2020届北京市陈经纶学校高三上学期数学10月月考试题（解析版）

2020届北京市陈经纶学校高三上学期数学10月月考试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】化简集合A，再求并集即可.【详解】故选：C【点睛】本题主要考查了集合间的并集运算，属于基础题.2在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据第二象限点的横纵坐标的正负，求出实数的取值范围.【详解】复数对应的点在第二象限所以，解得故选：A【点睛】本题主要考查了根据复数对应点所在象限求参数范围，属于基础题.3已知两条直线和平面，若，则是的（ ）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】D【解析】先判断与的真假，然后利用充要条件的定义，得到与的关系【详解】当时，若时，与的关系可能是，也可能是，即不一定成立，故为假命题；若时，与的关系可能是，也可能是与异面，即不一定成立，故也为假命题；故是的既不充分又不必要条件故选：D【点睛】本题考查充要条件、直线与平面平行关系的判断，求解的关键是先判断与的真假.4设命题，则为（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识直接选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定为特称命题，B,D选项是特称命题，注意到要否定结论，故D选项符合.所以本小题选D.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.5已知，令，那么之间的大小关系为( )ABCD【答案】A【解析】因为，所以，为单调递减函数，所以。根据，在为单调递增函数，可得，结合指数函数单调性，可得，即。【详解】因为，则，为单调递减函数，所以。因为，且，在为单调递增函数，所以在为单调递增函数，所以因为，为单调递增函数，所以，即，所以，故选A【点睛】本题考查基本初等函数的单调性及值域，属基础题。6在等比数列中，且为和的等差中项，则为A9B27C54D81【答案】B【解析】根据题意，设等比数列的公比为q，由为和的等差中项，可得，利用等比数列的通项公式代入化简为，解得q，又，即，分析可得、q的值，可得数列的通项公式，将代入计算可得答案【详解】解：根据题意，设等比数列的公比为q，若为和的等差中项，则有，变形可得，即，解得或3；又，即，则，则，则有；故选：B【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题7将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为ABCD【答案】B【解析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移（0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可【详解】将函数ysin2x的图象向右平移（0）个单位长度，可得ysin2（x）sin（2x2），图象过点，sin（2），即22k，或2k，kZ，即 或，kZ，0，的最小值为故选：B【点睛】本题主要考查了函数yAsin（x+）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题8标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.1的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为由题意可得：则数列为首项为，公比为的等比数列即则视力4.9的视标边长为故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.9古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（ ）.ABCD【答案】D【解析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可.【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，依题意有，化简整理得，即，则圆的面积为故选D【点睛】本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题10如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：三棱锥的体积不变；平面；平面平面其中正确的结论的个数是A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【详解】对于，由题意知，从而平面，故BC上任意一点到平面的距离均相等，所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；对于，连接，且相等，由于知：，所以面，从而由线面平行的定义可得，故正确；对于，由于平面，所以，若，则平面DCP，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；对于，连接，由且，可得面，从而由面面垂直的判定知，故正确故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想二、填空题11已知，则_.【答案】【解析】根据两向量垂直，数量积等于0，化简即可得出答案.【详解】因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查了垂直关系的向量表示以及已知模求数量积，属于基础题.12若直线与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则=_.【答案】【解析】试题分析：若直线3x-4y+5=0与圆交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB=120，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离，即，解得r=2，【考点】直线与圆相交的性质13如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_ 【答案】【解析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB侧面ACB，AB4，POOC2，由此即可得到结果【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB侧面ACB，AB4，POOC2侧面PAC与PBC为全等的等边三角形则该三棱锥的体积为V故答案为：【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题14已知，且.则的最大值是_.【答案】10【解析】利用基本不等式求解即可.【详解】当且仅当，即时，等号成立则，即的最大值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求和为定值时，积的最大值，属于基础题.15椭圆的焦点为F1,F2，点在椭圆上，若，_；的小大为_【答案】2 ；【解析】解：因为由椭圆的定义，我们可知16若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间上的“函数”.已知函数，且是和在区间上的“函数”，则实数的取值范围是_【答案】【解析】在区间上分及两种情况考虑即可.【详解】由题意可得，在区间上恒成立，即，当时，函数的图像为一条线段，于是,解得，另一方面，在上恒成立.令,则,因为，所以,于是函数为增函数，从而,所以，则函数为上的增函数，所以,即；综上所述，实数k的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的综合应用，难度较大.三、解答题17已知在等比数列an中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足：，求数列bn的前n项和Sn【答案】（1）an=2n，nN（2）1-+n2【解析】（1）等比数列an的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（2）求得=+2log22n-1=+2n-1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】（1）等比数列an的公比设为q，a1=2，a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2，即为4q=2+2q2-2，解得q=2，则an=a1qn-1=2n，nN；（2）=+2log22n-1=+2n-1，则数列bn的前n项和Sn=（+）+（1+3+2n-1）=+n（1+2n-1）=1-+n2【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题18已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）在中，角的对边分别为，若，求的值.【答案】（1），； （2）.【解析】（1）利用倍角公式降幂化一，可求周期和单调区间.（2）由求出C的值，结合正余弦定理求得a，b的值【详解】（1），周期为.因为，所以，所以所求函数的单调递减区间为.（2）因为，又，所以，所以，又因为，由正弦定理可得，由可得.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asin+bcos型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题19如图,在四棱锥中, 平面平面,.（1）求证:平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】试题分析：（）由面面垂直的性质定理知AB平面，根据线面垂直的性质定理可知，再由线面垂直的判定定理可知平面；（）取的中点，连结，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据BM平面PCD，即（为平面PCD的法向量），求出的值，从而求出的值.试题解析：（）因为平面平面，所以平面.所以.又因为，所以平面.（）取的中点，连结.因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系.由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.20已知函数.（1）若函数的最小值为0，求的值；（2）设，求函数的单调区间；（3）设函数与函数的图像的一个公共点为，若过点有且仅有一条公切线，求点的坐标及实数的值.【答案】（1）；（2）单调区间见解析；（3），【解析】（1）分类讨论参数的值，利用导数得出函数的单调性，根据最值求出的值；（2）函数整理为，分类讨论参数的值，利用导数求函数的单调性即可；（3）设出点P坐标，求出坐标间的关系得出，构造函数，讨论函数的单调性解方程即可.【详解】（1）首先，因，故，注意到，故当时，则函数在单调递增，函数无最小值；当时，若，若，所以函数在单调递减，在单调递增故函数在处取最小值，则，即，故；（2）因，故若，则，函数在上单调递增；若当，即，也即时若时，或若时，所以函数在区间单调递增，在，单调递减；当，即，也即时若时，或若时， 所以函数的单调区间是，单调减区间是和当时，所以函数的单调递减区间是综上：当，函数的单调递区间是；当时，函数的单调区间是，单调减区间是和当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是；单调递减区间是和.（3）设点，由题意得，即 ，解得构造函数，当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，而所以方程有唯一解，即所以【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调性，已知最值求参数，属于较难题.21设，为正整数，一个正整数数列满足.对，定义集合.数列中的是集合中元素的个数.（1）若数列为5，3，3，2，1，1，写出数列；（2）若，为公比为的等比数列，求；（3）对，定义集合，令是集合中元素数的个数.求证：对，均有.【答案】（1）数列为；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）根据题意得出求出，即可得出数列；（2）根据题意得出,从而写出数列