数学人教版八年级上册最短路径问题.docx

13.4 课题学习 最短路径问题教学设计城关初中 周康琼教学目标：知识与技能：通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短。过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想好方法。情感态度与价值观：在数学学习活动中活动成功的体验，树立自信心，激发学习的兴趣，感受到数学与现实生活的密切联系。教学重点：运用所学知识解决最短路径问题。教学难点：选择合理的方法解决问题。教学过程：最短路径问题（1）出示如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？ 两点之间，线段最短 (2)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求例1：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？:解：如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短，这时点C是直线l与AB的交点 归纳：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求例2：如图，如果A，B在燃气管道L的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 分析：点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B，则点C是直线l与AB的交点 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C，连接AC，BC，BC，证明ACCBACCB.如下：证明：由作图可知，点B和B关于直线l对称，所以直线l是线段BB的垂直平分线因为点C与C在直线l上，所以BCBC，BCBC.在ABC中，ABACBC，所以ACBCACBC，所以ACBCACCB. 归纳：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求练习： 1 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小 分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B；(2)连接AB交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问3生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AOBOAC的长所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法(实际应用题)某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b