2020届武威第一中学高三上学期12月月考数学（文）试题（解析版）

2020届甘肃省武威第一中学高三上学期12月月考数学（文）试题一、单选题1设集合,则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】C【解析】集合,所以.故选C.2已知复数满足，则（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：，z=，故选C.【考点】复数运算3设，则是的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，故是的充分不必要条件.【考点】对数不等式；指数不等式；充要条件.4九章算术“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）A升B升C升D1升【答案】A【解析】试题分析：依题意，解得，故.【考点】等差数列的基本概念.5某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】【详解】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面，三棱锥的高是：,它的体积：,故选A6已知,cos =,则tan等于()A7BC-D-7【答案】B【解析】先根据同角三角函数关系求tan ，再根据两角差正切公式求结果.【详解】由已知得tan =,则tan.选B【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.7已知P，Q是以坐标原点O为圆心的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且点P的纵坐标为，点Q的横坐标为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据单位圆上点的坐标与三角函数关系，可得，由同角三角函数关系式可得；由题意可得，由同角三角函数关系可得，而，根据余弦的和角公式即可求解。【详解】由题意可得，再根据，可得，故选D.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，三角函数的定义，余弦和角公式的用法，属于基础题。8圆关于直线对称，则ab取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到与的关系式，由表示出，设，将表示出的代入中，得到关于的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出的最大值，即为的最大值，即可写出的取值范围【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：，圆心坐标为，半径，根据题意可知：圆心在已知直线上，把圆心坐标代入直线方程得：，即，则设，当时，有最大值，最大值为，即的最大值为，则的取值范围是故选：【点睛】本题以直线与圆为载体，考查对称性，考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键，属于中档题9已知数列满足（），则（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意得，两式相除得 ，选A.10若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）A-3 B1 C D3【答案】B【解析】如图，由于不等式组,表示的平面区域为，且其面积等于，再注意到直线与直线互相垂直，所以是直角三角形，易知，,;从而=，化简得：，解得,或，检验知当时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以;故选B.【考点】线性规划与三角形的面积.11已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因为定义域为的偶函数，所以，对任意正实数满足，所以，因为，所以，所以函数在上单调递增，所以在上单调递减，由不等式，所以或，解得或，故选C.【考点】函数的奇偶性与单调性的应用；利用导数研究函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性与函数的单调性的应用，本题的解答中根据函数的奇偶性和利用导数判定函数的单调性，得出函数在上单调递增，所以在上单调递减，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题.12已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为A3B4C5D6【答案】B【解析】由,则=可化简为,构造函数,令,即在单调递增,设,因为,所以,且,故在上单调递减, 上单调递增,所以,又,即k的最小值为4,故选B.点睛:本题考查函数的恒成立和有解问题,属于较难题目.首先根据自变量x 的范围,分离参数和变量,转化为新函数g(x)的最值,通过构造函数求导判断单调性,可知在上单调递减, 上单调递增,所以,且,通过对最小值化简得出的范围,进而得出k的范围.二、填空题13已知向量，若，则代数式_.【答案】3【解析】利用向量共线定理可得，解得再利用弦化切可得代数式即可【详解】解：，解得代数式故答案为：【点睛】本题考查了向量共线定理和三角函数的基本关系式，属于基础题14已知函数，则满足的a的取值范围是_（用区间的形式表示）.【答案】【解析】分别讨论：当时与当时两种情况，再结合对数函数与指数函数的性质求出的范围即可【详解】解：当时，则有，解得：；当时，则有，解得：，所以的取值范围是：故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数，以及考查利用对数函数与指数函数的单调性、特殊点解决不等式问题，考查形式计算能力15已知为球的半径，垂直于的平面截球面得到圆（为截面与的交点）.若圆的面积为，则球的表面积为_.【答案】【解析】试题分析：由已知可得圆的半径为，取圆上一点，则，在中，球半径，所以所求球的表面积为.【考点】球的表面积【思路点睛】本题主要考查球的表面积，属基础题.本题关键在于获得球体的半径，由截面圆的面积可得截面圆的半径为，结合垂直于截面圆，可得在垂线上，取圆上任一点，则为直角三角形，故球体半径，由球体表面积公式可得.16在正三棱柱ABCA1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小为_.【答案】900【解析】不妨设BB1=1，则AB=， 直线AB1与C1B所成角为90故答案为：900.点睛：这个题目考查的是立体中异面直线的夹角的求法，常用方法是建系法，直接找两个直线的方向向量，求方向向量的夹角即可；或者将异面直线平移到同一个平面中，转化为平面直线的夹角问题。三、解答题17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2bc)cos Aacos C(1)求角A的大小；(2)若a3，b2c，求ABC的面积【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据已知，利用正弦定理，求出，求出角A的大小；（2）由余弦定理的推论，求出边长c，由b=2c 求出边长b，由三角形面积公式求出面积。试题解析：(1)根据正弦定理，由(2bc)cos Aacos C，得2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos A，即2sin Bcos Asin(AC)，所以2sin Bcos Asin B，因为0B，所以sin B0，所以cos A，因为0A，所以A.(2)因为a3，b2c，由(1)得A，所以cos A，解得c，所以b2.所以SABCbcsin A2.18已知数列的前n项和为,且,数列满足，.(1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 .【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1），当时，.当时，.时，满足上式，.又，解得：.故，.（2），由-得：，.【考点】1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和19如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，分别为的中点，点在线段上.（1）求证：平面；（2）当时，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析 (2)24【解析】（1）证明得到证明底面，可得然后证明平面（2）证明底面，然后求解四棱锥的体积【详解】（1）证明：在平行四边形中，因为，所以由，分别为，的中点，得，所以因为侧面底面，且，所以底面又因为底面，所以 又因为，平面，平面，所以平面 （2）解：在中，过作交于点，由，得，又因为，所以，因为底面，所以底面，所以四棱锥的体积【点睛】本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20已知函数，且.（1）求的解析式；（2）若对于任意，都有，求m的最小值；【答案】(1) (2) -1.【解析】（1）求出函数的导数，根据，求出的值，从而求出函数的解析式即可；（2）问题转化为对于任意，都有设，根据函数的单调性求出的最大值，从而求出的最小值即可【详解】解：（1）解：对求导，得，所以，解得，所以.（2）解：由，得，所以对于任意，都有.设，则.令，解得.当变化时，与的变化情况如下表：x1+0极大值所以当时，.因为对于任意，都有成立，所以.所以的最小值为-1.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题21已知函数，（1）求当在处的切线的斜率最小时，的解析式；（2）在（1）的条件下，是否总存在实数m，使得对任意的，总存在，使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)存在，.【解析】（1）先求函数的导数，在处的导数就是切线斜率，再求其取值范围；直接求当在处的切线的斜率最小时，求的解析式；（2）在（1）的条件下，先求函数的导数，再确定单调性，是否总存在实数，使得对任意的，总存在，使得成立，就是的值域包含，求出的最大值和最小值，再求实数的取值范围；【详解】（1）所以在处的切线斜率的取值范围为知，则（2），则有-1200增减增4所以当时，假设对任意的都存在使得成立，设的最大值为，最小值为，则又，所以当时，且，所以.【点睛】本题考查直线的斜率，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，考查分析问题解决问题的能力，是中档题22在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程;（2）曲线的方程为（t为参数），若曲线与曲线交于A、B两点，且，求直线AB的斜率.【答案】(1) . (2) 斜率为.【解析】（1）利用二倍角公式将式子化简，再根据，换元即可；（2