2019-2020学年重庆市第七中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市第七中学高二上学期期中数学试题一、单选题1若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（ ）ABCD【答案】C【解析】由直线经过,两点,能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角.【详解】 直线经过，两点， 直线AB的斜率,设直线的倾斜角为,，, 直线AB的倾斜角.故选: C.【点睛】本题考查的是两点间的斜率公式及直线的倾斜角，是基础题.2若a，b，c是空间三条直线，a与c相交，则b与c的位置关系是（ ）A平行B相交C异面D异面或相交【答案】D【解析】可举例说明它们的位置关系，以正方体为载体，列举出所在位置关系，能求出结果【详解】如图，在正方体中，AB与BC相交，与BC是异面直线，AB与相交，与是相交直线，b，c是空间三条直线，a与c相交，则b与c的位置关系是异面或相交故选：D【点睛】本题考查空间中两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是基础题3圆A：与圆B：的位置关系是（ ）A相交B内切C外切D内含【答案】C【解析】先分别求出圆A和圆B的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，由此能够判断两圆的位置关系【详解】圆A：的圆心坐标，半径，圆B：的圆心坐标，半径，圆A与圆B外切故选：C【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，解题时要掌握圆的圆心坐标和圆半径的求法，要注意两点间距离公式的灵活运用4圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ）ABCD【答案】A【解析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形得，代入求出r和l，再求出圆锥的高，代入体积公式计算【详解】设圆锥的底面半径为r，母线为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，即，由题意得，侧面积，解得，圆锥的高，圆锥的体积，故选：A【点睛】本题考查圆锥的体积、侧面积，以及轴截面问题，属于基础题5过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）ABCD【答案】C【解析】直接根据所给信息，利用排除法解题。【详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，点在圆上，排除A故选C【点睛】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题。6下列命题中，表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面 若，则； 若，则； 若，则； 若，则 正确的命题是（ ）ABCD【答案】C【解析】对于，由线面垂直的判定定理知，直线m与平面内的任意一条直线垂直，由知，存在直线内，使，所以，故正确；对于，平面与平面可能相交，比如墙角的三个平面，故错误；对于，直线m与n可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于，由面面平行的性质定理有 ，正确故正确命题为，选C.7直三棱柱中，若，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ）ABCD【答案】C【解析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则0，0，0，1，0，1，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为故选：C【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值，解题关键就是建立空间直角坐标系，考查运算求解能力，是基础题8已知直线与圆交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若，则a的值为（ ）A2BC4D8【答案】D【解析】联立直线方程与圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量的坐标运算求得C的坐标，代入圆的方程求解a值【详解】设，联立，化为，直线与圆交于A、B两点，解得，故选：D【点睛】本题考查了直线与圆相交问题、向量的坐标运算，考查了推理能力和计算能力，属于中档题9已知点A为圆上的点，点B的坐标为，P为x轴上一动点，则的最小值是（ ）A3B4C5D6【答案】B【解析】由题意画出图形，结合对称性，由两点间的距离公式求解【详解】如图，设圆的圆心为C，则，半径点关于x轴的对称点，连接，交圆C与A，交x轴于P，则的最小值为故选：B【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题10如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 ABCD【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的表面积为4，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为，而垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为【考点】点、线、面间的距离计算11已知点是直线上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）A2BCD【答案】D【解析】求出圆的圆心与半径，利用四边形的最小值求出PC的最小值，即圆心到直线的距离，利用点到直线的距离求解即可【详解】圆C：，圆心，半径为1.如图，即点C到直线的距离为，整理得，解得：故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题12在正三棱锥中，M，N分别是SC，BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是( )ABCD【答案】A【解析】先判断SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直，得到球的半径为三棱锥对应的正方体的体对角线的一半，求出半径，用球的体积公式求出即可【详解】，N分别是棱SC、BC的中点，可得，取中点，连接，由得，而，则平面，平面，平面，、平面，易证，、SB、SC三条侧棱两两互相垂直侧棱，正三棱锥的外接球的直径为：，故正三棱锥外接球的体积是，故选：A【点睛】考查了三棱锥外接球的半径的计算和体积公式，中档题二、填空题13已知两条直线：，：，且，则满足条件a的值为_【答案】-2【解析】利用两直线平行得到，从而求出a的值【详解】由于直线，则，解得，故答案为：【点睛】本题考查两直线平行与直线一般方程之间的关系，考查转化能力与变形能力，属于基础题14如图，在正方体中，直线与平面所成的角等于_【答案】【解析】【详解】正方体中，连接交于点M，连接，由题可得：，,所以直线平面,所以直线与平面所成的角等于,设正方体的边长为，所以，所以,所以【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可。15如图四边形ABCD为梯形，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积分别是_和_【答案】 【解析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，圆台的母线长为，故所求几何体的表面积为：圆台的上底面积，下底面积所以又所以，旋转体的体积为故答案为：；【点睛】本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是基础题16已知圆C：和两点，若圆C上存在点M，使得，则m的最小值为_【答案】3【解析】根据题意，由A、B的坐标分析AB中点的坐标以及的值，进而求出以AB的中点为圆心，半径的圆的方程，由圆与圆的位置关系可得圆C与圆O有交点，进而可得，解可得m的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，点，则AB的中点为，则以AB的中点为圆心，半径的圆为，设该圆为圆O，若圆C上存在点M，使得，则圆C与圆O有交点，必有，即，又由，解可得：，即m的最小值为3；故答案为：3【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于基础题三、解答题17已知直角的顶点坐标，直角顶点，顶点C在x轴上（1）求点C的坐标；（2）求的斜边中线的方程【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意利用直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，求得点C的坐标（2）先求出斜边中点的坐标，再求出中线的斜率，用点斜式求出中线的方程【详解】（1）直角的顶点坐标，直角顶点，顶点C在x轴上，设，则，求得，故（2）斜边AC的中点为，BM的斜率为，故BM的方程为，即【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题18如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC的中点. (1)求证: 平面BEC1平面ACC1A1；(2)若AA1=, AB=2, 求三棱锥A-BEC1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）通过面面垂直的性质证明BE平面ACC1A1即可得证；（2）三棱锥A-BEC1的体积即三棱锥C1- ABE的体积，便于求解.【详解】（1）正三棱柱ABC-A1B1C1中, 为正三角形，E是AC的中点，所以，平面平面，交线为，平面，所以BE平面ACC1A1，平面BEC1，所以平面BEC1平面ACC1A1；（2）三棱锥A-BEC1的体积所以三棱锥A-BEC1的体积【点睛】此题考查立体几何中面面垂直的证明和三棱锥体积的求法，用到面面垂直的性质和三棱锥体积的转化.19已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切（1）求圆的方程；（2）若直线与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2） 存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦AB，理由见解析.【解析】（1）由题意圆心在x轴，且圆心横坐标是整数，设出圆心M的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据直线与圆相切，得到d与半径r相等，列出关于m的等式，求出等式的解即可得到m的值，确定出圆心坐标，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可；（2）假设符合条件的实数a存在，由a不为0，根据两直线垂直时斜率的乘积为，由直线的斜率表示出直线l的斜率，再由P的坐标和表示出的斜率表示出直线l的方程，根据直线l垂直平分弦AB，得到圆心M必然在直线l上，所以把M的坐标代入直线l方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入确定出直线l的方程，经过检验发现直线与圆有两个交点，故存在【详解】（1）设圆心为由于圆与直线相切，且半径为5，所以，即即或，解得或，因为m为整数，故，故所求的圆的方程是；（2）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即由于l垂直平分弦AB，故圆心必在l上所以，解得检验：当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，合乎题意.故存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦AB【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质要求学生掌握直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径根据直线l垂直平分弦AB得到圆心M必然在直线l上是解本题第二问的关键20在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，侧面底面ABCD，若PB的中点为E，求证：平面PCD；若，求二面角的余弦值【答案】证明见解析；【解析】取PC的中点F，连接EF，DF，推导出四边形ADFE是平行四边形，由此能证明平面PCD；以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】证明：如图，取PC的中点F，连接EF，DF，F分别为PB，PC的中点，且，且，四边形ADFE是平行四边形，平面PCD，平面PCD，平面PCD，平面平面，平面平面，平面，平面，则、两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则、，设平面BDP的法向量，则，取，得，设平面PCD的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上（I）当时，求证平面（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；() 【解析】【详解】（）在平行四边形中，由，易知， 又平面，所以平面,，在直角三角形中，易得，在直角三角形中，又，可得.， 又，平面 （）由（）可知,，可知为二面角的平面角，此时为的中点. 过作,连结,则平面平面,作,则平面,连结,可得为直线与平面所成的角因为,所以. 在中，直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：依题意易知，平面ACD以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得，（）由有， 易得，从而平面 ()由平面，二面角的平面角.又，则为的中点，即,设平面的法向量为则，令,得， 从而，直线与平面所成角的正弦值为. 【考点】本小题主要考查线面垂直的证明和线面角的求法，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.点评：解决空间立体几何问题可以用传统的方法证明也可以用向量方法来证明，用传统方法证明时，要把证明所用的定理的条件摆清楚，缺一不可，用向量方法时，运算量比较大.22在平面直角坐标系 中，已知圆和圆（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程（2）设 为平面上的点，满足：存在过 的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标【答案】（1），或；