12-13(1)高数A(一)A卷参考答案.pdf

安徽大学安徽大学 2012 2013 学年第一学期学年第一学期 高等数学 高等数学 A 一 一 B 一 考试试卷 一 考试试卷 A 卷 卷 考试试题参考答案及评分标准考试试题参考答案及评分标准 一 填空题 每小题 2 分 共 10 分 一 填空题 每小题 2 分 共 10 分 1 1 2 偶函数 3 xy2 4 2 5 1 2 e 二 选择题 每小题二 选择题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 6 A 7 D 8 C 9 B 10 C 三 计算题 每小题 8 分 共 56 分 三 计算题 每小题 8 分 共 56 分 11 1 证明 因为 由递推公式可知 0 0 a0 n a 而1 11 3 11 2 3 1 3 222 1 n nn n nn n nn a aa a aa a aa 所以有下界为 1 n a 又 nn nn n aa aa a 1 3 1 1 12 3 11 2 3 1 所以单调递减 n a 由单调有界必有极限可知存在 5分 n n a lim 2 解 令 对Aan n lim 2 1 1 2 3 1 n nn a aa两边取 n的极限 即得 1A0 1 2 3 1 2 A AA 所以 8 分 1lim n n a 12 解 xx x xxx x xx x xx x1 122 lim 1 22 lim22lim 1 13 1 1 1 13 0 1 13 型 第 1 页 共 5 页 2ln22ln 1 32 2lim 1 2ln 1 13 2 lim 1 1 1 1 ln 1 x x x xx x x x x atat 8分 13 解 两边对exye y y求导 0 yxyye y 得 xe y y y 3分 再对两边求0 yxyye y y导数 02 2 yxyyeye yy 得 xe yye y y y 2 2 将 xe y y y 带入上式 即 3 2 2 2 xe xyeyy y y y 8分 14 解 当时 01 x 1 1 11 xdtdttfxF xx 当时 10 x11 1 0 0 10 0 11 xdtdtdttfdttfdttfxF xxx 所以 4分 10 1 01 1 xx xx xF 则 10 1 01 1 x x xF 因为 所以在1 0 1 0 ff xF0 x处不可导 8分 15 解 方法一 令 x x u 1 arcsin 则 x x u 1 sin 2 即 3分 ux 2 tan 则 3 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 tan tan tan 1 arcsin uduuuuuddx x x 第 2 页 共 5 页 3 3 4 tan cos cos1 3 0 3 0 3 0 2 2 uudu u u 8分 方法二 dt t t tdx x x t x x 2 3 0 22 1 3 0 1 2 arcsin 1 arcsin 3分 dt t dt tt t t d t 2 3 0 2 2 3 0 2 2 3 0 22 2 3 02 3 2 3 1 1 3 4 1 1 1 1 arcsin 1 1 arcsin 又3 tansec cos1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 2 sin 2 3 0 2 2 3 2 3 ududt u dt t ut 7分 所以3 3 4 1 arcsin 3 0 dx x x 8分 16 解 注意到 cos sin sin1 sinsinsin 32353 xxxxxx 4分 故 2 2 3 2 0 2 3 cossincossinxdxxxdxxI 5 4 sin 5 2 sin 5 2 2 2 5 2 0 2 5 xx 8分 17 解 原方程对应的齐次方程为0 yy的特征方程为 01 2 特征根为i 2 1 故齐次方程的通解为 xCxCysincos 21 4分 设非齐次方程xxyycos 的特解形式为 sincos xDxCxBAxy 带入非齐次方程解得 2 1 0 0 1 DCBA 则非齐次方程的特解为 xxxysin 2 1 7分 所以非齐次方程通解为 xxxxCxCysin 2 1 sincos 21 8分 四 综合题 每小题 14 分 共 14 分 四 综合题 每小题 14 分 共 14 分 第 3 页 共 5 页 18 1 作出图形如下图 32 5 4 2 5 2 22 adxxV a x 4 2 22 2 2 2ady y aaV a a y 8分 2 45 32 5 4 aaVVaV yx 20 10 1 4 3 aaaaaV 因为在定义范围内驻点只有一个 则该驻点即为最值点 所以为最大值点 且最大值为 1 a 5 129 14分 没求出最大值扣1分 五 证明题 每小题 5 分 共 10 分 五 证明题 每小题 5 分 共 10 分 19 证明 构造辅助函数xxfxF 1分 则在上连续 且 xF 1 0 1 1 2 1 2 1 0 0 FFF 01 1 0 2 1 2 1 1 2 1 FFxF上连续在 由零点定理可知 存在点 1 2 1 使得0 F 3分 0 0 0 FFxFxF 且内可导在上连续在 由罗尔定理可知 存在点 1 0 0 使得0 F 即1 f 5分 20 证明 令 1分 1 1 1 xdttfxF x xfxFxfxF 在上连续 且 1 1 0 1 F dxxfffdxxfxxfdxxf xf 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第 4 页 共 5 页 则 即dxxff 1 1 1 1 1 FF 对在点处应用泰勒公式 得