解析式，运用数形结合的思想巧妙求解不等式，属于中档题.11是球的直径，、是该球面上两点，棱锥的体积为，则球的表面积为( )ABCD【答案】C【解析】设三棱锥的高为,球的半径为,由三棱锥的体积为，可以求得,再利用三角形面积公式可得=,即可求得球的半径,然后利用球的表面积公式即可得到答案.【详解】如下图所示,由于为球的直径,所以，所以，设球的半径为,连接则,取的中点,连接,又,则，设三棱锥的高为,又三棱锥的高为的边上的高,所以三棱锥的高为,故，所以,在中有=,故=,解得,故球的表面积为，故选：C.【点睛】本题考查球的内接棱锥的体积、球的表面积等知识,考查考生的空间想象能力以及基本运算能力，属于中档题.12关于函数，下列说法正确的是( )（1）是的极小值点；（2）函数有且只有1个零点；（3）恒成立；（4）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则.A(1) (2)B(2)(4)C(1) (2) (4)D(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】对于（1），对函数求导，得出函数的单调性，可判断；对于（2）令，对其求导，得出其单调性，且可得出当时,可判断；对于（3），令，对其求导，得出其单调性，取特殊函数值，可判断；对于（4），对函数求导可得，分析判断出在上单调递增，也即是，在单调递增，将已知条件转化为 在上至少有两个不同的正根,可得，令 对求导，分析的单调性，可得出的范围，可判断命题.【详解】对于（1），由题意知,，令得，所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增，所以是的极小值点,故（1）正确;对于（2）令，则.函数在上单调递减, 又当时,，所以函数有且只有1个零点，故（2）正确；对于（3），令，则，所以函数在单调递减，且，所以函数在内不是恒成立的，所以不是恒成立的，故（3）不正确；对于（4），因为，所以，令，则，所以当时，所以在上单调递增，且，所以当时，所以在上单调递增，也即是，在单调递增，又因为在上的值域是，所以 ,则 在上至少有两个不同的正根, 则，令求导得令，则，所以 在上单调递增，且，所以当时， ，当时，所以在是单调递减，在上单调递增，所以，而所以，故（4）正确；所以正确的命题有：（1）（2）（4），故选：C.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、极值、零点、交点的个数、不等式恒成立等综合问题，在解决这些综合问题时常常需合理地构造新函数，并对其求导，得出导函数的正负，从而得出所构造的函数的单调性，继而得出函数的极值、最值等，解决不等式的恒成立、函数的零点个数、函数图象的交点个数的问题，属于难度题.二、填空题13已知曲线，则其在点处的切线方程是_【答案】【解析】根据曲线方程求出切点,对进行求导,求出函数在切点处的值即为在该点的切线的斜率,利用点斜式可求出切线方程.【详解】由曲线,得,所以切线的斜率为,又当时,所以切线过点,曲线在处的切线方程是:，即,故答案为:.【点睛】此题主要考查运用导数研究曲线在某点的切线方程,根据导函数在切点的值就是过切点的切线的斜率是解决本题的关键，属于基础题.14已知是等比数列的前项和，成等差数列，则_【答案】1【解析】由，成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用等比数列的前n项和公式化简,得到关于q的关系式,再利用等比数列的性质化简将得到的关于q的关系式，整理后代入,即可得值.【详解】是等比数列的前n项和,且，成等差数列,显然不满足此式，所以，所以,整理得:,即,即，解得，又所以，所以,故答案为:1【点睛】本题考查等差数列的性质,等比数列的通项公式及求和公式,熟练掌握其性质和相应的公式是解本题的关键，属于基础题.15根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为_【答案】【解析】先求得基本事件的总数，然后求得周一、周二都有专家参加调研活动的情况可分为两种：第一种：一天1人，一天3人，共有种情况；第二种：每天2人，共有种情况，根据古典概型概率计算公式求得概率.【详解】4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，共有种情况，周一、周二都有专家参加调研活动的情况可分为两种：第一种：一天1人，一天3人，共有种情况；第二种：每天2人，共有种情况，所以周一、周二都有专家参加调研活动的概率为，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查分组方法数的计算，常常采用先分组再排列的方法，属于基础题.16在平面直角坐标系中，双曲线的上支与焦点为的抛物线交于两点若，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】先将双曲线的方程和抛物线的方程联立得，消元化简得，设，则，再根据抛物线的定义得代入已知条件可得，从而可得双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线的方程和抛物线的方程联立得，消元化简得，设，则，由抛物线的定义得又因为，所以，所以，化简得，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解与抛物线的定义的运用，关键在于联立方程得出关于交点的横坐标的韦达定理，再根据抛物线的定义转化抛物线上的点到焦点的距离，属于中档题。三、解答题17在中，角、所对的边分别为、，且，（）求角的大小；（）若，求及的面积.【答案】（）（）【解析】（1）由正弦定理化简得，再由得，根据三角形的内角的范围可求得角的大小；（2）根据余弦定理得建立关于的方程，解之可得，再根据三角形的面积公式可求得三角形的面积.【详解】（）， ，由正弦定理可得，又， 所以，故. （），由余弦定理可得：，即,解得或（舍去），故.所以.【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，运用时注意根据条件进行合理的选择和三角形的角的范围，属于基础题.18如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，和都是正三角形， ， E、F分别是AC、BC的中点，且PDAB于D. （）证明：直线平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）证明见解析（）【解析】（）根据正三角形的性质和面面垂直的性质得面，继而可得出，由线面垂直的判断可得证；（）以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，得出点的坐标，继而求得面的法向量，根据二面角的坐标计算公式可得出二面角的正弦值.【详解】（）E、F分别是AC、BC的中点，EF/AB， 在正三角形PAC中，PEAC，又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，PE平面ABC，且PEAB，又PDAB，PEPD=P，AB平面PED， 又/，又，直线平面. （）平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，BEAC，BE平面PAC，以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示：则，, ，设为平面PAB的一个法向量，则由得，令，得，即，设二面角的大小为，则，则,，即二面角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面垂直的证明和二面角的求解，属于基础题.19为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：根据行驶里程数按1元/公里计费；行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费已知王先生家离上班地点公里，每天租用该款汽车上、下班各一次由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 (分)是一个随机变量现统计了次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间（分）频数将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】（1）由题意，分别求出和时，函数的解析式，得到相应的分段函数；（2）由题意，求得“路段畅通”的概率，进而得到随机可取，利用的独立性检验的概率计算公式，求解随机变量取每个值对应的概率，求得分布列，最后利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）当时， 当时，. 得：（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率可取0，1，2，3. ， 的分布列为0123P 或依题意，【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，其中解答中认真审题，正确理解题意，得到随机变量的取值，利用概率的计算公式求解相应的概率是解答本题的关键，着重考查了运算求解能力，以及分析问题和解答问题的能力.20已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围【答案】（）（）【解析】（）根据题意建立关于的方程组，解之可得椭圆的方程；（）联立直线的方程和椭圆的方程，得到关于交点坐标的关系，并且由根的判别式得出关于的不等式，从而得到线段的中点，和线段的垂直平分线的方程，由点在其垂直平分线上得出关于的方程，可得到关于的不等式，解之可得的范围.【详解】（）由题意可知：， 得， 故椭圆的标准方程为. （）设，将代入椭圆方程，消去得，所以，即由根与系数关系得，则， 所以线段的中点的坐标为 又线段的垂直平分线的方程为，由点在直线上，得，即，所以由得，所以，即或，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查椭圆的简单的几何性质，椭圆的标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用，在求解此类综合题目时，常常采用联立方程，得到关于交点坐标的韦达定理的表示式，将所需求的目标条件转化到与交点有关的表达式上，属于中档题.21已知函数，.（）讨论的单调性；（）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.【答案】（）当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减. （）不是，理由见解析【解析】（）对函数求导，对分分类讨论，得出导函数的正负，从而得函数的单调性；（）当时，得. 由，是函数的两个零点，不妨设，可得 ，两式相减可得： ， 再. 则. 设，令，. 研究函数在上是増 函数，得，可得证.【详解】（）依题意知函数的定义域为，且 ,（1）当时， ，所以在上单调递增.（2）当时，由得：，则当时；当时.所以在单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当 时， 在单调递增，在上单调递减. （）不是导函数的零点. 证明如下：当时，. ，是函数的两个零点，不妨设， ，两式相减得：即： ， 又. 则. 设，令，. 又，在上是増 函数，则，即当时，从而，又所以，故，所以不是导函数的零点.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和研究函数的零点问题，解决此类问题常需构造合适的新函数，并对其求导函数，研究此函数的单调性，从而得出函数的最值、极值、零点等相关问题，属于难度题。22在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建