2008年高考数学客观题的“闪亮点”.pdf

江苏省新海高级中学董入兴 高中数学改革在阵痛 中艰难迈步 走向课改的深 处 纵观 2 0 0 8年全 国各地的高考数学试题 在高度体 现 以人为本 这一新课标核心理念的基础上 充分彰 显多元化 多层 次以及 时代性 和前瞻性的命题特色 涉及 知识 生成 过程 探 究性 创 新 型 应用 型 试 题 的密 度越来越大 题型越来越 开放 活泼 交汇度也越来越 厚重 凸现出高考大力支持改革并服务于课改的指导 思想 使高考成为新课 改前 沿一个靓丽的窗 口 一面 鲜艳的旗帜 高 考不仅 见证 承载新 课 改 的风雨历 程 而且将 二者有 机地融合 对接起来 回眸 再现 2 0 0 8年高考数 学客观题 的 闪亮点 意在反思平时 教学过程 中的得与失 长与短 意在引导 修正教学方 向 力 图使高 中数学教学在新课改 的道路上走得更加 科学 稳健而又充满活力 使其真 正步入到新课程改 革所倡导 的教育 的主方 向和数学思维发展的主方 向 上来 下面采摘 几道高考试题 进行 说明 以期对读者 能有所启发和帮助 1 江西卷理科第 1 1题 电子钟一天显示时间是 O O O 0 至 2 3 5 9 每一时刻都由四个数字组成 则一天中 任一时刻显示的四个数字之和为 2 3的概率为 A 志 B c D 分 析 设 一 天 内 电 子 钟 显 示 的 时 间 情 况 为 A吕 C D 而 C D 表示分钟 时间 从 0 0至 5 9 所 以 C 可取 0 l 2 3 4 5这 6个数字的中任一个 D可取 0 1 2 8 9这 1 O个数字 中的任一个 时钟从 0 0至 2 3 从 A 位置人手进行 分类 1 当 A一0或 1时 B 可取 0 1 2 8 9这 1 O个数 字 中的任一个 共有 2 e l C C 种情况 2 当 A一2时 B可取 0 1 2 3这 4个数字中的任一个 共 有 C C C 种情况 所 以一天 内 电子 钟所 显示 的时 间总 的情况种 数 为 2 C i C C C j C C j 一1 4 4 0种 而 一 天之 中 显 示 的 四个 数 字 之 和为 2 3的情 况 只有 O 9 5 9或 1 8 5 9 或 1 9 5 8或 1 9 4 9四种 所 以一天 中任一 时刻 显示的四个数字之和为 2 3的概率为 一 点评 此题生活气息很浓 把 触角 合理地延伸 到学生现实生活中 使学生在丰富 的 现实的与他们 吼 X k X k l 1 5 I T 第2 0 0 8 棵树种植点的坐标应为 分析 当2 4k 45 时 有 T k b I 一 T 一 o 则 一 蕊 一 十 解 得 愚 1 当忌 一 6 时 有 T L 丁 一 u 解 得 P 1 2 当 7 忌 1 o 时 有 T T 一 1 则 一 十 解 得P 五 一 5 2 当忌 一 1 1 时 有T 一2 丁 一 则 西 一 4 解 得 1 3 如 此 类 推 如 图 1 所示 通过描点 观察 归纳 总结得出一般的规律 为当5 一4 忌 5 n z 1 时 则 P k 一 5 一1 当 k一2 0 0 8 时 因 5 4 0 2 4 2 0 0 8 5 4 0 2 知 一4 0 2 得P 2 o o 8 2 0 0 8 5 4 0 2 即P2 o o 8 3 4 0 2 图 1 1 4 0 2 点评 此题是将周期数列加以变更 迁移 整合而 成 有创意 有新意 给学生探索问题提供 了广 阔的空 间和 自由度 特别对学生观察 归纳 猜测 综合分析 等能力 以及耐心 毅力得到全面 的考查 有利 于甄别 学生的思维层次和数学素养 本题要求学生善于根据 问题的结构特征 从众多的信息 中提取 挖掘 出有效 维普资讯 的信息 从而找出问题的切入 口 开启成功之 门 3 江苏卷第 1 2 题 若 AB一2 AC 2 B C 则 S A B 的最大值为 分析 视 角 1 余 弦 定 理 法 设 B C z 则 Ac一 由 余 弦 定 理 得 c s C一 一面3 2 72 4 s c 一 有 s 一 一 撕叠 X s in C一 丽 一 一 z 一1 2 1 2 8 当z 1 2 即 z 一2 3 时 S A B c 一2 2 视角 2 坐标法 以 AB 为 z 轴 线 段 AB 中垂 线 为 轴 建立 如 图 2所 示 的坐标 系 c O y 则 A 一 1 0 B 1 0 C x 由 AC 4 5 B C 得 z 1 2 z一1 y J 一 彳 O M j 1 一 图2 化简整理得 一6 x 1 0 即 一3 一 8 所 以 C点 的轨迹 为以 M 3 0 为 圆心 半 径为 2 2 的圆 除去与z轴的交点 要使 s 船 c 最大 只需 A B边上的高最大 而高的最大值为圆的半径 2 2 所 以S A 8 的最大值一 2 2 一2 厄 视焦3 海伦公式法 设 B C X A C x 由海伦公 式S A 日 c 一 p p a p b p c 其中P 一 代入得 艘一 1 x 4 q 2 4 z z 1 6 一 1 一 1 2 1 2 8 当z 一2 3 时 5 B c 一一2 2 视角 4 向量法 设 BC z 则 AC z 因 蔬 一蕊 一 两边平方 得蔬 z 一2 蔬 z 蕊 z 化 简 得 蔬 一 3 4 S 加 百1 l 蔬 1 1 I S i n C 百 1 I 蔬 1 1 c 专 面 4 x Z 4 2 1 6 丢 面 面 当z 一2 时 s A B c 2 厄 点评 此题立意 选材依托于课本中的内容 遵循 源于教材 高于教材 的命题原则 问题 的设 计给学 生 留有较大的思维仓 造空间 顺应 了新课程发展 的要 求和高考改革 的命 题方向 具有很好 的导 向 引领作 用 本题思路开阔 方法灵活多样 可以从不同的角度 切入 着重考查学生灵活运用知识的能力 运算能力 思维层次要求较高 4 湖北卷理科第1 5 题 观察下列等式 i i 一 丢 抖 塞 抖 喜 丢 丢 咒 丢 2 奎 一 号 3 i 一 一一 蚪 1 抖 a k a 一 a 一 2 口 1 a 可 以推 测 当 k 2 k E N it m 川一南 一言m 川一 以 2 分析 观察各个等式右边最高次的系数为百 1 1 1 11 寺 言 各 个 等 式 右 边 次 高 次 的 系 数 为 寺 号 丢 丢 1 第 三 高 次 的 系 数 为0 丢 1 I 3 1 归 纳 得 出 一 一 k 各 个 等 式 右边第四高次的系数为 0 0 0 0 0 归纳得出 a 一 一 0 点评 此题着重考查学生的观察 归纳 猜测能力 以及思维的敏捷性 灵活性 它要求 学生善于根据问 题 的结构特征 从众多 的数学信息 中提取 挖掘出有 效 的信息 灵活地运用有关 的知识 映衬 出相应的意 象 找出有效的突破 口 从而挖掘规律 发现规律 应 用规律 5 宁夏与海南卷理科第 1 2题 某几何体 的一条 棱长为 7 在该几何体的正视图中 这条棱的投影是 长为 6 的线段 在该几何体的侧视图与俯视图中 这 条棱 的投影分别是长为 a和 b的线段 则 a 6的最 大值为 A 2 2 B 2 3 C 4 D 2 5 分 析 构 造 如 图 3所 示 的 长方体 AB C D A1 B C D1 使该 几何体的这条棱恰好 为长 方体 对角线 AC 则 这条 棱在 正视 图 俯 视图 侧视图中的投影分 另 为 AD AC AB 且 AD 一 6 AC b AB 一a 设长方 图3 体 的长 宽 高分 别为 x 儿 2 则 X 十y 7 一 1 a一 可 6一 二 所 以 z z 6 维普资讯 6一 z 1 z 1 由基 本 不 等 式 得 易 一 z 1 1 2 2 z 十1 z 1 z 2 4 z 4 1 1 一 z 2 一1 6 当且 仅 当 z 一 3 时取 等号 所 以 n 6 一4 点评 本题构思精巧 立意深远且抽象度高 较好 地考查学生空间想象能力 以及能否选择有效 的方法 应对能力 有利于甄别学 生思维层次 具有较好 的区 分度 此题将几何 体的这条棱嵌 入到长方体 中去 借 助长方体对角线与共顶点三个面 的关 系 化抽象为具 体 做到 有 体 可循 避免 人 手 的盲 目性 随意 性 6 湖南卷理科第 1 0题 设 z 表示不超过 X的 最大整数 如 2 一2 l i 一1 对于给定的 EN 定 义 c 一 罢 三 三 暑 三 z 则 当 E l 昔 3 时 函数c 的值域是 A 2 8 B 5 6 1 L o J L 3 C 4 u E 2 8 D 4 萼 u 萼 2 8 分析 当昔 z 2 时 有 z 一1 一 兰 则 C x 的值域为 寺 鲁挖 I 当2 x 0 的 最 小 正 周 期为 7 c I 求 的值 11 求函数厂 在区间l 0 j上的取值范围 r 1 解 工 根 据 周 期 求 0 9 根 据 正 弦 函数 的 有 界 性 求值域 厂 z 一 s i n 2 基础与能力并重 知识 与能力并举 的原则 意在考查 等差数列的通项公式 前 项和公式以及不等式性质 等知识 1 0 全国卷工 理科第1 0 题 直线 善 孚 一1 通过 点M c o s s i n a 则 A a b 1 B a b 1 c 1 D 1 分析 由点 M c o s s i n a 坐标特征知 点 M 在 圆 一1上 所 以直线 一1和圆 2 7 2 1有公共点 即直线与 圆相交或相切 故 圆心 到直 线的 距离d 一 兰 1 则 a 1 1 1 D 十 点评 一个问题 的价值取 向并不在于它的深奥 而在于它的功效 剖析问题最合理的途径就是对 问题 的迁移和转化 而迁移和转化方式的不 同则取决于对 问题情境的感受程度 因此 感受 和体验也就成 为了 新课标理念的精华之处 总之 2 0 0 8年全国各地高考的数学客观题 具 有