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2006年高考试题理科数学 福建卷 年高考试题理科数学 福建卷 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 设 a b cR 则复数 abi cdi 为实数的充要条件是 A 0adbc B 0acbd C 0acbd D 0adbc 2 在等差数列 n a中 已知 123 2 13 aaa 则 456 aaa 等于 A 40 B 42 C 43 D 45 3 已知 3 sin 25 则tan 4 等于 A 1 7 B 7 C 1 7 D 7 4 已知全集 UR 且 2 12 680 Ax xBx xx 则 U C AB 等于 A 1 4 B 2 3 C 2 3 D 1 4 5 已知正方体外接球的体积是 32 3 那么正方体的棱长等于 A 2 2 B 2 3 3 C 4 2 3 D 4 3 3 6 在一个口袋中装有5个白球和3个黑球 这些球除颜色外完全相同 从中摸出3个球 至少摸到 2个黑球的概率等于 A 2 7 B 3 8 C 3 7 D 9 28 7 对于平面 和共面的直线m n 下列命题中真命题是 A 若 mmn 则n B 若m n 则m n C 若 mn 则m n D 若m n与 所成的角相等 则m n 8 函数 2 log 1 1 x yx x 的反函数是 A 2 0 21 x x yx B 2 0 21 x x yx C 21 0 2 x x yx D 21 0 2 x x yx 9 已知函数 2sin 0 f xx 在区间 3 4 上的最小值是2 则 的最小值等于 A 2 3 B 3 2 C 2 D 3 10 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右焦点为F 若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线 的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 11 已知1 3 0 OAOBOAOB 点C在AOC 30o 设 OCmOAnOB m nR 则 m n 等于 A 1 3 B 3 C 3 3 D 3 12 对于直角坐标平面内的任意两点 1122 A x yB xy 定义它们之间的一种 距离 2121 xxyy 给出下列三个命题 若点C在线段AB上 则 ACCBAB 在ABC 中 若90 o C 则 222 ACCBAB 在ABC 中 ACCBAB 其中真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 本大题共4小题 每小题4分 共16分 把答案填在答题卡的相应位置 13 25 1 x x 展开式中 4 x的系数是 用数字作答 14 已知直线10 xy 与抛物线 2 yax 相切 则 a 15 一个均匀小正方体的6个面中 三个面上标以数0 两个面上标以数1 一个面上标 以数2 将这个小正方体抛掷2次 则向上的数之积的数学期望是 16 如图 连结ABC 的各边中点得到一个新的 111 ABC 又连 结 111 ABC 的各边中点得到 222 A B C 如此无限继续下 去 得到一系列三角形 ABC 111 ABC 222 A B C 这一系列三角形趋向于一个点M 已知 0 0 3 0 AB x y A C B1 A1 C1 B2 A2 C2 B O 2 2 C则点M的坐标是 三 解答题 本大题共6小题 共74分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12分 已知函数 22 sin3sin cos2cos f xxxxx xR I 求函数 f x的最小正周期和单调增区间 II 函数 f x的图象可以由函数sin2 yx xR 的图象经过怎样的变换得到 18 本小题满分12分 如图 四面体ABCD中 O E分别是BD BC的中点 2 2 CACBCDBDABAD I 求证 AO 平面BCD II 求异面直线AB与CD所成角的大小 III 求点E到平面ACD的距离 19 本小题满分12分 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y 升 关于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 3 13 8 0120 12800080 yxxx 已知甲 乙两地相距100千米 I 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 II 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 20 本小题满分12分 已知椭圆 2 2 1 2 x y 的左焦点为F O为坐标原点 I 求过点O F 并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程 C A D B O E x y l G A B FO II 设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A B两点 线段AB的垂直平分线与x轴交于点G 求点G横坐标的取值范围 21 本小题满分12分 已知函数 2 8 6ln f xxx g xxm I 求 f x在区间 1t t 上的最大值 h t II 是否存在实数 m使得 yf x 的图象与 yg x 的图象有且只有三个不同的交点 若 存在 求出m的取值范围 若不存在 说明理由 22 本小题满分14分 已知数列 n a满足 11 1 21 nn aaanN I 求数列 n a的通项公式 II 证明 12 231 1 232 n n aaann nN aaa 2006年高考年高考 福建卷福建卷 数学理试题答案数学理试题答案 一 选择题 本大题考查基本概念和基本运算 每小题5分 满分60分 1 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 C 8 A 9 B 10 C 11 B 12 B 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题4分满分16分 13 10 14 1 4 15 4 9 16 5 2 3 3 三 解答题 本大题共6小题 共74分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题主要考查三角函数的基本公式 三角恒等变换 三角函数的图象和性质等基本知识 以及推理和运算能力 满分12分 解 I 1 cos23 sin2 1 cos2 22 x f xxx 313 sin2cos2 222 3 sin 2 62 xx x f x 的最小正周期 2 2 T 由题意得222 262 kxkkZ 即 36 kxkkZ f x 的单调增区间为 36 kkkZ II 方法一 先把sin2yx 图象上所有点向左平移 12 个单位长度 得到sin 2 6 yx 的图象 再把所 得图象上所有的点向上平移 3 2 个单位长度 就得到 3 sin 2 62 yx 的图象 方法二 把sin2yx 图象上所有的点按向量 3 12 2 a 平移 就得到 3 sin 2 62 yx 的图象 18 本小题主要考查直线与平面的位置关系 异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 满分12分 方法一 I 证明 连结OC BODO ABADAOBD BODO BCCDCOBD 在AOC 中 由已知可得1 3 AOCO 而2 AC 222 AOCOAC 90 o AOC 即 AOOC BDOCO AO 平面BCD II 解 取AC的中点M 连结OM ME OE 由E为BC的中点知ME AB O E D C 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在OME 中 121 1 222 EMABOEDC OM 是直角AOC 斜边AC上的中线 1 1 2 OMAC 2 cos 4 OEM 异面直线AB与CD所成角的大小为 2 arccos 4 III 解 设点E到平面ACD的距离为 h 11 33 E ACDA CDE ACDCDE VV h SAO S 在ACD 中 2 2 CACDAD 22 127 22 222 ACD S 而 2 133 1 2 242 CDE AOS A B M D E O C 3 1 21 2 77 2 CDE ACD AO S h S 点E到平面ACD的距离为 21 7 方法二 I 同方法一 II 解 以O为原点 如图建立空间直角坐标系 则 1 0 0 1 0 0 BD 13 0 3 0 0 0 1 0 1 0 1 1 3 0 22 CAEBACD 2 cos 4 BACD BA CD BA CD 异面直线AB与CD所成角 的大小为 2 arccos 4 III 解 设平面ACD的法向量为 nx y z 则 1 0 1 0 0 3 1 0 n ADx y z n ACx y z 0 30 xz yz 令1 y 得 3 1 3 n 是平面ACD的一个法向量 又 13 0 22 EC 点E到平面ACD的距离 321 77 EC n h n 19 本小题主要考查函数 导数及其应用等基本知识 考查运用数学知识分析和解决实际问题的 能力 满分12分 解 I 当40 x 时 汽车从甲地到乙地行驶了 100 2 5 40 小时 x C A B O D y z E 要耗没 3 13 40408 2 517 5 12800080 升 答 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油17 5升 II 当速度为x千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了 100 x 小时 设耗油量为 h x升 依题意得 328 0120 1280008012804 h xxxxx xx 33 22 80080 0120 640640 xx h xx xx 令 0 h x 得80 x 当 0 80 x 时 0 h xh x 是减函数 当 80 120 x 时 0 h xh x 是增函数 当80 x 时 h x取到极小值 80 11 25 h 因为 h x在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 答 当汽车以80千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 20 本小题主要考查直线 圆 椭圆和不等式等基本知识 考查平面解析几何的基本方法 考查 运算能力和综合解题能力 满分12分 解 I 22 2 1 1 1 0 2 abcFl x 圆过点O F 圆心M在直线 1 2 x 上 设 1 2 Mt 则圆半径 13 2 22 r 由 OMr 得 22 13 22 t 解得2 t 所求圆的方程为 22 19 2 24 xy II 设直线AB的方程为 1 0 yk xk x y l G A B FO 代入 2 2 1 2 x y 整理得 2222 12 4220 kxk xk 直线AB过椭圆的左焦点F 方程有两个不等实根 记 1122 A x yB xyAB中点 00 N xy 则 2 12 2 4 21 k xx k AB 的垂直平分线NG的方程为 00 1 yyxx k 令0 y 得 222 00 2222 211 212121242 1 0 0 2 G G kkk xxky kkkk kx 点G横坐标的取值范围为 1 0 2 21 本小题主要考查函数的单调性 极值 最值等基本知识 考查运用导数研究函数性质的方法 考查运算能力 考查函数与方程 数形结合 分类与整合等数学思想方法和分析问题 解决问题 的能力 满分12分 解 I 22 8 4 16 f xxxx 当14 t 即3t 时 f x在 1t t 上单调递增 22 1 1 8 1 67 h tf ttttt 当41 tt 即34t 时 4 16 h tf 当4t 时 f x在 1t t 上单调递减 2 8 h tf ttt 综上 2 2 67 3 16 34 8 4 ttt h tt ttt II 函数 yf x 的图象与 yg x 的图象有且只有三个不同的交点 即函数 xg xf x 的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点 2 2 86ln 62862 1 3 28 0 xxxxm xxxx xxx xxx 当 0 1 x 时 0 xx 是增函数 当 0 3 x 时 0 xx 是减函数 当 3 x 时 0 xx 是增函数 当1 x 或3x 时 0 x 1 7 3 6ln3 15 xmxm 最大值最小值 当x充分接近0时 0 x 当x充分大时 0 x 要使 x 的图象与x轴正半轴有三个不同的交点 必须且只须 70 6ln3 150 xm xm 最大值 最小值 即7156ln3 m 所以存在实数m 使得函数 yf x 与 yg x 的图象有且只有三个不同的交点 m的取值 范围为 7 156ln3 22 本小题主要考查数列 不等式等基本知识 考查化归的数学思想方法 考查综合解题能力 满分14分 I 解 1 21 nn aanN 1 12 1 nn aa 1 n a 是以 1 12a 为首项 2为公比的等比数列 12 n n a 即 2 21 n anN II 证法一 12 111 44 4 1 nn kkkk n a 12 42 nn kkknnk 12 2 nn bbbnnb 1211 2 1 1 nnn bbbbnnb 得 11 2 1 1 nnn bnbnb 即 1 1 20 nn nbnb 21 1 20 nn nbnb 得 21 20 nnn nbnbnb 即 21 20 nnn bbb 211 nnnn bbbb nN n b 是等差数列 证法二 同证法一 得 1 1 20 nn nbnb 令1 n 得 1 2 b 设 2 2 bd dR 下面用数学归纳法证明 2 1 n bnd 1 当1 2n 时 等式成立 2 假设当 2 nk k 时 2 1 k bkd 那么 1 22 2 1 2 1 1 1111 kk