2014年高考数学江苏卷完美解析版(精品资料).pdf

2014 高考数学 江苏卷 解析版 1 2014 高考数学 江苏卷 解析版高考数学 江苏卷 解析版 江苏苏州 何睦 江苏扬州 孟伟业 整理提供 江苏南京 王刚 刘雷 感谢提供解法和提出宝贵建议的各位老师 数 学数 学 一 填空题 本大题共14 小题 每小题5 分 共计70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 A 4 3 1 2 3 2 1 B 则 BA 答案 1 3 解析 由题意得 1 3 AB 考点 交集 并集 补集 B 2 已知复数 2 i 25 z i 为虚数单位 则z的实部为 答案 21 解析 由题意 2 52i 25 20i42120iz 其实部为 21 考点 复数的概念 B 3 右图是一个算法流程图 则输出的n的值是 答案 5 解析 本题实质上就是求不等式220 n 的最小整数解 220 n 整数解为5n 因此输出的5n 考点 流程图 A 4 从 1 2 3 6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数 则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 答案 1 3 解析 从 1 2 3 6 这 4 个数中任取 2 个数共有 2 4 6C 种取法 其中乘积为 6 的有1 6和2 3两种 取法 因此所求概念为 21 63 P 考点 古典概型 B 5 已知函数xycos 与 2sin xy 0 它们的图象有一个横坐标为 3 的交点 则 的值 是 答案 6 解析 由题意cossin 2 33 即 21 sin 32 所以 2 2 36 k 或 25 2 36 kk Z 即2 2 k 或2 6 kk Z 又0 所以 6 考点 函数sin yAx 的图象与性质 B 三角函数的概念 B 三角函数图象的交点与 已知三角函数值求角 开始 0 n 1 nn 202 n 输出 n 结束 第 3 题 N Y 2014 高考数学 江苏卷 解析版 2 6 设抽测的树木的底部周长均在区间 80 130 上 其频率分布直方图如图所示 则在抽测的 60 株树木中 有 株树木的底部周长小于 100cm 答案 24 解析 由题意在抽测的 60 株树木中 底部周长 小于 100cm 的株数为 0 015 0 025 10 60 24 考点 总体分布的估计 A 频率分布直方图 7 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 n a中 1 2 a 468 2aaa 则 6 a的值是 答案 4 解析 设公比为q 因为 2 1a 则由 864 2aaa 得 642 2qqq 42 20qq 解得 2 2q 或 2 1q 舍 所以 4 62 4aa q 考点 等比数列 C 等比数列的通项公式 8 设甲 乙两个圆柱的底面分别为 1 S 2 S 体积分别为 1 V 2 V 若它们的侧面积相等 且 4 9 2 1 S S 则 2 1 V V 的值是 答案 3 2 解析 设甲 乙两个圆柱的底面和高分别为 1 r 1 h 2 r 2 h 则 1122 22rhr h 12 21 hr hr 又 2 11 2 22 9 4 Sr Sr 所以 1 2 3 2 r r 则 222 11111121 222 22222212 3 2 Vr hrhrrr Vr hrhrrr 考点 柱 锥 台 球的表面积与体积 A 9 在平面直角坐标系xOy中 直线032 yx被圆4 1 2 22 yx截得的弦长 为 答案 2 55 5 解析 圆4 1 2 22 yx的圆心为 2 1 C 半径为2r 点C到直线230 xy 的距离 为 22 22 1 33 5 12 d 所求弦长为 22 92 55 22 4 55 lrd 考点 直线与圆 圆与圆的位置关系 B 直线与圆相交的弦长问题 10 已知函数 2 1f xxmx 若对于任意 1 mmx 都有0 xf成立 则实数m的取值范 围是 答案 2 0 2 解析 画出二次函数的分析简图 组距 频率 100 80 90 110 120 130 0 010 0 015 0 020 0 025 0 030 底部周长 cm 第 6 题 2014 高考数学 江苏卷 解析版 3 由图象分析可得结论 开口向上的二次函数 f x在 m n上恒小于 0 的充要条件为 0 0 f m f n 开口 向下的二次函数 f x在 m n上恒大于 0 的充要条件为 0 0 f m f n 22 0 2 22 0 1 0 2 3 0 2 m f m m f m m 江苏苏州 何睦 考点 一元二次不等式 C 一元二次方程根的分布 二次函数的性质 变式 变式变式 1 已知函数 1 2 mxxxf若对于任意 1 mmx 都有0 xf成立 则实数m的取 值范围是 答案 0 2 2 江苏苏州 何睦 变式变式 2 已知函数 2 1 f xxmx 若对于任意 1xm m 都有 0f x 成立 则实数m的取值 范围是 答案 2 0 2 江苏苏州 何睦 变式变式 3 已知函数 2 1 f xxmx 若存在 1 xm m 使得 0f x 成立 则实数m的取值范围 是 答案 32 22 江苏苏州 何睦 变式变式 4 已知函数 2 21f xxx 若存在实数t 当 1 xm 时 f xtx 恒成立 则实数m的 最大值是 答案 4 江苏苏州 陈海锋 变式变式 5 若关于x的不等式 2 10 xmxm 恒成立 则实数m 答案 2 江苏苏州 陈海锋 变式变式6 设 f x是定义在R上的奇函数 且当0 x 时 2 f xx 若对任意的 2 xt t 不等式 2 f xtf x 恒成立 则实数t的取值范围是 答案 2 江苏苏州 陈海锋 11 在平面直角坐标系xOy中 若曲线 x b axy 2 a b 为常数 过点 5 2 P 且该曲线在点 P 处的 切线与直线0327 yx平行 则ba 的值是 答案 3 解析 曲线 2 b yax x 过点 2 5 P 则45 2 b a 又 2 2 b yax x 所以 7 4 42 b a 由 解得 1 2 a b 所以3ab 考点 导数的几何意义 B 2014 高考数学 江苏卷 解析版 4 12 如图 在平行四边形ABCD中 已知8AB 5AD 3CPPD 2AP BP 则AB AD 的 值是 答案 22 解析 解法一 基底法 考虑将条件中涉及的 AP BP向 量用基底 AB AD表示 而后实施计算 1 4 APADDPADAB 3 4 BPBCCPADAB 则 221313 2 44216 AP BPADABADABADAD ABAB 因为8 5ABAD 则 31 22564 162 AB AD 故22AB AD 江苏苏州 何睦 解法二 坐标法 不妨以A点为坐标原点 AB所在直线作为x轴建立平面直角坐标系 可设 0 0 8 0 2 8 ABD at P at C at 则 2 APat 6 BPat 由2AP BP 得 22 414ata 由5AD 得 22 25at 则411a 所求822AB ADa 江苏苏州 何睦 解法三 极化恒等式 22 4 abab a b 本题除了使用基本的基底法与建系处理外 使用 极化恒等式也不失为一种巧妙的方法 如图 取 AB 中点 E 连接 EP 并延长 交 AD 延长线于 F 则 222 2 2 2 44 APBPAPBPEPAB AP BP 所以3 2EP 又因为3CPPD AEEB ABDC 所以2AEDP 即在FAE 中 DP为中位线 又 1 210 4 26 2 2 AFADAEABFEPE 所以 222 1001672 22 22 AFAEEF AD ABAF AE 江苏盐城 叶华兴 考点 平面向量的加法 减法及数乘运算 B 平面向量的数量积 C 变式 1 原创 已知AB是半径为 3 的圆O的直径 P是圆O上异于BA 的一点 Q是线段AP 上靠近A的三等分点 且4 ABAQ 则BPBQ 的值为 答案 24 江苏苏州 何睦 变式 2 2014 届苏北四市高三上期末第 13 题 在平面四边形ABCD中 已知3AB 2DC 点 E F分别在边 AD BC上 且3ADAE 3BCBF 若向量AB与DC的夹角为60 则AB EF 的值为 答案 7 13 已知 xf是定义在 R 上且周期为 3 的函数 当 3 0 x时 2 1 2 2 f xxx 若函数 axfy 在区间 4 3 上有 10 个零点 互不相同 则实数a的取值范围是 答案 1 0 2 A B D C P 第 12 题 2014 高考数学 江苏卷 解析版 5 解析 作出函数 2 1 2 0 3 2 f xxxx 的图象 可知 1 0 2 f 当1x 时 1 2 f x 极大 7 3 2 f 方程 0f xa 在 3 4 x 上有 10 个零点 即函数 yf x 的图象与直线ya 在 3 4 上有 10 个交点 由于函数 f x的周期为 3 因此直线ya 与函数 2 1 2 0 3 2 f xxxx 的图 象有 4 个交点 则 1 0 2 a 考点 函数与方程 A 函数的基本性质 B 函数的零点 周期函数的性质 函数图象的交点问题 14 若 ABC的内角满足CBAsin2sin2sin 则Ccos的最小值是 答案 62 4 解析 由正弦定理得22abc 由余弦定理结合基本不等式有 2222222 222 231231 2 242242 cos 22224 ab abababab abc C abababab 22 31 2 262 42 244 ab ab 当且仅当 6 3 ab 时等号成立 江苏苏州 何睦 考点 正弦定理 余弦定理及其应用 B 基本不等式 C 变式 变式变式 1 在 ABC 中 角 A B C 所对边的长分别为 a b c 若 a2 b2 2c2 则 cosC 的最小值 为 答案 1 2 江苏无锡 张芙华 变式变式 2 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 所对的边 若 sinsincossinsincossinsincosABCCABBCA 若 2 ab c 的最大值为 答案 3 2 江苏无锡 张芙华 变式变式 3 在 ABC 中 设 AD 为 BC 边上的高 且 AD BC b c 分别表示角 B C 所对的边长 则 bc cb 的取值范围是 答案 2 5 江苏苏州 陈海锋 变式变式 4 已知三角形ABC 的三边长 a b c成等差数列 且 222 84abc 则实数b的取值范围是 答案 2 6 2 7 江苏南通 丁勇 拓展 1 在 ABC中 已知 0 1m n 且sinsinsinmAnBC 求cosC的最小值 答案 由正弦定理得manbc 由余弦定理结合基本不等式有 2014 高考数学 江苏卷 解析版 6 2222222 22 1 1 21 cos 1 1 222 abcm an bmnabab Cmnmn ababba 22 1 1 mnmn 当且仅当 2222 1 1 man b 时等号成立 江苏常州 封中华 拓展 2 在 ABC中 已知 0 1m n 且coscoscosmAnBC 求cosC的最大值 答案 coscoscos mAnBC coscos cosmAnACC cos cossinsincosmnCAnCAC 22 cos cos 2cos C Ax mnmnC 22 cos 1 2cos C mnmnC 2222 cosCmnm nmn 解得 经检验 当 cosC 2222 mnm nmn 时 cosA 2222 m n mnm nmn cosB 2222 n m mnm nmn 符合题意 江苏苏州 田林 江苏无锡 张心刚 二 解答题 本大题共6 小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域 内作答 解答时应写出文字说明 证明 过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知 2 5 5 sin 1 求 4 sin 的值 2 求 2 6 5 cos 的值 解析 本小题主要考查三角函数的基本关系式 两角和与差及二倍角的公式 考查运算求解能力 满分 14 分 1 因为 2 sin 5 5 所以 cos 2 2 5 1sin 5 故 sin 4 sin 4 cos cos 4 sin 22 52510 252510 2 由 1 知 sin2 2sin cos 52 54 2 555 cos2 1 2sin2 1 2 53 2 55 所以 cos 5 5 5 2coscos2sinsin2 666 331443 3 252510 考点 同角三角函数的基本关系式 B 两角和 差 的正弦 余弦及正切 C 二倍角的正弦 余弦及正切 B 运算求解能力 2014 高考数学 江苏卷 解析版 7 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥ABCP 中 D E F 分别为棱ABACPC 的中点 已知ACPA 6PA 8BC 5DF 求证 1 直线 PA平面DEF 2 平面 BDE平面ABC 解析 本小题主要考查直线与直线 直线与平面以及 平面与平面的位置关系 考查空间想象能力和推理论证 能力 满分 14 分 1 因为 D E 分别为棱 PC AC 的中点 所以 DE PA 又因为 PA 平面 DEF DE 平面 DEF 所以直线 PA 平面 DEF 2 因为 D E F 分别为棱 PC AC AB 的中点 PA 6 BC 8 所以 DE PA DE 1 2 PA 3 EF 1 2 BC 4 又因为 DF 5 故 DF2 DE2 EF2 所以 DEF 90 即 DE 丄 EF 又 PA AC DE PA 所以 DE AC 因为 AC EF E AC 平面 ABC EF 平面 ABC 所以 DE 平面 ABC 又 DE 平面 BDE 所以平面 BDE 平面 ABC 考点 直线与平面平行 垂直的判定及性质 B 两平面平行 垂直的判定及性质 B 空间想象 能力和推理论证能力 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 21 F F分别是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点 顶点B 的坐标为 0 b 连结 2 BF并延长交椭圆于点 A 过点 A 作x轴的垂线交椭圆于另一点 C 连结CF1 1 若点 C 的坐标为 3 1 3 4 且2 2 BF 求椭圆的方程 2 若 1 FCAB 求椭圆离心率 e 的值 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质 直线与直线的位 置关系等基础知识 考查运算求解能力 满分 14 分 设椭圆的焦距为 2c 则 1 0 Fc 2 0 F c 1 因为 0 Bb 所以 22 2 BFbca 又 2 2BF 故2a 因为点 4 1 3 3 C 在椭圆上 所以 22 161 99 1 ab 解得 2 1b 故所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 第16题 P D C E F B A F1 F2 O x y B C A 第 17 题 2014 高考数学 江苏卷 解析版 8 2 解法一 官方解答 垂直关系的最后表征 因为 0 Bb 2 0 F c在直线 AB 上 所以直线 AB 的方程为1 xy cb 解方程组 22 22 1 1 xy cb xy ab 得 2 1 22 22 1 22 2 a c x ac b ca y ac 2 2 0 x yb 所以点 A 的坐标为 222 2222 2 a cb ca acac 又 AC 垂直于 x 轴 由椭圆的对称性 可得点 C 的坐标为 222 2222 2 a cb ac acac 因为直线 1 FC的斜率为 22 22 22 223 22 0 23 b ac b ac ac a ca cc c ac 直线 AB 的斜率为 b c 且 1 FCAB 所以 22 23 1 3 b ac b a ccc 又 222 bac 整理得 22 5ac 故 2 1 5 e 因此 5 5 e 解法二 垂直关系的先行表征 设 000012 0 0 C x yA xyFcF c 由 1 FCAB 得 0 0 1 yb xcc 由A在 2 BF上 则 00 1 xy cb 联立 2 00 00 cxbyc bxcybc 解得 2 0 22 2 0 22 2 ca x bc bc y bc 又 00 C xy在椭圆上 代入椭圆方程整理得 224222 4 2 c acac 即 22 5ac 所以椭圆的离心率为 5 5 e 考点 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 B 直线的平行关系与垂直关系 B 直线 方程 C 运算求解能力 椭圆的标准方程 椭圆的离心率 2014 高考数学 江苏卷 解析版 9 18 本小题满分 16 分 如图 为了保护河上古桥OA 规划建一座新桥 BC 同时设立一个圆形保护区 规划要求 新 桥 BC 与河岸 AB 垂直 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m 经测量 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处 OC 为河岸 3 4 tan BCO 1 求新桥 BC 的长 2 当 OM 多长时 圆形保护区的面积最大 解析 本小题主要考查直线方程 直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识 考查建立数学模 型及运用数学知识解决实际问题的能力 满分 16 分 解法一 官方解法一 1 如图 以 O 为坐标原点 OC 所在直线为 x 轴 建立平面直角坐标系 xOy 由条件知 0 60 170 0AC 直线 BC 的斜率 4 tan 3 BC kBCO 又因为ABBC 所以直线 AB 的斜率 3 4 AB k 设点 B 的坐标为 a b 则 04 1703 BC b k a 603 04 AB b k a 解得80 120ab 所以 22 17080 0 120 150BC 因此新桥 BC 的长为 150m 2 设保护区的边界圆 M 的半径为 r m OMd m 060 d 由条件知 直线 BC 的方程为 4 170 3 yx 即436800 xy 由于圆 M 与直线 BC 相切 故点 0 Md到直线 BC 的距离是 r 即 22 36806803 5 43 dd r 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m 170 m 60 m 东 北 O A B M C 第 18 题 170 60 x y O A B M C 第 18 题 2014 高考数学 江苏卷 解析版 10 所以 80 60 80 rd rd 即 6803 80 5 6803 60 80 5 d d d d 解得1035d 故当10d 时 6803 5 d r 最大 即圆面积最大 所以当 OM 10 m 时 圆形保护区的面积最大 解法二 官方解法二 1 如图 延长 OA CB 于点 F 因为 4 tan 3 FOC 所以 4 sin 5 FOC 3 cos 5 FOC 因为 OA 60 OC 170 所以 680 tan 3 OFOCFOC 850 cos3 OC CF FOC 从而 500 3 AFOFOA 因为OAOC 所以 4 cossin 5 AFBFCO 又因为ABBC 所以 400 cos 3 BFAFAFB 从而150BCCFBF 因此新桥 BC 的长为 150 m 2 设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D 连接 MD 则MDBC 且 MD 是圆 M 的半径 并设MDr m OMd m 060 d 因为OAOC 所以sincosCFOFCO 故由 1 知 3 sin 680 5 3 MDMDr CFO MFOFOM d 所以 6803 5 d r 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m 所以 80 60 80 rd rd 即 6803 80 5 6803 60 80 5 d d d d 解得1035d 故当10d 时 6803 5 d r 最大 即圆面积最大 所以当 OM 10 m 时 圆形保护区的面积最大 1 的解法三 连结AC 由题意知 6 tan 17 ACO 则由两角差的正切公式可得 2 tantan 3 ACBBCOACO 故cos150BCACB AC m 所以新桥BC的长度为150m 江苏苏州 何睦 2 的解法三 设BC与圆切于点N 连接MN 过点A作 AHBC交MN于点H 设OMa 则60AMa 由古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m 170 60 x y O A B M C 第 18 题 F D 2014 高考数学 江苏卷 解析版 11 那么 80 60 80 ra ra 解得1035a 由 4 tantan 3 AMHOCN 可得 3 60 5 MHa 由 1 的解法二可得100AB 所以 33 100 60 136 55 MNxx 故MN即圆的半径的最大值为 130 当且仅当10a 时取得半径的最大值 综上可知 当10OM m 时 圆形保护区的面积最大 江苏兴化 顾卫 考点 直线方程 C 直线与圆 圆与圆的位置关系 B 解三角形 B 建立数学模型及运用数 学知识解决实际问题的能力 19 本小题满分 16 分 已知函数 xx xf ee 其中 e 是自然对数的底数 1 证明 xf是 R 上的偶函数 2 若关于x的不等式 xmf 1e m x 在 0 上恒成立 求实数m的取值范围 3 已知正数a满足 存在 1 0 x 使得 3 0 3 00 xxaxf 成立 试比较 1 e a 与 1e a的大小 并证明你的结论 解析 本小题主要考查初等函数的基本性质 导数的应用等基本知识 考查综合运用数学思想方 法分析与解决问题的能力 满分 16 分 1 因为对任意x R 都有 eeee xxxx fxf x 所以 f x是 R 上的偶函数 2 解法一 官方解答 由条件知 ee1e10 xxx m 在上恒成立 令e 0 x tx 则1t 所以 2 11 1 1 11 1 t m tt t t 对于任意1t 成立 因为 11 112113 11 tt tt 所以 11 1 3 11 1 t t 当且仅当2t 即ln2x 时等号成立 因此实数 m 的取值范围是 1 3 解法二 考虑不等式两边同乘 x e 则不等式转化为 2 e 1 1 1 e xx mm 在 0 上恒成立 令e 1 x t t 则问题可简化为 2 1 10mtm tm 在 1 t 上恒成立 构造函数 2 1 1g tmtm tm 由图象易得当0m 时不符合题意 当0m 时 1 1 2 1 0 m m g 或 1 1 2 1 0 2 m m m g m 解得 1 3 m 综上可知 实数m的取值范围为 1 3 江苏苏州 陈海锋 3 令函数 3 1 e3 e x x g xaxx 则 2 1 e31 e x x gxa x 2014 高考数学 江苏卷 解析版 12 当1x 时 1 e0 e x x 2 10 x 又0a 故 0gx 所以 g x是 1 上的单调增函数 因此 g x在 1 上的最小值是 1 1ee2ga 由于存在 0 1 x 使 00 3 00 ee 3 0 xx axx 成立 当且仅当最小值 10g 故 1 ee20a 即 1 ee 2 a 令函数 e1 ln1h xxx 则 e1 1h x x 令 0hx 得e 1x 当 0 e1x 时 0hx 故 h x是 0 e1 上的单调减函数 当 e1 x 时 0hx 故 h x是 e1 上的单调增函数 所以 h x在 0 上的最小值时 e1h 注意到 1e0hh 所以当 1 e10 e1x 时 e110hh xh 当 e1 ee1 x 时 e0h xh 所以 0h x 对任意的 1 ex 成立 当 1 ee e1 e 2 a 时 0h a 即 1e1 lnaa 从而 1e 1 eaa 当ea 时 1e 1 eaa 当 e e1 a 时 e0h ah 即 1e1 lnaa 故 1e 1 eaa 综上所述 当 1 ee e 2 a 时 1e 1 eaa 当ea 时 1e 1 eaa 当 e a 时 1e 1 eaa 3 的民间思路 的民间思路 难题分解难题分解 1 如何根据条件求出参数 如何根据条件求出参数a的取值范围 的取值范围 分解路径分解路径 1 直接求函数的最值 直接求函数的最值 解 解 令 3 0000 3 g xf xaxx 只要在 0 1 x 上 0min 0g x 即可 0 0 2 2 00 1 3 1 x x e g xa x e 当 0 1x 时 0 0g x 当 0 1x 时 2 0 10 x 0 2 10 x e 则 0 0g x 故在区间 1 上 0 0g x 即函数 0 g x为 1 的增函数 则 1 min0 1 20gxgeea 解得 1 2 ee a 江苏苏州 何睦 分解路径分解路径 2 参数分离可以吗 参数分离可以吗 解 欲使条件满足 则 0 1 3x 此时 3 00 30 xx 则 0 3 00 3 f x a xx 构造函数 0 0 3 00 3 f x g x xx 即求此函数在 0 1 3x 上的最小值 000 32 000 0 32 00 3 33 3 o xxxx eexxeex g x xx 因为 0 1 3x 0000 32 000 0 30 0 330 xxxx eexxeex 则 0000 32 000 3 33 0 xxxx eexxeex 2014 高考数学 江苏卷 解析版 13 则 0 0g x 在 0 1 3x 上恒成立 故 1 0 min 1 2 ee g xg 故 1 2 ee a 江苏苏州 何睦 难题分解难题分解 2 如何根据求得的参数 如何根据求得的参数a的取值范围比较的取值范围比较 1 ea 与与 e 1 a 的大小 的大小 分解路径分解路径 1 取对数 取对数 1 a e与 1 e a均为正数 同取自然底数的对数 即比较 1 lnae 与 1 lnea 的大小 即比较 ln 1 e e 与 ln 1 a a 的大小 构造函数 ln 1 1 x h xx x 则 2 1 1ln 1 x x h x x 再设 1 1lnm xx x 2 1 x m x x 从而 m x在 1 上单调递减 此时 1 0m xm 故 0h x 在 1 上恒成立 则 ln 1 x h x x 在 1 上单调递减 当 1 2 ee ae 时 11ea ae 当ae 时 11ae ea 当ae 时 11ea ae 江苏苏州 何睦 分解路径分解路径 2 变同底 构造函数比大小 变同底 构造函数比大小 要比较 1 ea 与 e 1 a 的大小 由于 e 1 1 lnea ae 那么 1 1 ln 1 1 e eaa a a e e 故只要比较1a 与 1 lnea 的大小 令 1 ln 1 h xexx 那么 1 1 e h x x 当1xe 时 0h x 当01xe 时 0h x 所以在区间 0 1 e 上 h x为增函数 在区间 1 e 上 h x为减函数 又 0h e 1 0h 则 1 0h e 1 0 2 ee h 那么当 1 2 ee ae 时 0h a 1 h a e 11ea ae ae 当ae 时 0h a 01 h a e 11ea ae 综上所述 当 1 2 ee ae 时 11ea ae 当ae 时 11ae ea 当时 11ea ae 江苏苏州 王耀 考点 函数的基本性质 B 利用导数研究函数的单调性与极值 B 综合运用数学思想方法分析 与解决问题的能力 2014 高考数学 江苏卷 解析版 14 20 本小题满分 16 分 设数列 n a的前n项和为 n S 若对任意正整数n 总存在正整数m 使得 mn aS 则称 n a是 H 数列 1 若数列 n a的前 n 项和 n n S2 nN 证明 n a是 H 数列 2 设 n a 是等差数列 其首项1 1 a 公差0 d 若 n a 是 H 数列 求d的值 3 证明 对任意的等差数列 n a 总存在两个 H 数列 n b和 n c 使得 nnn cba nN 成立 解析 本小题主要考查数列的概念 等差数列等基础知识 考查探究能力及推理论证能力 满分 16 分 1 证明 由已知 当1n 时 1 11 222 nnn nnn aSS 于是对任意的正整数 n 总存在 正整数1mn 使得2n nm Sa 所以 n a是 H 数列 2 解法一 官方解答 由已知 得 21 22Sadd 因为 n a是 H 数列 所以存在正整 数 m 使得 2m Sa 即 211dmd 于是 21md 因为0d 所以20m 故1m 从而1d 当1d 时 2 n an 3 2 n nn S 是小于 2 的整数 n 于是对任意的正整数 n 总存在正整数 3 22 2 n nn mS 使得2 nm Sma 所以 n a是 H 数列 因此d的值为1 解法二 由 n a是首项为 1 的等差数列 则1 1 m amd 2 2 n nn Snd 又数列是 H 数列 不妨取2n 时 存在满足条件的正整数m 使得1 1 2mdd 即 2 1md i 当3m 时 此时0d 不符合题意 应舍去 ii 当2m 时 不存在满足条件的d iii 当1m 时 1d 此时数列 n a的通项公式为2 n an 下面我们一起来验证 n a为 H 数列 2 n an 2 3 2 n nn S 此时 2 43 2 nn m 容易验证m为正整数 江苏苏州 何睦 解法三 由题意设1 1 m amd 又等差数列 n a的前 n 项和 2 2 n nn Snd 由题意知对任意正整数n 总存在正整数m 使得 nm Sa 2 1 1 2 nn mdnd 那么m随着n的变化而变化 可设满足函数关系式 mf n 又0d 那么要使 对任意自然数n恒成立 则 2 1 2 mf nnBnC 代入得 2 2 1 1 1 222 dn n dBnddCdnd 即有 1 2 10 d Bd dCd 2014 高考数学 江苏卷 解析版 15 又当1n 时 1mn 即 1 1 2 BC 由此可以解得 3 2 2 BC 1d 此时2 n an 江苏苏州 王耀 解法四 nm nN Sa 所以 1 2 nm San 由题意得 1nn SS 所以 mm aa 即m m 对于任意的n 存在 m m 使得 nmm aaa 即1 1 1 1 1 1 ndmdmd 化简可得 1 1nmm d 当1d 时 此时 1 d 不是整数 此时 式不满足 当10d 时 此时 1 1 d 而0m m 所以 1 13nmm d 恒成立 不对nN 恒成立 所以1d 江苏兴化 顾卫 解法五 由 n a是首项为 1 的等差数列 且数列 n a是 H 数列 则 222 1Saa 又0d 所以 221 11Saa 则 2 0a 从而 21 1daa 此时2 n an 2 13 22 n Snn 由 nm Sa 得 2 34 2 nn m 为正整数 从而数列 n a是 H 数列 江苏常州 封中华 3 解法一 官方解答 设等差数列 n a的公差为d 则 111 11 n aandnandan 令 11 1 nn bna cnda 则 nnn abc n 下证 n b是 H 数列 设 n b的前 n 项和为 n T 则 1 1 2 n n n Ta n 于是对任意的正整数 n 总存在正整数 1 2 n n m 使得 nm Tb 所以 n b是 H 数列 同理可证 n c也是 H 数列 所以 对任意的等差数列 n a 总存在两个 H 数列 n b和 n c 使得 nnn abc n 成立 解法二 由 2 的解答过程可知 等差数列 n b中若 1 1 1 b d 时 n b是 H数列 则 1111 1 2 n bbndbbn 同理等差数列 n c中若 1 2 1 c d 时 n c是 H数列 121 1 n ccndc n 任意的等差数列 n a 则可表示为 n aAnB 令 11 bcA 1 2bB 此时 1 2 B b 1 2 B cA 所以对任意的等差数列 n a 总存在两个等差 H数列 n b和 n c 使得 nnn abc nN 成立 考点 数列的概念 A 等差数列 C 探究能力及推理论证能力 2014 高考数学 江苏卷 解析版 16 数 学数 学 附 加 题 附 加 题 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若 多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 AB 是圆 O 的直径 C D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点 证明 OCB D 解析 本小题主要考查圆的基本性质 考查推理论证能力 本小题满分 10 分 证明 因为 B C是圆O上的两点 所以OBOC 故OCBB 又因为 C D是圆O上位于AB异侧的两点 故 BD 为同弧所对的两个圆心角 所以BD 因此OCBD B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 A 12 1x B 11 21 向量 2 y x y 为实数 若 A B 求 x y 的值 解析 本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识 考查运算求解能力 本小题满分 10 分 解 由已知 得 12222 12 y xyxy A 1122 214 y yy B 因为 A B 所以 222 24 yy xyy 故 222 24 yy xyy 解得 1 2 4 x y 所以 7 2 xy C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知直线l的参数方程 2 1 2 2 2 2 xt t yt 为参数 直线l与抛物线 2 4yx 相交于 A B 两点 求线段 AB 的长 解析 本小题主要考查直线的参数方程 抛物线的标准方程等基础知识 考查运算求解能力 本小题满分 10 分 解法一 官方解答 将直线l的参数方程 2 1 2 2 2 2 xt yt 代入抛物线方程 2 4yx 得 2 22 2 4 1 22 tt 解得 12 0 8 2tt 第 21 A 题 2014 高考数学 江苏卷 解析版 17 所以 12 8 2ABtt 解法二 将直线l的参数方程化为直角坐标方程为3xy 联立方程组 2 3 4 xy yx 解得 1 2 x y 或 9 7 x y 即交点 A B分别为 1 2和 9 6 所以 22 1 9 26 8 2 AB 江苏镇江 陈桂明 解法三 将直线l的参数方程化为直角坐标方程为3xy 联立方程组 2 3 4 xy yx 消去y有 2 1090 xx 则 1212 10 9xxx x 所以 22 1212 1 41 1 100368 2 ABkxxx x 江苏镇江 陈桂明 D 选修 4 4 不等式证明选讲 本小题满分 10 分 已知 x 0 y 0 证明 22 1 1 9xyxyxy 解析 本小题主要考查算术 几何平均不等式 考查推理论证能力 本小题满分 10 分 证法一 官方解答 因为0 0 xy 所以 22 3 130 xyxy 故 2222 33 1 1 339xyxyxyx yxy 证法二 柯西不等式 22222 1 1 1 1 xyxyxyyxyxxy 2 2 9xyxyxy 江苏苏州 蔡玉书 证法三 因为0 0 xy 所以 2 12xyxy 2 12yxyx 故 222 1 1 2 2 2 99xyxyxyyxxyxyxy 江苏苏州 褚小光 证法四 因为0 0 xy 所以 2 12xyxy 2 12yxyx 故 222 1 1 2 2 2 9xyxyxyyxxyxyxy 江苏苏州 蔡玉书 褚小光 证法五 因为0 0 xy 所以 2 12xyxy 2 12yxyx 故 2222 1 1 2 2 225459xyxyxyyxxyxyxyxyxy 江苏苏州 何睦 证法六 利用柯西不等式和均值不等式 3333 222 2222 2 1 3 1 1 1 19 3 xyxyxyxyxy 江苏苏州 叶志骅 证法七 利用均值不等式 22 1 1 xyxy xy x2 y2 1 x3 y3 x y x2y2 xy 2xy 3xy 3xy 9xy 江苏苏州