校园网-工程数学线性代数课后答案__同济第五版.pdf

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把下列向量组正交化试用施密特法把下列向量组正交化 1 931 421 111 321 aaa 解解 根据施密特正交化方法根据施密特正交化方法 1 1 1 11 ab 1 0 1 1 11 21 22 b bb ab ab 1 2 1 3 1 2 22 32 1 11 31 33 b bb ab b bb ab ab 2 011 101 110 111 321 aaa 解解 根据施密特正交化方法根据施密特正交化方法 1 1 0 1 11 ab 1 2 3 1 3 1 1 11 21 22 b bb ab ab 4 3 3 1 5 1 2 22 32 1 11 31 33 b bb ab b bb ab ab 2 下列矩阵是不是正交阵下列矩阵是不是正交阵 69 1 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 解解 此矩阵的第一个行向量非单位向量此矩阵的第一个行向量非单位向量 故不是正交阵故不是正交阵 2 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 解解 该方阵每一个行向量均是单位向量该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交且两两正交 故为正交故为正交 阵阵 3 设设 x 为为 n 维列向量维列向量 xTx 1 令令 H E 2xxT 证明证明 H 是对称的正是对称的正 交阵交阵 证明证明 因为因为 HT E 2xxT T E 2 xxT T E 2 xxT T E 2 xT TxT E 2xxT 所以所以 H 是对称矩阵是对称矩阵 因为因为 HTH HH E 2xxT E 2xxT E 2xxT 2xxT 2xxT 2xxT E 4xxT 4x xTx xT E 4xxT 4xxT E 所以所以 H 是正交矩阵是正交矩阵 4 设设 A 与与 B 都是都是 n 阶正交阵阶正交阵 证明证明 AB 也是正交阵也是正交阵 证明证明 因为因为 A B 是是 n 阶正交阵阶正交阵 故故 A 1 AT B 1 BT AB T AB BTATAB B 1A 1AB E 故故 AB 也是正交阵也是正交阵 70 5 求下列矩阵的特征值和特征向量求下列矩阵的特征值和特征向量 1 201 335 212 解解 3 1 201 335 212 EA 故故 A 的特征值为的特征值为 1 三重三重 对于特征值对于特征值 1 由由 000 110 101 101 325 213 EA 得方程得方程 A E x 0的基础解系的基础解系p1 1 1 1 T 向量向量p1就是对应于特征值就是对应于特征值 1 的特征值向量的特征值向量 2 633 312 321 解解 9 1 633 312 321 EA 故故 A 的特征值为的特征值为 1 0 2 1 3 9 对于特征值对于特征值 1 0 由由 000 110 321 633 312 321 A 得方程得方程Ax 0的基础解系的基础解系p1 1 1 1 T 向量向量p1是对应于特征值是对应于特征值 1 0 的特征值向量的特征值向量 对于特征值对于特征值 2 1 由由 000 100 322 733 322 322 EA 得方程得方程 A E x 0的基础解系的基础解系p2 1 1 0 T 向量向量p2就是对应于特征值就是对应于特征值 71 2 1 的特征值向量的特征值向量 对于特征值对于特征值 3 9 由由 000 2 1 10 111 333 382 328 9 EA 得方程得方程 A 9E x 0 的基础解系的基础解系 p3 1 2 1 2 1 T 向量向量 p3就是对应于特就是对应于特 征值征值 3 9 的特征值向量的特征值向量 3 0001 0010 0100 1000 解解 22 1 1 001 010 010 100 EA 故故 A 的特征值为的特征值为 1 2 1 3 4 1 对于特征值对于特征值 1 2 1 由由 0000 0000 0110 1001 1001 0110 0110 1001 EA 得方程得方程 A E x 0的基础解系的基础解系p1 1 0 0 1 T p2 0 1 1 0 T 向量向量p1 和和 p2是对应于特征值是对应于特征值 1 2 1 的线性无关特征值向量的线性无关特征值向量 对于特征值对于特征值 3 4 1 由由 0000 0000 0110 1001 1001 0110 0110 1001 EA 得方程得方程 A E x 0 的基础解系的基础解系 p3 1 0 0 1 T p4 0 1 1 0 T 向量向量 p3 和和 p4是对应于特征值是对应于特征值 3 4 1 的线性无关特征值向量的线性无关特征值向量 6 设设 A 为为 n 阶矩阵阶矩阵 证明证明 AT与与 A 的特征值相同的特征值相同 72 证明证明 因为因为 AT E A E T A E T A E 所以所以 AT与与 A 的特征多项式相同的特征多项式相同 从而从而 AT与与 A 的特征值相同的特征值相同 7 设设 n 阶矩阵阶矩阵 A B 满足满足 R A R B n 证明证明 A 与与 B 有公共的特有公共的特 征值征值 有公共的特征向量有公共的特征向量 证明证明 设设 R A r R B t 则则 r t n 若若 a1 a2 an r是齐次方程组是齐次方程组 Ax 0 的基础解系的基础解系 显然它们是显然它们是 A 的对应于特征值的对应于特征值 0 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量 类似地类似地 设设b1 b2 bn t是齐次方程组是齐次方程组Bx 0的基础解系的基础解系 则它们则它们 是是 B 的对应于特征值的对应于特征值 0 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量 由于由于 n r n t n n r t n 故故a1 a2 an r b1 b2 bn t必线必线 性相关性相关 于是有不全为于是有不全为 0 的数的数 k1 k2 kn r l1 l2 ln t 使使 k1a1 k2a2 kn ran r l1b1 l2b2 ln rbn r 0 记记 k1a1 k2a2 kn ran r l1b1 l2b2 ln rbn r 则则 k1 k2 kn r不全为不全为 0 否则否则 l1 l2 ln t不全为不全为 0 而而 l1b1 l2b2 ln rbn r 0 与与 b1 b2 bn t线性无关相矛盾线性无关相矛盾 因因此此 0 是是 A 的也是的也是 B 的关于的关于 0 的特征向量的特征向量 所以所以 A 与与 B 有公共的特征值有公共的特征值 有公共的特征向量有公共的特征向量 8 设设 A2 3A 2E O 证明证明 A 的特征值只能取的特征值只能取 1 或或 2 证明证明 设设 是是 A 的任意一个特征值的任意一个特征值 x 是是 A 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量 则则 A2 3A 2E x 2x 3 x 2x 2 3 2 x 0 因为因为 x 0 所以所以 2 3 2 0 即即 是方程是方程 2 3 2 0 的根的根 也就是说也就是说 1 或或 2 9 设设 A 为正交阵为正交阵 且且 A 1 证明证明 1 是是 A 的特征值的特征值 证明证明 因为因为 A 为正交矩阵为正交矩阵 所以所以 A 的特征值为的特征值为 1 或或 1 73 因为因为 A 等于所有特征值之积等于所有特征值之积 又又 A 1 所以必有奇数个特征值所以必有奇数个特征值 为为 1 即即 1 是是 A 的特征值的特征值 10 设设 0 是是 m 阶矩阵阶矩阵 Am nBn m的特征值的特征值 证明证明 也是也是 n 阶矩阵阶矩阵 BA 的特征值的特征值 证明证明 设设 x 是是 AB 的对应于的对应于 0 的特征向量的特征向量 则有则有 AB x x 于是于是 B AB x B x 或或 BA B x Bx 从而从而 是是 BA 的特征值的特征值 且且 Bx 是是 BA 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量 11 已知已知 3 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值为的特征值为 1 2 3 求求 A3 5A2 7A 解解 令令 3 5 2 7 则则 1 3 2 2 3 3 是是 A 的特征的特征 值值 故故 A3 5A2 7A A 1 2 3 3 2 3 18 12 已知已知 3 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值为的特征值为 1 2 3 求求 A 3A 2E 解解 因为因为 A 1 2 3 6 0 所以所以 A 可逆可逆 故故 A A A 1 6A 1 A 3A 2E 6A 1 3A 2E 令令 6 1 3 2 2 则则 1 1 2 5 3 5 是是 A 的特征的特征 值值 故故 A 3A 2E 6A 1 3A 2E A 1 2 3 1 5 5 25 13 设设 A B 都是都是 n 阶矩阵阶矩阵 且且 A 可逆可逆 证明证明 AB 与与 BA 相相 似似 证证明明 取取 P A 则则 P 1ABP A 1ABA BA 即即 AB 与与 BA 相似相似 74 14 设矩阵设矩阵 504 13 102 xA可相似对角化可相似对角化 求求 x 解解 由由 6 1 504 13 102 2 xEA 得得 A 的特征值为的特征值为 1 6 2 3 1 因为因为 A 可相似对角化可相似对角化 所以对于所以对于 2 3 1 齐次线性方程组齐次线性方程组 A E x 0 有两个线性无关的解有两个线性无关的解 因此因此 R A E 1 由由 000 300 101 404 03 101 xxEA r 知当知当 x 3 时时 R A E 1 即即 x 3 为所求为所求 15 已知已知 p 1 1 1 T是矩阵是矩阵 21 35 212 b aA的一个特征向量的一个特征向量 1 求参数求参数 a b 及特征向量及特征向量 p 所对应的特征值所对应的特征值 解解 设设 是特征向量是特征向量 p 所对应的特征值所对应的特征值 则则 A E p 0 即即 0 0 0 1 1 1 21 35 212 b a 解之得解之得 1 a 3 b 0 2 问问 A 能不能相似对角化 并说明理由能不能相似对角化 并说明理由 解解 由由 3 1 201 335 212 EA 得得 A 的特征值为的特征值为 1 2 3 1 由由 75 000 110 101 11 325 211 r b EA 知知 R A E 2 所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组 A E x 0 的基础解系只有一个解的基础解系只有一个解 向量向量 因此因此 A 不能相似对角化不能相似对角化 16 试求一个正交的相似变换矩阵试求一个正交的相似变换矩阵 将下列对称阵化为对角阵将下列对称阵化为对角阵 1 020 212 022 解解 将所给矩阵记为将所给矩阵记为 A 由由 20 212 022 EA 1 4 2 得矩阵得矩阵 A 的特征值为的特征值为 1 2 2 1 3 4 对于对于 1 2 解方程解方程 A 2E x 0 即即 0 220 232 024 3 2 1 x x x 得特征向量得特征向量 1 2 2 T 单位化得单位化得 T 3 2 3 2 3 1 1 p 对于对于 2 1 解方程解方程 A E x 0 即即 0 120 202 021 3 2 1 x x x 得特征向量得特征向量 2 1 2 T 单位化得单位化得 T 3 2 3 1 3 2 2 p 对于对于 3 4 解方程解方程 A 4E x 0 即即 0 420 232 022 3 2 1 x x x 得特征得特征向量向量 2 2 1 T 单位化得单位化得 T 3 1 3 2 3 2 3 p 于是有正交阵于是有正交阵 P p1 p2 p3 使使 P 1AP diag 2 1 4 76 2 542 452 222 解解 将所给矩阵记为将所给矩阵记为 A 由由 542 452 222 EA 1 2 10 得矩阵得矩阵 A 的特征值为的特征值为 1 2 1 3 10 对于对于 1 2 1 解方程解方程 A E x 0 即即 0 0 0 442 442 221 3 2 1 x x x 得线性无关特征向量得线性无关特征向量 2 1 0 T和和 2 0 1 T 将它们正交化 单位化得将它们正交化 单位化得 T 0 1 2 5 1 1 p T 5 4 2 53 1 2 p 对于对于 3 10 解方程解方程 A 10E x 0 即即 0 0 0 542 452 228 3 2 1 x x x 得特征向量得特征向量 1 2 2 T 单位化得单位化得 T 2 2 1 3 1 3 p 于是有正交阵于是有正交阵 P p1 p2 p3 使使 P 1AP diag 1 1 10 17 设矩阵设矩阵 124 22 421 xA与与 y 4 5 相似相似 求求 x y 并求并求 一个正交阵一个正交阵 P 使使 P 1AP 解解 已知相似矩阵有相同的特征值已知相似矩阵有相同的特征值 显然显然 5 4 y 是是 的的 特征值特征值 故它们也是故它们也是 A 的特征值的特征值 因为因为 4 是是 A 的特征值的特征值 所以所以 0 4 9 524 242 425 4 xxEA 解之得解之得 x 4 77 已知相似矩阵的行列式相同已知相似矩阵的行列式相同 因为因为 100 124 242 421 A y y 204 5 所以所以 20y 100 y 5 对于对于 5 解方程解方程 A 5E x 0 得两个线性无关的特征向量得两个线性无关的特征向量 1 0 1 T 1 2 0 T 将它们正交化 单位化得将它们正交化 单位化得 T 1 0 1 2 1 1 p T 1 4 1 23 1 2 p 对于对于 4 解方程解方程 A 4E x 0 得特征向量得特征向量 2 1 2 T 单位化得单位化得 T 2 1 2 3 1 3 p 于是有正交矩阵于是有正交矩阵 23 1 3 2 2 1 23 4 3 1 0 23 1 3 2 2 1 P 使使 P 1AP 18 设设3阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为 1 2 2 2 3 1 对应的特征向量对应的特征向量 依次为依次为 p1 0 1 1 T p2 1 1 1 T p3 1 1 0 T 求求 A 解解 令令 P p1 p2 p3 则则 P 1AP diag 2 2 1 A P P 1 因为因为 110 111 011 011 111 110 1 1 P 所以所以 110 111 011 100 020 002 011 111 110 1 PPA 244 354 331 19 设设 3 阶对称阵阶对称阵 A 的特征值为的特征值为 1 1 2 1 3 0 对应对应 1 2 的特征向量依次为的特征向量依次为 p1 1 2 2 T p2 2 1 2 T 求求 A 78 解解 设设 653 542 321 xxx xxx xxx A 则则 Ap1 2p1 Ap2 2p2 即即 222 222 122 653 542 321 xxx xxx xxx 222 122 222 653 542 321 xxx xxx xxx 再由特征值的性质再由特征值的性质 有有 x1 x4 x6 1 2 3 0 由 解得由 解得 61 2 1 3 1 xx 62 2 1 xx 63 4 1 3 2 xx 64 2 1 3 1 xx 65 4 1 3 2 xx 令令 x6 0 得得 3 1 1 x x2 0 3 2 3 x 3 1 4 x 3 2 5 x 因此因此 022 210 201 3 1 A 20 设设 3 阶对称矩阵阶对称矩阵 A 的特征值的特征值 1 6 2 3 3 3 与特征值与特征值 1 6 对应的特征向量为对应的特征向量为 p1 1 1 1 T 求求 A 解解 设设 653 542 321 xxx xxx xxx A 因为因为 1 6 对应的特征向量为对应的特征向量为 p1 1 1 1 T 所以有所以有 1 1 1 6 1 1 1 A 即即 6 6 6 653 542 321 xxx xxx xxx 2 3 3 是是 A 的二重特征值的二重特征值 根据实对称矩阵的性质定理知根据实对称矩阵的性质定理知 R A 3E 1 利用 可推出利用 可推出 79 3 3 111 3 3 3 3 653 542 653 542 321 xxx xxx xxx xxx xxx EA 因为因为 R A 3E 1 所以所以 x2 x4 3 x5且且 x3 x5 x6 3 解之得解之得 x2 x3 x5 1 x1 x4 x6 4 因此因此 411 141 114 A 21 设设 a a1 a2 an T a1 0 A aaT 1 证明证明 0 是是 A 的的 n 1 重特征值重特征值 证明证明 设设 是是 A 的任意一个特征值的任意一个特征值 x 是是 A 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量 则有则有 Ax x 2x A2x aaTaaTx aTaAx aTax 于是可得于是可得 2 aTa 从而从而 0 或或 aTa 设设 1 2 n是是 A 的所有特征值的所有特征值 因为因为 A aaT的主对角线性上的主对角线性上 的元素为的元素为 a12 a22 an2 所以所以 a12 a22 an2 aTa 1 2 n 这说明在这说明在 1 2 n中有且只有一个等于中有且只有一个等于 aTa 而其余而其余 n 1 个全为个全为 0 即即 0 是是 A 的的 n 1 重特征值重特征值 2 求求 A 的非零特征值及的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 解解 设设 1 aTa 2 n 0 因为因为Aa aaTa aTa a 1a 所以所以p1 a是对应于是对应于 1 aTa的特征向量的特征向量 对于对于 2 n 0 解方程解方程 Ax 0 即即 aaTx 0 因为因为 a 0 所以所以 aTx 0 即即 a1x1 a2x2 anxn 0 其线性无关解为其线性无关解为 p2 a2 a1 0 0 T p3 a3 0 a1 0 T pn an 0 0 a1 T 80 因此因此 n 个线性无关特征向量构成的矩阵为个线性无关特征向量构成的矩阵为 1 12 21 21 0 0 aa aa aaa n n n ppp 22 设设 340 430 241 A 求求 A100 解解 由由 5 5 1 340 430 241 EA 得得 A 的特征值为的特征值为 1 1 2 5 3 5 对于对于 1 1 解方程解方程 A E x 0 得得特征向量特征向量 p1 1 0 0 T 对于对于 1 5 解方程解方程 A 5E x 0 得特征向量得特征向量 p2 2 1 2 T 对于对于 1 5 解方程解方程 A 5E x 0 得特征向量得特征向量 p3 1 2 1 T 令令 P p1 p2 p3 则则 P 1AP diag 1 5 5 A P P 1 A100 P 100P 1 因为因为 100 diag 1 5100 5100 120 210 505 5 1 120 210 121 1 1 P 所以所以 120 210 505 5 5 1 120 210 121 5 1 100 100100 A 100 100 100 500 050 1501 81 23 在某国在某国 每年有比例为每年有比例为 p 的农村居民移居城镇的农村居民移居城镇 有比例为有比例为 q 的城镇居民移居农村的城镇居民移居农村 假设该国总人口数不变假设该国总人口数不变 且上述人口迁移的规且上述人口迁移的规 律也不变律也不变 把把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn 和和 yn xn yn 1 1 求关系式求关系式 n n n n y x A y x 1 1 中的矩阵中的矩阵 A 解解 由题意知由题意知 xn 1 xn qyn pxn 1 p xn qyn yn 1 yn pxn qyn pxn 1 q yn 可用矩阵表示为可用矩阵表示为 n n n n y x qp qp y x 1 1 1 1 因此因此 qp qp A 1 1 2 设目前农村人口与城镇人口相等设目前农村人口与城镇人口相等 即即 5 0 5 0 0 0 y x 求求 n n y x 解解 由由 n n n n y x A y x 1 1 可知可知 0 0 y x A y x n n n 由由 1 1 1 1 qp qp qp EA 得得 A 的特征值为的特征值为 1 1 2 r 其中其中 r 1 p q 对于对于 1 1 解方程解方程 A E x 0 得特征向量得特征向量 p1 q p T 对于对于 1 r 解方程解方程 A rE x 0 得特征向量得特征向量 p2 1 1 T 令令 1 1 21 p q Ppp 则则 P 1AP diag 1 r A P P 1 An P nP 1 于是于是 1 1 1 0 01 1 1 p q rp q A n n 82 qprp q qp n 11 0 01 1 11 nn nn qrpprp qrqprq qp 1 5 0 5 01 nn nn n n qrpprp qrqprq qp y x n n rpqp rqpq qp 2 2 2 1 24 1 设设 32 23 A 求求 A A10 5A9 解解 由由 5 1 32 23 EA 得得 A 的特征值为的特征值为 1 1 2 5 对于对于 1 1 解方程解方程 A E x 0 得单位特征向量得单位特征向量 T 1 1 2 1 对于对于 1 5 解方程解方程 A 5E x 0 得单位特征向量得单位特征向量 T 1 1 2 1 于是有正交矩阵于是有正交矩阵 11 11 2 1 P 使得使得 P 1AP diag 1 5 从而从而 A P P 1 Ak P kP 1 因此因此 A P P 1 P 10 5 9 P 1 P diag 1 510 5diag 1 59 P 1 Pdiag 4 0 P 1 11 11 2 1 00 04 11 11 2 1 11 11 2 22 22 2 设设 122 221 212 A 求求 A A10 6A9 5A8 解解 求得正交矩阵为求得正交矩阵为 83 202 231 231 6 1 P 使得使得 P 1AP diag 1 1 5 A P P 1 于是于是 A P P 1 P 10 6 9 5 8 P 1 P 8 E 5E P 1 Pdiag 1 1 58 diag 2 0 4 diag 6 4 0 P 1 Pdiag 12 0 0 P 1 222 033 211 0 0 12 202 231 231 6 1 422 211 211 2 25 用矩阵记号表示下列二次型用矩阵记号表示下列二次型 1 f x2 4xy 4y2 2xz z2 4yz 解解 z y x zyxf 121 242 121 2 f x2 y2 7z2 2xy 4xz 4yz 解解 z y x zyxf 722 211 211 3 f x12 x22 x32 x42 2x1x2 4x1x3 2x1x4 6x2x3 4x2x4 解解 4 3 2 1 4321 1021 0132 2311 1211 x x x x xxxxf 26 写出下列二次型的矩阵写出下列二次型的矩阵 1 xxx 13 12 T f 解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 13 12 A 84 2 xxx 987 654 321 T f 解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 987 654 321 A 27 求一个正交变求一个正交变换将下列二次型化成标准形换将下列二次型化成标准形 1 f 2x12 3x22 3x33 4x2x3 解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 320 230 002 A 由由 1 5 2 320 230 002 EA 得得 A 的特征值为的特征值为 1 2 2 5 3 1 当当 1 2 时时 解方程解方程 A 2E x 0 由由 000 100 210 120 210 000 2 EA 得特征向量得特征向量 1 0 0 T 取取 p1 1 0 0 T 当当 2 5 时时 解方程解方程 A 5E x 0 由由 000 110 001 220 220 003 5 EA 得特征向量得特征向量 0 1 1 T 取取 T 2 1 2 1 0 2 p 当当 3 1 时时 解方程解方程 A E x 0 由由 000 110 001 220 220 001 EA 得特征向量得特征向量 0 1 1 T 取取 T 2 1 2 1 0 3 p 于是有正交矩阵于是有正交矩阵 T p1 p2 p3 和正交变换和正交变换 x Ty 使使 f 2y12 5y22 y32 85 2 f x12 x22 x32 x42 2x1x2 2x1x4 2x2x3 2x3x4 解解 二次型矩阵为二次型矩阵为 1101 1110 0111 1011 A 由由 2 1 3 1 1101 1110 0111 1011 EA 得得 A 的特征值为的特征值为 1 1 2 3 3 4 1 当当 1 1 时时 可得单位特征向量可得单位特征向量 T 2 1 2 1 2 1 2 1 1 p 当当 2 3 时时 可得单位特征向量可得单位特征向量 T 2 1 2 1 2 1 2 1 2 p 当当 3 4 1 时时 可得线性无关的单位特征向量可得线性无关的单位特征向量 T 0 2 1 0 2 1 3 p T 2 1 0 2 1 0 4 p 于是有正交矩阵于是有正交矩阵 T p1 p2 p3 p4 和正交变换和正交变换 x Ty 使使 f y12 3y22 y32 y42 28 求一个正交变换把二次曲面的方程求一个正交变换把二次曲面的方程 3x2 5y2 5z2 4xy 4xz 10yz 1 化成标准方程化成标准方程 解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 552 552 223 A 由由 11 2 552 552 223 EA 得得 A 的特征值为的特征值为 1 2 2 11 3 0 对于对于 1 2 解方程解方程 A 2E x 0 得特征向量得特征向量 4 1 1 T 单位化得单位化得 23 1 23 1 23 4 1 p 对于对于 2 11 解方程解方程 A 11E x 0 得特征向量得特征向量 1 2 2 T 单位化单位化 86 得得 3 2 3 2 3 1 2 p 对于对于 3 0 解方程解方程 Ax 0 得特征向量得特征向量 0 1 1 T 单位化得单位化得 2 1 2 1 0 3 p 于是有正交矩阵于是有正交矩阵P p1 p2 p3 使使P 1AP diag 2 11 0 从而有正从而有正 交变换交变换 w v u z y x 2 1 3 2 23 1 2 1 3 2 23 1 0 3 1 23 4 使原二次方程变为标准方程使原二次方程变为标准方程 2u2 11v2 1 29 明明 二次型二次型 f xTAx 在在 x 1 时的最大值为矩阵时的最大值为矩阵 A 的最大特征的最大特征 值值 证明证明 A 为实对称矩阵为实对称矩阵 则有一正交矩阵则有一正交矩阵 T 使得使得 TAT 1 diag 1 2 n 成立成立 其中其中 1 2 n为为 A 的特征值的特征值 不妨设不妨设 1最大最大 作正交变换作正交变换 y Tx 即即 x TTy 注意到注意到 T 1 TT 有有 f xTAx yTTATTy yT y 1y12 2y22 nyn2 因为因为 y Tx 正交变换正交变换 所以当所以当 x 1 时时 有有 y x 1 即即 y12 y22 yn2 1 因此因此 f 1y12 2y22 nyn2 1 又当又当 y1 1 y2 y3 yn 0 时时 f 1 所以所以 f max 1 30 用配方法化下列二次形成规范形用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩阵并写出所用变换的矩阵 1 f x1 x2 x3 x12 3x22 5x32 2x1x2 4x1x3 解解 f x1 x2 x3 x12 3x22 5x32 2x1x2 4x1x3 87 x1 x2 2x3 2 4x2x3 2x22 x32 x1 x2 2x3 2 2x22 2x2 x3 2 令令 323 22 3211 2 2 2 xxy xy xxxy 即即 323 22 3211 2 2 1 2 2 5 yyx yx y