2010年全国高中数学联赛一试试题及答案.pdf

1 2010 年全国高中数学联合竞赛一试年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准 试题参考答案及评分标准 A 卷 卷 说明 说明 1 评阅试卷时 请依据本评分标准评阅试卷时 请依据本评分标准 填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档 其他各题的评阅 请严格按照本 评分标准的评分档次给分 不要增加其他中间档次 分两档 其他各题的评阅 请严格按照本 评分标准的评分档次给分 不要增加其他中间档次 2 如果考生的解答方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分 解答题中第 如果考生的解答方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分 解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次 第分为一个档次 第 10 11 小题小题 5 分为一个档次 不要增加其 他中间档次 分为一个档次 不要增加其 他中间档次 一 填空题 本题满分 64 分 每小题 8 分 一 填空题 本题满分 64 分 每小题 8 分 1 函数xxxf3245 的值域是 3 3 解 易知 xf的定义域是 8 5 且 xf在 8 5上是增函数 从而可知 xf的值域为 3 3 2 已知函数xxaysin 3cos 2 的最小值为3 则实数a的取值范围是 12 2 3 a 解 令tx sin 则原函数化为taattg 3 2 即 taattg 3 3 由 3 3 3 taat 0 1 3 1 2 ttat 0 3 1 1 tatt 及01 t 知 03 1 tat 即 3 2 tta 1 当1 0 t时 1 总成立 对20 10 2 ttt 对0 4 1 01 2 aaaaxf xx 在区间 1 1 x上的最大值为 8 则它在这个区间上 的最小值是 4 1 解 令 ya x 则原函数化为23 2 yyyg yg在 3 2 上是递增的 当10 a时 1 aay 3 2823 2 max aaayg 所以 4 1 2232 12 min yg 综上 xf在 1 1 x上的最小值为 4 1 6 两人轮流投掷骰子 每人每次投掷两颗 第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜 否则轮由另 一人投掷 先投掷人的获胜概率是 84 119 解 同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 12 7 36 21 从而先投掷人的获胜概率为 12 7 12 5 12 7 12 5 12 7 42 119 84 144 25 1 1 12 7 7 正三棱柱 111 CBAABC 的 9 条棱长都相等 P是 1 CC的中点 二面角 11 BPAB 则 sin 10 4 解一 如图 以AB所在直线为x轴 线段AB中点O为原点 OC所在直线为y轴 建立空间 直角坐标系 设正三棱柱的棱长为 2 则 1 3 0 2 0 1 2 0 1 0 0 1 11 PABB 从而 1 3 1 0 0 2 1 3 1 2 0 2 1111 PBABBPBA 设分别与平面PBA1 平面PAB 11 垂直的向量是 111 zyxm 222 zyxn 则 03 022 111 111 zyxBPm zxBAm 03 02 2221 211 zyxPBn xABn 由此可设 3 1 0 1 0 1 nm 所以cosm nmn 即 6 32 2 coscos 4 z y x O P C1 B1 A1 C B A 4 所以 4 10 sin 解二 如图 PBPAPCPC 11 设BA1与 1 AB交于点 O 则 1111 OAOB OAOB ABAB 11 PAPBPOAB 因为 所以 从而 1 AB平面BPA1 过O在平面BPA1上作PAOE 1 垂足为E 连结EB1 则EOB1 为二面角 11 BPAB 的平面角 设2 1 AA 则易求得 3 2 5 111 POOBOAPAPB 在直角OPA1 中 OEPAPOOA 11 即 5 6 532 OEOE 又 5 54 5 6 2 2 22 111 OEOBEBOB 4 10 5 54 2 sinsin 1 1 1 EB OB EOB 8 方程2010 zyx满足zyx 的正整数解 x y z 的个数是 336675 解 首先易知2010 zyx的正整数解的个数为 10042009 2 2009 C 把2010 zyx满足zyx 的正整数解分为三类 1 zyx 均相等的正整数解的个数显然为 1 2 zyx 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数 易知为 1003 3 设zyx 两两均不相等的正整数解为k 易知 100420096100331 k O E P C1 B1 A1 C B A 5 110033100420096 k 200410052006123200910052006 3356713343351003 k 从而满足zyx 的正整数解的个数为 33667533567110031 二 解答题 本题满分 56 分 9 本小题满分 16 分 二 解答题 本题满分 56 分 9 本小题满分 16 分 已知函数 0 23 adcxbxaxxf 当10 x时 1 x f 试求a的最大值 解一 23 2 cbxaxxf 由 cbaf cbaf cf 23 1 4 3 2 1 0 得 4 分 2 1 4 1 2 0 23fffa 8 分 所以 2 1 4 1 2 0 23fffa 2 1 4 1 2 0 2fff 8 3 8 a 12 分 又易知当mxxxxf 23 4 3 8 m为常数 满足题设条件 所以a最大值为 3 8 16 分 解二 cbxaxxf 23 2 设1 xfxg 则当10 x时 2 0 xg 设 12 xz 则11 2 1 z z x 1 4 3 2 23 4 3 2 1 2 cb a z ba z az gzh 4 分 容易知道当11 z时 2 0 2 0 zhzh 8 分 从而当11 z时 2 2 0 zhzh 即 21 4 3 4 3 0 2 cb a z a 6 从而 01 4 3 cb a 2 4 3 2 z a 由 10 2 z知 3 8 a 12 分 又易知当mxxxxf 23 4 3 8 m为常数 满足题设条件 所以a最大值为 3 8 16 分 10 本小题满分 20 分 10 本小题满分 20 分 已知抛物线xy6 2 上的两个动点 1122 A x yB xy和 其中 21 xx 且 4 21 xx 线段AB的垂直平分线与x轴交于点C 求ABC 面积的最大值 解一 设线段AB的中点为 00 yxM 则 2 2 2 21 0 21 0 yy y xx x 012 2 1 2 2 12 12 12 36 66 yyyyy yy xx yy kAB 线段AB的垂直平分线的方程是 2 3 0 0 x y yy 1 易知0 5 yx是 1 的一个解 所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点 且点 C坐标为 0 5 5 分 由 1 知直线AB的方程为 2 3 0 0 x y yy 即 2 3 0 0 yy y x 2 2 代入xy6 2 得 12 2 00 2 yyyy 即 01222 2 00 2 yyyy 3 依题意 21 y y是方程 3 的两个实根 且 21 yy 所以 222 000 44 212 4480yyy 3232 0 tttttxtx 则 16 16 105 2 1 2 2 2 1 2 1 tt ttS ABC 的绝对值 10 分 2 2 2 212 2 11 2 656665 2 1 ttttttS ABC 8 2 21 2 21 5 2 3 tttt 5 5 24 2 3 212121 tttttt 3 3 14 2 3 7 3 14 ABC S 15 分 当且仅当5 21 2 21 tttt且4 2 2 2 1 tt 即 6 57 1 t 6 57 2 t 635635 57 57 33 AB 或 635635 57 57 33 AB 时等号成立 所以ABC 面积的最大值是7 3 14 20 分 11 本小题满分 20 分 11 本小题满分 20 分 证明 方程0252 3 xx恰有一个实数根r 且存在唯一的严格递增 正整数数列 n a 使得 321 5 2 aaa rrr 证明 令252 3 xxxf 则056 2 xxf 所以 xf是严格递增的 又 0 4 3 2 1 02 0 ff 故 xf有唯一实数根 1 0 2 r 5 分 所以 3 2520rr 3 15 2 r r 4710 rrrr 故数列 2 1 23 nnan是满足题设要求的数列 10 分 若存在两个不同的正整数数列 n aaa 21 和 n bbb 21 满足 5