2012年重庆数学高考试题(理科数学理科数学高考试题.pdf

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学 理科 一 填空题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共计 50 分 在每小题给出的四个 备选选项中 只有一个是符合题目要求的 1 在等差数列 n a中 5 1 42 aa 则 n a的前 5 项和 5 S A 7 B 15 C 20 D 25 2 不等式0 12 1 x x 的解集为 A 1 2 1 B 1 2 1 C 1 2 1 D 1 2 1 3 对任意的实数 k 直线 y kx 1 与圆2 22 yx的位置关系一定是 A 相离 B 相切 C 相交但直线不过圆心 D 相交且直线过圆心 4 8 1 2 x x 的展开式中常数项为 A 16 35 B 8 35 C 4 35 D 105 5 设tan tan 是方程 2 320 xx 的两个根 则tan 的值为 A 3 B 1 C 1 D 3 6 设 x y R 向量 4 2 1 1 cybxa 且cbca 则 ba A 5 B 10 C 2 5 D 10 7 已知 f x是定义在 R 上的偶函数 且以 2 为周期 则 f x为 0 1 上的增 函数 是 f x为 3 4 上的减函数 的 A 既不充分也不必要的条件 B 充分而不必要的条件 C 必要而不充分的条件 D 充要条件 8 设函数 f x在 R 上可导 其导函数为 fx 且函数 1 yx fx 的图像如题 8 图所示 则下列结论中一定成 立的是 A 函数 f x有极大值 2 f和极小值 1 f B 函数 f x有极大值 2 f 和极小值 1 f C 函数 f x有极大值 2 f和极小值 2 f D 函数 f x有极大值 2 f 和极小值 2 f 9 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 2和a 且长为a的棱与长为2 的棱异面 则a的取值范围是 A 0 2 B 0 3 C 1 2 D 1 3 10 设平面点集 22 1 0 1 1 1Ax yyx yBx yxy x 则 AB所表示的平面图形的面积为 A 3 4 B 3 5 C 4 7 D 2 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 把答案分别填写在答题分 把答案分别填写在答题 卡相应位置上卡相应位置上 11 若 12ii a bi 其 中 a bR i 为 虚 数 单 位 则 ab 12 2 1 lim 5 n nnn 13 设ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 且 35 cos cos 3 513 ABb 则 c 14 过 抛 物 线 2 2yx 的 焦 点F作 直 线 交 抛 物 线 于 A B两 点 若 25 12 ABAFBF 则 AF 15 某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文 数学 外语三门文化课和其他三门 艺术课个 1 节 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 用数字作答 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 16 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 设 13 ln1 22 f xaxx x 其中aR 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切 线垂直于y轴 求a的值 求函数 f x的极值 17 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 甲 乙两人轮流投篮 每人每次投一球 约定甲先投且先投中者获胜 一 直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为 1 3 乙每次投篮投中的概率为 1 2 且各次投篮互不影响 求甲获胜的概率 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 18 本小题满分 13 分 小问 8 分 小问 5 分 设 4cos sincos 2 6 f xxxx 其中 0 求函数 yf x 的值域 若 f x在区间 3 22 上为增函数 求 的最大 值 19 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如图 在直三棱柱 111 CBAABC 中 AB 4 AC BC 3 D 为 AB 的中点 求点 C 到平面 11 A ABB 的距离 若 11 ABAC 求二面角 11 ACDC 的平面角的余弦值 20 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 如图 设椭圆的中心为原点O 长轴在x轴上 上顶点为A 左右焦点分别为 21 F F 线段 12 OF OF的中点分别为 21 B B 且 21B AB 是面积为 4 的直角三角形 求该椭圆的离心率和标准方程 过 1 B做直线l交椭圆于 P Q 两点 使 22 QBPB 求直线l的方程 21 本小题满分 本小题满分 12 分 分 I 小问 小问 5 分 分 II 小问 小问 7 分 分 设数列 n a的前n项和 n S满足 121nn Sa Sa 其中 2 0a I 求证 n a是首项为 1 的等比数列 II 若 2 1a 求证 1 2 nn n Saa 并给出等号成立的充要条件 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 参考答案 一 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C B A B D D A D 二 填空题 11 4 12 2 5 13 14 5 14 5 6 15 3 5 三 解答题 16 解 1 因 13 ln1 22 f xaxx x 故 2 13 22 a fx xx 由于曲线 yf x 在点 1 1f处的切线垂直于y轴 故该切线斜率为 0 即 10 f 从而 13 0 22 a 解得1a 2 由 1 知 13 ln10 22 f xxxx x 2 22 113321 222 xx fx xxx 2 31 1 2 xx fx x 令 0fx 解得 12 1 1 3 xx 因 2 1 3 x 不在定义域内 舍去 当 0 1x 时 0fx 故 f x在 0 1上为减函数 当 1 x 时 0fx 故 f x在 1 上为增函数 故 f x在1x 处取得极小值 13f 17 解 设 kk A B分别表示甲 乙在第k次投篮投中 则 1 3 k P A 1 2 k P B 1 2 3k 1 记 甲获胜 为事件 C 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同 时发生的概率计算公式知 111211223 P CP AP A B AP A B A B A 111211223 P AP A P B P AP A P B P AP BP A 22 1211211 3323323 11113 392727 2 的所有可能为 1 2 3 由独立性知 111 1212 1 3323 PP AP AB 22 1121122 211212 2 323329 PP A B AP A B A B 22 1122 211 3 329 PP A B A B 综上知 有分布列 1 2 3 P 2 3 2 9 1 9 从而 22113 123 3999 E 次 18 解 1 31 4cossinsincos2 22 f xxxxx 222 23 s i nc o s2 s i nc o ss i nxxxxx 3 s i n 21x 因1sin21x 所以函数 yf x 的值域为13 13 2 因sinyx 在每个闭区间 2 2 22 kkkZ 上为增函数 故 3sin21f xx 0 在每个闭区间 44 kk kZ 上为增函 数 依题意知 3 22 44 kk 对某个kZ 成立 此时必有0k 于 是 3 24 24 解得 1 6 故 的最大值为 1 6 19 解 1 由ACBC D为AB的中点 得CDAB 又 1 CDAA 故 11 CDAABB 面 所以点C到平面 11 A ABB的距离为 22 5CDBCBD 2 如图 取 1 D为 11 AB的中点 连结 1 DD 则 111 DDAACC 又由 1 知 11 CDAABB 面 故 1 C DA D 1 C DD D 所 以 11 ADD 为 所 求 的 二 面 角 11 ACDC 的平面角 因 1 AD为 1 AC在面 11 A ABB上的射影 又已知 11 ABAC 由三垂线定理的逆定理 得 11 ABAD 从而 111 A ABADA 都与 1 B AB 互余 因此 111 A ABADA 所 以 111 Rt AADRt B AA 因此 111 1 AAAB ADAA 即 2 111 8AAAD AB 得 1 2 2AA 从而 22 11 2 3ADAAAD 所以 在 11 Rt ADD中 11 11 11 6 cos 3 DDAA ADD ADAD 20 解 设所求椭圆的标准方程为 22 22 10 xy ab ab 右焦点为 2 0F c 因 12 AB B是直角三角形 又 12 ABAB 故 12 B AB 为直角 因此 2 OAOB 得 2 c b 结合 222 cab 得 222 4bab 故 2222 5 4ab cb 所以 离心率 2 5 5 c e a 在 12 Rt AB B中 12 OAB B 故 12 2 122 1 22 AB B c SB BOAOBOAbb 由题设条件 12 4 AB B S 得 2 4b 从而 22 520ab 因此所求椭圆的标准方程为 22 1 204 xy 2 由 1 知 1 2 0 2 0 BB 由题意知直线l的倾斜角不为 0 故可设直线l 的方程为 2xmy 代入椭圆方程得 22 54160mymy 设 1222 P x yQ xy 则 12 y y是上面方程的两根 因此 12 2 4 5 m yy m 12 2 16 5 y y m 又 211222 2 2 B PxyB Qxy 所以 221212 22B P B Qxxy y 1212 44mymyy y 2 1212 141 6my ymyy 2 2 22 161 16 16 55 m m mm 2 2 1 66 4 5 m m 由 21 PBQB 得 22 0B P B Q 即 2 16640m 解得2m 所以满足条件的直线有两条 其方程分别为 220 xy 和220 xy 21 1 证明 由 2211 Sa Sa 得 12121 aaa aa 即 221 aa a 因 2 0a 故 1 1a 得 2 2 1 a a a 又由题设条件知 2211nn Sa Sa 121nn Sa Sa 两式相减得 2121nnnn SSaSS 即 221nn aa a 由 2 0a 知 1 0 n a 因此 2 2 1 n n a a a 综上 2 2 1 n n a a a 对所有 nN 成立 从而 n a是首项为 1 公比为 2 a的等 比数列 2 当1n 或2时 显然 1 2 nn n Saa 等号成立 设3n 2 1a 且 2 0a 由 1 知 1 1a 1 2 n n aa 所以要证的不 等式化为 211 2222 113 2 nn n aaaan 即证 2 2222 1 112 2 nn n aaaan 当 2 1a 时 上面不等式的等号成立 当 2 11a 时 2 1 r a 与 2 1 n r a 1 2 3 1rn