数学北师大版八年级上册从勾股定理谈起.doc

从勾股定理谈起教学设计九江市同文中学 钟敏一、教学设计说明：北师大版义教教材初中数学八年级上册第一章勾股定理习题拓展课。众所周知，在历史上勾股定理的证明有着悠久的历史，它的证明者界域之广、证明方法之多、思想方法之丰为世人所惊叹。本课节内容从介绍三位著名的数学家（毕达哥拉斯、赵爽、刘徽）的勾股定理证明入手，给学生们展现多种数学思想，最后通过引用历年中考题，归类探讨并强化训练了几种不同类型的勾股定理应用习题。无论是加强学生对数学史知识的了解，还是在实际教学中数学思想方法的渗透都是多有裨益的。二、教学目标：1、情感目标：了解勾股定理在世界数学史中的发展情况，初步掌握三位数学家的勾股定理证明方法及数学思想。2、知识能力目标：理解和简单应用勾股定理证明中渗透的多种证明方法。三、学情分析八年级学生已经完成勾股定理和实数两个章节的学习，初步掌握 “等积法”的勾股定理证明和无理数的基本运算，具备本节课课堂探讨的知识储备能力。同时，勾股定理的其它证明方法在情感上对学生具有较强的吸引力，学生有意愿进行主动探索。四、教学重难点教学重难点主要体现在对数学思维方法的掌握和应用。历年中考题的选择有一定的难度，教学设计上按梯度排列，不同层次的学生达到各自的要求即可。五、教学过程一、毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树1如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若最大正方形M的边长是3，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和是18分析：根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：6个小正方形的面积和等于最大正方形面积的2倍解答：解：根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是M的面积即A、B、C、D、E、F的面积之和为2个M的面积M的面积是32=9，A、B、C、D、E、F的面积之和为92=18故答案为：182（2015烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S2015的值为（） A （）2012 B （）2013 C （）2012 D （）2013考点： 等腰直角三角形；正方形的性质专题： 规律型分析： 根据题意可知第2个正方形的边长是，则第3个正方形的边长是，进而可找出规律，第n个正方形的边长是，那么易求S2015的值解答： 根据题意：第一个正方形的边长为2；第二个正方形的边长为：；第三个正方形的边长为：，第n个正方形的边长是，所以S2015的值是（）2012，故选C点评： 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理解题的关键是找出第n个正方形的边长3.在直线上依次摆放着七个正方形（如图3所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_。图3解：代表面积为的正方形的边长的平方，代表面积为的正方形的边长的平方，又代表斜放置的正方形1的边长的平方和，故=斜放置的正方形1的面积；同理=斜放置的正方形3的面积；所以。预备题：（2011苏州二模）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为16 分析：根据已知及全等三角形的判定可得到ABCCDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积解答：解：ACB+ECD=90，DEC+ECD=90ACB=DECABC=CDE，AC=CE，在ABC和CDE中，ABCCDE（AAS），BC=DE（如上图），根据勾股定理的几何意义，b的面积=a的面积+c的面积b的面积=a的面积+c的面积=5+11=164.勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2是由图1放入矩形内得到的，BAC=90，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？ 分析：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解解答：解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形OALP是矩形CBF=90，ABC+OBF=90，又直角ABC中，ABC+ACB=90，OBF=ACB，在OBF和ACB中，OBFACB（AAS），AC=OB，同理：ACBPGC，PC=AB，OA=AP，所以，矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为1011=110二赵爽赵爽弦图1.(河北) 如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（A）A甲、乙都可以B甲、乙都不可以C甲不可以、乙可以D甲可以、乙不可以2（2015遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=12考点： 勾股定理的证明分析： 根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（NGNF）2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12解答： 解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，CG=NG，CF=DG=NF，S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CGDG=GF2+2CGDG，S2=GF2，S3=（NGNF）2=NG2+NF22NGNF，S1+S2+S3=GF2+2CGDG+GF2+NG2+NF22NGNF=3GF2=12，故答案是：12点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解题的难点3（2015株洲）如图是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形如果AB=10，EF=2，那么AH等于6考点： 勾股定理的证明分析： 根据面积的差得出a+b的值，再利用ab=2，解得a，b的值代入即可解答： 解：AB=10，EF=2，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，四个直角三角形面积和为1004=96，设AE为a，DE为b，即4ab=96，2ab=96，a2+b2=100，（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，a+b=14，ab=2，解得：a=8，b=6，AE=8，DE=6，AH=82=6故答案为：6点评： 此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值4.长方形ABCD中被嵌入了如图所示6个相同的正方形,其中每边各有一个正方形顶点落在上面。已知AB=22厘米,BC=20厘米,那么每一个正方形的面积为_ 平方厘米。每个小正方形中,切割成的四个小直角三角形的长边【图中红色线段】为a,短边【图中蓝色线段】为b那么：3a+2b=AB=223a+b=BC=20所以：a=6,b=2所以,每个小正方形的面积=a2+b2=40平方厘米三、刘徽青朱出入图（九章算术注出入相补原理）意大利著名画家达芬奇的证法五巧板的制作教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。bca1.（2013北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形MNPQ的面积。小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形MNPQ的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ，若，则AD的长为_。2.（2014博野县模拟）如图，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4 则S1+S2+S3+S4等于（） A14B16C18D20分析：过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S1+S2+S3+S4=RtAB