小学数学教学中的思维训练.ppt

小学数学教学中的思维训练 什么是数学思维 广义的数学思维主应该有两方面组成 一方面是关于数学体系的了解 暨数学思维的内容 这是关于数学本质和内容的认识 简单的说就是数学 是什么 对于数学总体结构的理解是数学思维的基础 也是一切技巧的基础 这里说的不单单是对数学概念和定理的记忆和简单运用 而是对数学原理的深刻理解 另一方面是数学思维的方式 数学的思维方式 就是我们解决数学问题的思考的习惯和能力 也就是 怎么做 解决问题的方式有很多种 最基本的就是运用前人总结出来的解决问题的方式 然而很多时候 已有的方法是不能完全奏效的 这时候我们就需要运用我们的智慧去分析数学问题的条件 结论和特点 从而对题目进行分解转化 最终解决这个问题 在这个过程中体现出来的思维技巧和思维习惯就是数学思维方式 这也是我们所说的狭义上的 数学思维 一 数学的抽象性 父 如果你有一个橘子 我再给你两个 你数数看一共有几个橘子 子 不知道 在学校里 我们都是用苹果数数的 从来不用橘子 分析与思考 数学 对学生来说 就是利用自己的生活经验对数学现象的一种 解读 学习主要是一个 顺应 的过程 即是如何对主体已有的认知框架作出必要的调整或重建 数学最基本的特性 抽象性 甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征 第一是它的抽象性 抽象性在简单的计算中就已经表现出来 我们运用抽象的数字 却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来 我们在学校中学的是抽象的乘法表 总是数字的乘法表 而不是男孩的数目乘上苹果的数目 或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等 亚历山大洛夫 数学与现实 第一 数学抽象源于现实生活 包括具体的事物与现象 以及人们的运作 第二 数学抽象又高于现实 并是一种建构的活动 即是包含了与现实世界在一定程度上的分离 案例一 任课教师要求学生求解这样一个问题 52型拖拉机 一天耕地150亩 问12天耕地多少亩 一位学生是这样解题的 52 150 12 案例一 接下来的对话 告诉我 你为什么这么列式 老师 我错了 好的 告诉我 你认为正确的该怎么列式 除 怎么除 大的除以小的 为什么是除呢 老师 我又错了 你说 对的该是怎样呢 应该把它们加起来 案例一 启而不发 我们换一个题目 比如你每天吃两个大饼 5天吃几个大饼 老师 我早上不吃大饼的 那你吃什么 我经常吃粽子 好 那你每天吃两个粽子 5天吃几个粽子 老师 我一天根本吃不了两个粽子 那你能吃几个粽子 吃半个就可以了 好 那你每天吃半个 小数乘法没学 粽子 5天吃几个粽子 两个半 怎么算出来的 两天一个 5天两个半 结论之一 学会数学思维的首要涵义 学会数学抽象 模式化 数学 模式的科学 这就是指 数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征 而是一类事物或现象在量的方面的共同性质 案例二 这能否算一堂真正的数学课 这是关于 解决问题 的一个教学实例 教师要求一群三年级的学生求解以下的问题 某女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和三条不同颜色的裙子 问共有多少种不同的搭配方法 教师鼓励学生们用 实验 的方法去解决问题 学生拿出了笔和纸 开始在纸上实际地画出各种可能的搭配 结果表明 在大多数情况下学生都可凭借自身的努力 单独地或合作地 得出正确的解答 事后的思考 学生通过这一教学活动究竟学到了什么 特别是这些学生能否被认为已经掌握了相应的数学知识 案例二 更多的问题 某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带 问共有多少种不同的搭配方法 有两个军官和三个士兵 现由一个军官和一个士兵组成巡逻队 问共有多少种不同的组成方式 某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四条不同颜色的裙子 问共有多少种不同的搭配方法 有三个军官和四个士兵 现由一个军官和一个士兵组成巡逻队 问共有多少种不同的组成方式 结论之二 帮助学生学会数学抽象的关键 应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式 去情境化 相关的论述 数学教学必定包括 去情景化 去个人化和去时间化 问题 如何才能帮助学生学会去 情景化 案例三 找规律 师 在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里 我们把第一个音唱做 咚 第二个音唱做 哒 第三个音唱做 啦 所以这个乐句就变成 咚哒啦 咚哒啦 咚哒啦 请想一想 第16个音符是什么 为了能让别人看得一清二楚 请你在草稿本上用一种合适的方式表示出来 可以写一写 画一画 算一算 案例三 方法一 用音乐简谱符号表示XXX XXX XXX XXX XXX X 12345678910111213141516方法二 用图形表示 方法三 用数字表示 123 123 123 123 123 1 结论之三 模式化的一个重要手段 引入适当的图形或符号 从而实现与具体情境在一定程度上的分离 二 数学中的分类 课改以来的一个共识 数学课应当很好体现数学课所应当具有的 数学味 相应的思考 究竟什么是数学中的分类 这与一般的分类又有什么不同 显然这也直接关系到了究竟什么是数学课所应当具有的 数学味 案例四 几何模块的分类 案例四 问题 我们是否应当同样地去肯定学生所提出的各种分类方法 包括按形状 颜色和材料等进行分类 分析与思考 有益的对照 自然数的认识 进一步的思考 数学中又为什么要进行分类 案例五 100以内加减法练习 师 刚才全体小朋友认认真真地做好了六道100以内的加减计算题 并且做得很对 现在我们再来仔细观察这六道题 如果我们把它们分成两类 你有什么好办法 为什么可以这样分 34 42 7637 17 5469 15 5459 17 7691 15 7683 29 54 案例五 方法一 按照得数相同来分 方法二 按加法和减法来分 方法三 按不进位加法和不退位减法 以及进位加法和退位减法来分 方法四 把37 17 59 17分成一组 把34 42 69 15 91 15 83 29分成一组 方法五 把34 42 76分成一组 剩下的为一组 案例五 教师的总结 教学中教师有意识地引导学生从不同的角度来分析问题 进行合理的分类 让学生通过相互的交流 从中感受到分类结果在不同标准下的多样性 感受到不同标准的分类有着不同的意义和作用 就能使学生的思维得到发散 使学生的不同思想方法得到充分有效的交流 分析与思考 数学中分类与生活中分类不同 什么是数学中的分类 数学中又为什么要进行分类 结论之四 1 分类应当具有明确的目的性 第一 归类 数学抽象的直接基础 第二 不同类别的区分 由简到繁 由特殊到一般地去开展研究 2 分类问题也需要优化 用数学家的眼光去看待世界 分析问题 解决问题 练习 制作正方体及长方体的折纸图样 展开图 问题 如何去判断一个六联方是不是正方体的展开图 正方体又一共有多少种不同的六联方展开图 案例六 水池问题 学生在解决水池问题时 往往会认为水池一边开进水管 一边开出水管 不论经过多长时间都不会注满水池 在教学时教师可以不急于讲解 而是引导学生寻找生活中类似的实例 1 追及问题 客车每小时行40千米 小汽车每小时行50千米 现在客车在小汽车前25千米的地方 同时沿笔直的公路行驶 多长时间小汽车能追上客车 2 储蓄问题 爸爸每月工资420元 妈妈每月工资300元 每月平均支出450元 余下的钱存在银行 几个月后能买一台价格1350元的电视机 通过这些实例学生就容易弄明白只要进水量大于出水量 经过一段时间水池就一定能注满水 结论之五 学会数学思维的又一重要内涵 思维的必要优化 三 数学中的类比 数学思维的合理发展 由归类 到分类 到类比 联想 问题 究竟什么是类比 联想 在小学数学中我们又应如何去进行类比 联想 的教学 一个常见的说法 我们观察到两个或两类事物在许多属性上都相等 便推出它们在其它属性上也相同 这就是类比法 案例七 数学中的类比由一元二次方程必有2个实根或复根 重根计算在内 容易联想到 一元三次方程很可能具有3个实根或复根 由 正 棱锥的体积等于同底等高的 正 棱柱的体积的三分之一 我们也可联想到 圆锥的体积很可能等于同底等高的圆柱的体积的三分之一 结论之六 类比在数学中一个重要作用 就是通过两个对象的比较由已获得的知识去引出新的猜测 数学中类比联想的关键 求同存异 为了应用类比 我们并不需要相关的对象在所有各个方面都完全一样 而只要求在这两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的 这就是所谓 求同 也即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的 类似之处 所谓的 存异 则是指新的猜测的产生并不是简单的重复 模仿 而是一种创造性的工作 特别是 在由已知事实去引出新的猜测时 我们必须注意分析两者之间所存在的差异 也即必须依据对象的具体情况作出适当的 调正 结论之七 相对于归类与分类而言 类比联想是一种更为高级的思维形式 教学中的关键 如何能够针对学生的认知发展水平去有针对性地去进行教学 四 数学思维的教学 基本立场 第一 应当从事数学思维的教学 前提 清楚地界定 特别是 就小学数学的各个学习阶段而言究竟什么是相关的数学思维 第二 很好解决如何进行教学的问题 应当强调渗透 即是用数学思想的分析指导 带动具体知识内容的教学 四 数学思维的教学 努力加强数学思维 数学方法论 的学习 两条主要的线索 1 问题解决 与 提出问题 2 概念的生成 分析与组织 四 数学思维的教学 数学思维学习的关键 不应求全 而应求用 也即应当密切联系自己的教学实践去进行学习 学以致用 长期努力的方向 理论指导下的自觉实践 相关的思想 基础知识 不应求全 而应求联 基本技能 不应求全 而应求变 数学思维 不应求全 而应求用 练习 红花映绿叶 春 叶绿映花红 要求想出 红 花 映 绿 叶 分别代表什么数字 请尝试着以数学启发法为指导去求解这一问题 相应的解答为 21978 4 87912 案例八 除非它们都能站起来 这是发生在20世纪60年代的一个真实故事 当时 新数运动 作为风靡全球的改革运动正处于高潮之中 其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造 由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置 因此 下述情况的出现就无足为奇了 在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲 我们今天学了 集合 父亲 老师是怎么教的 女儿 女教师首先让班上所有的男孩子站起来 然后告诉大家这就是男孩子的集合 其次 她又让所有的女孩子站起来 并说这是女孩子的集合 接下来 又是白人孩子的集合 黑人孩子的集合 最后 教师问全班 大家是否都懂了 她得到了肯定的答复 父 那么 我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合 迟疑了一会 女儿最终作出了这样的回答 不行 除非它们都能站起来 案例八 分析与思考有益的启示 应当针对小学数学的实际更为深入地开展研究 切实防止简单的移植 集合与分类 函数与变化 极限与无限等等 又一关键性的问题 应当如何去进行数学思维的教学 问题的深化 如何进行渗透 如何用思维方法的分析带动 促进具体知识内容的教学 案例九 重建 高斯少年时代的高斯是如何很快求得1 2 3 99 4950的 案例九 类比与启示为了求解S 1 2 3 99 我们也可首先去计算2S 2S 1 2 3 99 99 98 97 1 100 99 9900S 4950 结论之八 用思维分析带动具体知识内容的教学的关键 方法论的重建 从而实现化神奇为平凡 化难为易 意义之一 使数学教学真正讲活 讲懂 讲深 意义之二 使数学思维真正成为可以理解的 可以学到手的 和可以加以推广应用的 结论之八 讲活 教师应当通过自己的教学活动向学生展现 活生生的 数学研究工作 而不是死的数学知识 讲懂 教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容 而不是囫囵吞枣 死记硬背 讲深 教师不仅应帮助学生掌握具体的数学知识 而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法 一些有益的实践与体会 强调数学思想的渗透 并非是指在教学中我们只需重视具体的知识内容而完全不用去顾及数学思维 从而使后者始终处于 深藏不露 的局面 而是指我们不应用数学思维的分析去完全取代知识内容的教学 或是使两者处于完全割裂的状态 数学思想方法该露脸时就露脸 根据需要 对数学思想方法进行提炼 归纳和概括 一些有益的实践与体会 所谓不应 求全 也并非是指在 帮助学生学会数学地思维 这一方面根本不用设定任何具体的目标 而可 自由行事 便宜处置 恰恰相反 我们在这一方面也应有明确的目标与切实的落实措施 特别是 考虑到数学思维的学习必然是一个长期的过程 小学数学教学又存在低段 中段 高段的划分 这就需要全体教师都能意识到数学思想方法的重要性 保证数学骨干教师在课务安排上相对稳定 使小学思想方法教学具有系统性和持久性 解决问题 教学的关注点 解决问题 教学的关注点 从教师的角度看 胸中有全局 了解并熟悉小学数学各个学习阶段 解决问题 的教学内容 教学目标及学习过程中的思维关注点 是十分重要的 可能的概括 第一学段 学会数学化 第二学段 领悟到解决问题的完整思维过程 第三学段 开始学