2020届天津市高三上学期期末六校联考数学试题（解析版）

2020届天津市高三上学期期末六校联考数学试题一、单选题1设集合.则ABCD【答案】A【解析】解二个不等式，化简集合，先求出,最后求出.【详解】因为，所以，因此，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，正确解不等式是解题的关键.2“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据以及充分不必要条件的定义可得.【详解】因为，所以,所以”是“”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.3过点作圆的切线，则的方程为（ ）AB或CD或【答案】C【解析】将圆的方程配成标准式，可判断点在圆上，根据过圆上一点的切线方程为整理可得.【详解】解：即在圆上则过点的切线方程为整理得故选：【点睛】本题考查求过圆上一点的切线方程，属于基础题.4已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）A1BCD【答案】D【解析】根据等比数列和等差数列的性质求得和，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于，利用诱导公式可求得结果.【详解】是等比数列 是等差数列 本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题.5设正实数，分别满足，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【解析】由，可得或将，变形为：，分别作出函数：，的图象即可得出大小关系【详解】解：，解得或，分别作出函数：，的图象由图可知故选：【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）A的最小值为B的图像关于点对称C在区间上单调递增D将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到【答案】C【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过三角函数的最值判断的正误；三角函数的对称性判断的正误；三角函数图象变换判断的正误，推出结果即可【详解】解：由已知得：，最小值是，故选项错误；，解得，对称中心为，所以选项错误；将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，故选项错误；利用排除法，正确答案故选：【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的化简以及最值的判断单调性以及对称性的判断，是中档题7抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且相交于，两点，直线交抛物线于另一点，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可得，直线的斜率，设，表示出直线，联立直线方程与抛物线方程，消去，列出韦达定理，由得，即可得到的关系，求出离心率.【详解】解：由题意可得，直线的斜率，设，联立得消去整理得，故选：【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，双曲线的简单几何性质，属于中档题.8设函数在上可导，有且；对，有恒成立，则的解集为（ ）ABCD【答案】C【解析】构造函数，由，可得函数为奇函数利用导数可得函数在和上是增函数，结合函数的单调性解不等式即可【详解】解：解：令，函数为奇函数时，故函数在上是增函数，故函数在上也是增函数，可得在和上是增函数，要解即，即， ，或时故时故选：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，构造函数利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键属于中档题9在四边形中，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，因为点在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为 因为点在边所在直线上，故设当时故选：【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.二、填空题10设，则_.【答案】1.【解析】分析：首先求得复数z，然后求解其模即可.详解：由复数的运算法则有：，则：.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，再由直线方程点斜式得答案【详解】解：由，得，曲线在点处的切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，属于基础题12在的二项展开式中，的项的系数是_.（用数字作答）【答案】70【解析】根据二项式定理,的通项为，当时,即r=4时,可得.即项的系数为70.13已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为_.【答案】【解析】根据底面为正六边形，可知底面外接圆的半径为，由勾股定理可求外接球的半径，即可求出体积.【详解】解：在六棱锥中，由于底面正六边形的边长为1，故底面外接圆半径，底面，设外接球的半径为则解得故答案为：【点睛】本题考查锥体的外接球的体积计算，属于基础题.14若，则的最小值为_【答案】【解析】【详解】 当且仅当即时等号成立15已知定义在上的函数满足，且当时，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】依题意可得函数是以为周期的周期函数，由时的函数解析式，画出函数图象，将函数零点转化为函数与的交点问题，数形结合即可得解.【详解】解：定义在上的函数满足，函数的周期为4，且时，画出函数的图象如图函数在上有四个零点，等价于函数与在有四个交点，由图（1）可知当时，即解得图（1）由图（2）可知当时，即解得图（2）综上可得，或，即故答案为：【点睛】本题考查函数的零点求参数的取值范围，函数方程思想，数形结合思想，属于中档题.三、解答题16在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（）（）【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（）解：由（），可得，代入，得.由（）知，A为钝角，所以.于是，故.【考点】正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.17菱形中，平面，（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】（1）建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，证明向量垂直，得到线面平行；（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系求出正弦值；（3）设，则，利用空间向量求表示出线面角的正弦值，求出的值，得解.【详解】解：建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），则，.（1）证明：，设为平面的法向量，则，即，可得，又，可得，又因为直线平面，所以直线平面；（2），设为平面的法向量，则，即，可得，设为平面的法向量，则，即，可得，所以，所以二面角的正弦值为；（3）设，则，则，设为平面的法向量，则，即，可得，由，得，解得或（舍），所以.【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何中的问题，属于中档题.18已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，为其右焦点，且该椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与轴的交点，线段的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意表示出，根据，和离心率为，求出的值，即可求出椭圆方程.（2）设直线的斜率为，直线方程为，设，中点为，联立直线方程与椭圆方程，消去即可用含的式子表示、的坐标，即可表示出中垂线方程，求出的坐标，最后根据求出参数即可得解.【详解】解：（1）依题意知：，则，又，椭圆的标准方程为.（2）由题意，设直线的斜率为，直线方程为所以，设，中点为，由消去得中垂线方程为：令得.，解得.直线的方程为，即【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合问题，属于中档题.19已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，且，成等差数列.数列的前项和为，满足，且，（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和.【答案】（1）,（2）（3）【解析】（1）设等比数列的公比为，依题意得到关于、的方程组解得，由，可知是首项为，公差为的等差数列，求出的通项公式，即可求出的通项公式；（2）利用分组求和，错位相减，裂项相消求其前项和为；（3）分，三种情况讨论可得；【详解】解：（1）设等比数列的公比为，由已知，得，即，也即解得故数列的通项为.，是首项为，公差为的等差数列，（2）其中令则减得，（3）数列前项和，数列的前项和；当，当当时，当时，当综上【点睛】本题考查等差数列、等比数列的性质，等比数列求出公式的应用，裂项相消法求和，错位相减法求和，分组求和，属于中档题.20已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）对，有恒成立，求的最大整数解；（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.【答案】（1）切线方程为；单调递减区间为，单调递增区间为（2）的最大整数解为（3）证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；（2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解；（3）由，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；【详解】解：（1）所以定义域为；所以切线方程为；，令解得令解得所以的单调