【高中数学课件】高三第一轮复习——导数的应用.ppt

导数的应用 天马行空官方博客 一 知识要点 1 函数的单调性 设函数y f x 在某个区间可导 若f x 0 则f x 为增函数 若f x 0 则f x 为减函数 天马行空官方博客 一 知识要点 1 函数的单调性 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法 确定函数f x 的定义区间 把函数f x 的间断点 包括f x 的无定义的点 的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 确定f x 在各区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小区间内的增减性 一 知识要点 2 可导函数的极值 设函数f x 在点x0附近的所有的点都有f x f x0 则称f x0 为函数的一个极大 小 值 称x0为极大 小 值点 极值的概念 求可导函数f x 极值的步骤 一 知识要点 3 函数的最大与最小值 设y f x 是定义在区间 a b 上的函数 y f x 在 a b 内有导数 求函数y f x 在区间 a b 上的最大最小值 可分两步进行 求y f x 在区间 a b 内的极值 将y f x 在各极值点的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 若函数f x 在区间 a b 上单调递增 减 则f a 为最小 大 值 f b 为最大 小 值 二 例题选讲 上是单调函数 例1 2000年全国高考题 设函数 其中a 0 求a的取值范围 使函数f x 在区间 分析 求 当x 时 看 变化范围 例1 2000年全国高考题 设函数 其中a 0 求a的取值范围 使函数f x 在区间 上是单调函数 二 例题选讲 例2 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 二 例题选讲 二 例题选讲 例4 2000年江西卷 用总长为14 8m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0 5m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 分析 实际应用问题应先建立数学模型 注意自变量的取值范围 若出现三次以上或带有根号的函数或三角函数 可考虑求导来解决 解 设容器底面短边长为xm 则另一边长为 x 0 5 m 高为 14 8 4x 4 x 0 5 4 3 2 2x m 则3 2 2x 0 x 0 得0 x 1 6 例4 2000年江西卷 用总长为14 8m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0 5m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 设容器体积为ym3 则y x x 0 5 3 2 2x 2x3 2 2x2 1 6x 0 x 1 6 y 6x2 4 4x 1 6 令y 0得x 1或x 4 15 舍去 当00 当1 x 1 6时 y 0 二 例题选讲 例5 2003年江苏卷 已知a 0 n为正整数 设 设 对任意n a 证明 例5 2003年江苏卷 已知a 0 n为正整数 设 对任意n a 证明 三 小结 1 证函数f x 在 a b 内单调 可以用函数的单调性定义 也可以用导数来进行判别 前者较繁 后者较易 要注意若f x 在 a b 内个别点上满足 2 函数的极值是在局部对函数值的比较 函数在区间上的极大 小 值可有若干个 而且有时极小值可以大于它的极大值 三 小结 3 函数的最大值 最小值表示函