扬州市广陵区扬州市新华中学2019-2020学年高二10月月考数学试题 Word版含解析

江苏省扬州市新华中学2019-2020学年高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共有12小题，每题5分，共60分）1.已知数列的一个通项公式为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把数列，化简为，利用归纳法，即可得到数列的一个通项公式，得到答案.【详解】由题意，数列，可化为，所以数列的一个通项公式为，故选B.【点睛】本题主要考查了利用归纳法求解数列的通项公式，其中解答中把数列，化简为，合理归纳是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.在等差数列中，则（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】分析】根据等差中项性质求得，进而得到；利用求得结果.【详解】由题意知： 本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.3.设等比数列的公比，前项和为，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的前n项和公式表示出 ,利用等比数列的通项公式表示出，计算即可得出答案。【详解】因为，所以故选C【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题。4.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）A. 8岁B. 11岁C. 20岁D. 35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3记最小的儿子年龄为，则，解得故选B【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解5.已知等差数列的前n项和为，则A. 140B. 70C. 154D. 77【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.【详解】等差数列的前n项和为，.故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.6.数列各项均为正数，且满足，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，则为以1为首项1为公差的等差数列，写出的通项公式，反解出的通项公式，带入1024计算即可得出答案。【详解】因为，所以数列为以1为首项1为公差的等差数列，所以所以故选D【点睛】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题。7.在等比数列中，已知，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据求出等比数列的公比，令则所求式子为等比数列的前n项和。【详解】因为所以 令则故选D【点睛】本题考查等比数列前n项和公式，属于基础题。8.设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】化简等式可得到，解出即可得出答案。【详解】化简得因为为等比数列，为其前项和，所以所以故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题。掌握性质：为等比数列，为其前项和，是解题的关键。9.已知是等差数列( )的前项和，且,以下有四个命题：数列中的最大项为 数列的公差 其中正确的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，数列中的最大项为，正确的序号是故选：B10.已知数列的通项公式为，那么满足的整数（ ）A. 有3个B. 有2个C. 有1个D. 不存在【答案】B【解析】因为，检验，时，不合题意.时，满足题意由对称性知，.所以，均满足题意11.各项为正数的数列的前项和为，且，当且仅当和时成立，那么的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令n=1解出将，配凑成，故数列为以为首项为公比的等比数列，写出数列的通项公式，解出的表达式，根据当且仅当和时成立，即即可解出的取值范围。【详解】当n=1时因为所以，又所以当n=1时当n=2时当n=3时，因，所以单调递增所以故选A【点睛】本题考查根据一阶线性递推公式求通项公式，数列的单调性，属于中档题。12.等比数列中，使不等式成立的最大自然数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的前n项和公式分别写出等比数列的前n项和为与等比数列的前n项和为，不等式等价于代入解不等式，即可得出答案。【详解】由题意知等比数列的前n项和为等比数列的前n项和为不等式等价于即将代入化简得又因所以，故使不等式成立的最大自然数是5选B【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，解不等式。属于中档题。二、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）13.三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为_.【答案】2,4,8【解析】【分析】设出这三个数根据题意联立方程组，解方程组即可得出答案。【详解】设这三个数为 则或所以三个数按从小到大为2,4,8【点睛】本题考查等比数列，属于基础题。14.已知数列的首项，则_.【答案】【解析】【分析】两边取倒数即可得出数列为以1为首项1为公差的等差数列，求出数列的通项公式，化简即得出数列的通项公式，代入2019即可得出答案。【详解】因为所以，所以数列为以1为首项1为公差的等差数列即所以，故填【点睛】本题考查根据递推公式求数列通项，属于基础题。15.已知数列的前项和为，其首项，且满足，则_.【答案】【解析】【分析】利用公式，化简即可得出 与的递推关系，再利用类乘法计算出数列的通项公式。【详解】当n=1时恒成立当时 所以 当n=1时满足所以故填【点睛】本题考查已知数列与的关系，求通项公式，掌握理解公式是解本题的关键，属于基础题。16.在数列中，若，则的前项和取得最大值时的值为_【答案】【解析】【分析】解法一：利用数列的递推公式，化简得，得到数列为等差数列，求得数列的通项公式，得到，得出所以，进而得到结论；解法二：化简得，令，求得，进而求得，再由，解得或，即可得到结论【详解】解法一：因为所以，得即，所以数列为等差数列在中，取，得即，又，则，所以因此，所以，所以， 又，所以时，取得最大值解法二：由，得，令，则，则，即，代入得，取，得，解得，又，则，故所以，于是由，得，解得或，又因为，所以时，取得最大值【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.三、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.设是等差数列，且成等比数列.（1）求通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可得出，再写出数列的通项公式即可。（2）解出得到，即等差数列的前5项为负，第6项为0，其前n项和的最小值为前5项或者前6项的和。【详解】（1）由题意知解得，所以（2）解得，所以【点睛】本题考查等差数列，等差数列前n项和的最值，属于基础题。18.已知非零数列满足，且的等差中项为6.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由知数列为以3为公比的等比数列，再利用等差中项求出首项，即可。（2）将代入，计算出，再求和即可得出答案。【详解】（1）非零数列满足，数列为以3为公比的等比数列；当n=1时因为 的等差中项为6，所以联立得， 所以（2）将代入得到所以所以【点睛】本题考查等比数列的通项，裂项相消求前n项和。属于基础题。19.已知递增等比数列，另一数列其前项和.（1）求、通项公式；（2）设其前项和为，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由等比数列的性质得出，可求出和的值，求出等差数列的首项和公式，可得出数列的通项公式，然后利用求出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可知，由等比数列的性质可得，所以，解得，得，.当时，；当且时，.也适合上式，所以，；（2），则，上式下式，得 ，因此，.【点睛】本题考查等比数列通项的求解，考查利用前项和求通项以及错位相减法求和，解题时要注意错位相加法所适用的数列通项的结构类型，熟悉错位相减法求和的基本步骤，难点就是计算量大，属于常考题型。20.某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少20%.估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%.（）设第年（2010年为第一年）的投入资金为万元，投资回报收入为万元，求和的表达式；（）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入?【答案】（），（）2014【解析】【分析】（）根据题意分别写出首项与公比，即可写出和的表达式。（）分别计算出前年的投入与回报的和再解不等式，即可得出答案。【详解】（）由题意知， 所以，所以（）前年共投入 前年投资回报总收入解得 即，即从2014年开始该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入。【点睛】本题考查等比数列的应用，属于基础题。21.设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围 【答案】（）；（）.【解析】【详解】试题分析：（）依题意，即，由此得，因此，当时，为等比数列，首项是，公比，所求通项公式为，；当时，也适合上式，故数列的通项公式为；（）由通项可知，当时，所以（），当n=1时再验证一下试题解析：（）依题意，即，由此得，因此，当时，为等比数列，首项是，公比，所求通项公式为，当时，也适合故数列的通项公式为，（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是考点：数列性质及其恒成立问题22.设数列的前项和为，若对任意，都有，则称数列具有性质P.（1）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列是否具有性质P；（2）若正项等差数列具有性质P，求数列的公差；（3）已知正项数列具有性质P，且对任意，有，求数列的通项公式.【答案】（1）数列不具有性质P（2）0（3）【解析】【分析】（1）根据题意写出，带