2020届临沂市蒙阴县实验中学高三上学期期末考试数学试题（解析版）

2020届山东省临沂市蒙阴县实验中学高三上学期期末考试数学试题一、单选题1已知集合，则ABCD【答案】B【解析】先解一元二次不等式得集合A，再根据补集定义求结果.【详解】因为，所以，选B.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2“”是“复数为纯虚数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【详解】复数za2+（a+2）i（aR）为纯虚数，则a20，a+20“a2”是“复数z（aR）为纯虚数”的充要条件故选C【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种ABCD【答案】A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；故选：A.4若，则下列不等式不正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】由不等式的基本性质及指数函数的单调性，易知D是不正确的.【详解】因为，所以，考查指数函数，所以，所以D不正确.【点睛】本题考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，求解时注意利用分析法判断不等式的正确性.5已知的内角的对边分别为，若，则面积的最大值是ABCD【答案】B【解析】由题意知，由余弦定理，故，有，故.故选：B6在各项不为零的等差数列中，数列是等比数列，且，则的值为（ ）A1B2C4D8【答案】C【解析】根据等差数列的性质可知，代入方程可求出，再根据等比数列的性质 即可代入求解.【详解】因为等差数列中，所以，因为各项不为零，所以，因为数列是等比数列，所以所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列中，当时，等比数列中，当时，属于中档题.7已知在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意知，即对任意的恒成立，求出的最小值即可求出的取值范围.【详解】由题意知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，因为在上单调递增，所以，则，所以.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立求参数的范围，涉及对勾函数的单调性，属于中档题.8已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )AB5C6D7【答案】B【解析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值【详解】由题意可得2a4，即a2，渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线方程为y21，焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|2a+|MF2|4+|MF2|，由圆x2+y24y0可得圆心C（0，2），半径r2，|MN|+|MF1|4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+325故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题二、多选题9下列判断正确的是（ ）A若随机变量服从正态分布，则；B已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；C若随机变量服从二项分布：，则；D已知直线经过点，则的取值范围是【答案】ACD【解析】根据正态分布曲线的对称性可判断A选项；B选项为充分不必要条件；根据二项分布均值公式求解可判断C选项；由题意知，根据基本不等式求出的范围即可判断D选项.【详解】A选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性有，所以，A选项正确；B选项，因为，直线平面，所以直线平面，又直线平面，所以，充分性成立；设，在内取平行于的直线，则且，但是与相交，必要性不成立，B不正确；C选项，因为，所以，C正确；D选项，由题意知，因为，所以，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性，二项分布的期望，线、面之间的位置关系，均值不等式，属于中档题.10关于函数的描述正确的是（ ）A其图象可由的图象向左平移个单位得到B在单调递增C在有2个零点D在的最小值为【答案】ACD【解析】先化简，再看平移方式，求出单调区间，零点，值域对每个选项逐一检验.【详解】由题：，由的图象向左平移个单位，得到，所以选项A正确；令，得其增区间为在单调递增，在单调递减，所以选项B不正确；解，得：，所以取，所以选项C正确；，所以选项D正确.故选：ACD【点睛】此题考查三角函数图象和性质，涉及图象平移，单调性，零点，值域问题，知识点考查全面，对通式通法要求较高.11已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，.若点为的中点，则下列说法正确的为（ ）A平面B面C四棱锥外接球的表面积为D四棱锥的体积为6【答案】BC【解析】作图，在四棱锥中，根据题意逐一证明或排除.【详解】作图在四棱锥中：由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，则平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接交于，连接，中，面，面，所以面，所以选项B正确；四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，则平面，四棱锥的体积所以选项D错误.矩形中，易得，中求得：在中即： ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，所以其体积为，所以选项C正确故选：BC【点睛】此题考查立体图形中的平行垂直关系，求锥体体积和外接球体积，综合性强，对空间位置关系辨析能力要求较高.12某市有，四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览，和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）A游客至多游览一个景点的概率BCD【答案】ABD【解析】利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和来判断A；由题意得随机变量的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望，来判断BCD.【详解】解：记该游客游览个景点为事件，则，所以游客至多游览一个景点的概率为，故A正确；随机变量的可能取值为，故B正确；， ，故C错误；数学期望为：，故D正确，故选：ABD.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是基础题.三、填空题13命题“对”的否定是 _；【答案】【解析】根据全称命题的否定求解.【详解】命题“对”的否定是.【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析求解能力.属基本题.14在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 【答案】7【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得，令，可得常数项为7.15已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的方程为_，则点到圆上动点的距离最大值为_.【答案】 8 【解析】设圆的方程为，根据相切与垂径定理列出方程组，求解即可；设圆外一点P距圆心距离为d，则点P距圆上动点的距离最大值为，最小值为.【详解】设圆的方程为由题意可得，解得，所以圆的方程为；设点到圆心的距离为，则点到圆上动点的距离最大值为.故答案为：；8【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，垂径定理，圆外点到圆上动点的距离的最值，属于基础题.16已知三棱柱的侧棱垂直底面，且所有顶点都在同一个球面上，则球的表面积为_.【答案】【解析】利用正弦定理求出所在圆面的半径，构造直角三角形求出球的半径，代入球的面积公式即可得解.【详解】设的外接圆的圆心为D，半径为r，球的半径为R，球心为O，在中，则，球心与所在面的圆心的连线OD垂直于所在面，易知,在中，球的面积为.故答案为：【点睛】本题考查直三棱柱的外接球问题，难点在于找到球心，构造直角三角形求出球的半径，考查空间想象能力，涉及正弦定理求三角形外接圆的半径，属于中档题.四、解答题17在非直角中，分别是，的对边.已知，求：（1）的值；（2）边上的中线的长.【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据三角形三内角和的关系，切化弦，进行三角恒等变换，即，结合正余弦定理，化简即可求值；（2）设的长为，在和中，利用余弦定理解，即可求解，或者用向量，两边同时平方处理.【详解】解：（1）.（2）由余弦定理，即：，.法一：设的长为.则在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，得，即：.法二：，即：.【点睛】此题考查解三角形问题中正余弦定理的综合应用，涉及边角互化，三角恒等变换，平面向量的应用，综合能力要求较高.18已知数列的前项和为，且，（其中为常数），又.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）； （2）.【解析】（1）先根据待定系数法求得，再根据和项与通项关系求数列的通项公式；（2）先化简，再根据错位相减法求前项和【详解】（1）由得，解得，即，-当时，-得，即， 不满足上式， （2）依题意得 当时，当时， 两式相减得： . 显然当时，符合上式【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，底面ABCD，1求证：平面平面PBC；2设H为CD上一点，满足，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面进而可得结论；（II）以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）由，可得，又 从而，底面， ，平面所以平面平面. （II）由（I）可知为与底面所成角. 所以，所以 又及，可得, 以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，则. 设平面的法向量.则由得取 同理平面的法向量为 所以又二面角为锐角.所以二面角余弦值为.【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据，绘制了散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数.参考数据（其中）：（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，相关系数.【答案】（1）；（2）当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）见解析【解析】（1）令，则可转化为，分别求出的值，即可求解；（2）直接利用相关关系公式求得与的相关系数，可得，得到用反比例函数模型拟合效果更好，取，可得当千件时，每件产品的分原料成本；（3）分别求出产品单价为100元与产品单价为90元企业的利润，即可得到答案【详解】（1）令，则可转化为，因为，所以，则，所以，所以关于的回归方程为；（2）与的相关系数为：，因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，当时，（元），所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）（i）若产品单价为100元，记企业利润为（千元），订单为9千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为611（千元），订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为690（千元），企业利润（千元）的分布列为6116900.80.2所以（千元）；（ii）若产品单价为90元，记企业利润为（千元），订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为590（千元），订单为11千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为659（千元），企业利润（千元）的分布列为5906590.30.7所以（千元），故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题21已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆过点，抛物线的顶点为原点求椭圆和抛物线的方程；设点P为抛物线准线上的任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，其中A，B为切点设直线PA，PB的斜率分别为，求证：为定值；若直线AB交椭圆于C，D两点，分别是，的面积，试问：是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由【答案】（1）为，为（2）证明见解析；有最小值，最小值【解析】由已知列出方程组，解方程组即可求出椭圆和抛物线的方程；设，过点P与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立可得，由及其根与系数的关系即可证明为定值由题得当直线AB的斜率存在时，可证当直线AB的斜率不存在时，可得，由此能求出的最小值【详解】解：设椭圆和抛物线的方程分别为和，中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆过点，抛物线的顶点为原点，解得，椭圆的方程为，抛物线的方程为证明：设，过点P与抛物线相切的直线方程为，由，消去x得，由得，即，设，由得，则，直线BA的方程为，即，直线AB过定点以A为切点的切线方程为，即，同