专题十三-相似三角形定理与圆幂定理.doc

专题十三 相似三角形定理与圆幂定理本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理【知识要点】1相似三角形概念相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形相似比：相似三角形对应边的比2相似三角形的判定如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)3直角三角形相似的判定定理直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似4相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形的面积比等于相似比的平方5相关结论平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行6弦切角定理弦切角定义：切线与弦所夹的角弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半7圆内接四边形的性质圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角8圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有PAPBPCPD【复习要求】1了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理2理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论3掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理【例题分析】例1 如图，在ABC中，BAC90，E为AC中点，ADBC于D，DE交BA的延长线于F求证：BFDFABAC【分析】欲证，虽然四条线段可分配于ABC和DFB中，由于ABC和FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证RtBACRtBDA，得出，于是只需证出，进而须证DFBAFD即可证明：ABAC，ADBC，RtABDRtCAD，DACB，又ADBC，E为AC中点，DEAE，DAEADE，BADE，又FF，FADFDB，由得【说明】由于ABC和FBD这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要例2 ABC中，A60，BD，CE是两条高，求证：【分析】欲证，只须证由已知易得，于是只须证明进而想到证明ADEABC，这可以由证得证明：A60，BD，CE是两条高，ABDACE30，又AAADEABC，.【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理例3 已知：如图，ABC中，ADBC于D，CEAB于E，AD、EC交于F，求证【分析】CD、FD在FDC中，AD、BD在BDA中，所以证FDC与BDA相似便可以得到结论证明：ADBC于D，CEAB于E，ADCADB90，BADB90，BCEB90，BADBCE，FDCBDA，【说明】为什么找到FDC与BDA相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD、AD在ADC中，但线段FD、BD却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD、FD在FDC，AD、BD在BDA中，所以证FDC与BDA相似便可以得到结论小结为“横瞧竖看分配相似三角形”例4 如图，平行四边形ABCD，DEAB于E，DFBC于F，求证：ABDEBCDF【分析】化求证的等积式为比例式：，又因为CDAB，ADBC，即证明比例式证明：平行四边形ABCD，CA，DEAB于E，DFBC于F，AEDDFC90，CFDAED，CDAB，ADBC，即ABDEBCDF【说明】，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CDAB，ADBC所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中例5 AB是O的直径，点C在O上，BAC60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CDOC交PQ于点D(1)求证：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值【分析】证明CDQ是等腰三角形，只需证明DCQQ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算(1)证明：由已知得ACB90，ABC30，Q30，BCOABC30CDOC，DCQBCO30，DCQQ，CDQ是等腰三角形(2)解：设O的半径为1，则AB2，OC1，等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，CQBC，【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧例6 ABC内接于圆O，BAC的平分线交O于D点，交O的切线BE于F，连结BD，CD 求证：(1)BD平分CBE；(2)ABBFAFDC【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出由条件及(1)的结论，可知BDCD，因此欲求ABBFAFDC，可求，因此只须求ABFBDF即可证明：(1)CADBADFBD，CADCBD，CBDFBD，BD平分CBE(2)在DBF与BAF中，FBDFAB，FF，ABFBDF，ABBFBDAF又BDCD，ABBFCDAF例7 O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰AC于E，交BC于D求证：BC2DE【分析】由等腰三角形的性质可得BC，由圆内接四边形性质可得BDEC，所以CDEC，所以DECD，连结AD，可得ADBC，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC2CD，即BC2DE证明：连结AD AB是O直径 ADBCABAC BC2CD，BCO内接四边形ABDEBDEC(四点共圆的一个内角等于对角的外角)CDEC DEDCBC2DE例8 O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EFFG【分析】由于FG切圆O于G，则有FG2FBFC，因此，只要证明FE2FBFC成立即可证明：在BFE与EFC中有BEFAC，又 BFEEFC，BFEEFC，FE2FBFC又FG2FBFC，FE2FG2， FEFG习题13一、选择题1在ABC中，ABC123，CDAB于D，ABa，则DB（ ）ABCD2如图，AD是ABC高线，DEAB于E，DFAC于F，则(1)AD2BDCD(2)AD2AEAB(3)AD2AFAC(4)AD2AC2ACCF中正确的有( )A1个B2个C3个D4个3如图，AB是O的直径，C，D是半圆的三等分点，则CED( )A135B110C145D1204如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D，连结AD，那么( )ABADCAD90BBADCADCBADCADDBADCAD二、填空题5在RtABC中，BAC90，ADBC于D，AB2，DB1，则DC_，AD_6在RtABC中，AD为斜边上的高，SABC4SABD，则ABBC_7如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB于点D，且AD3DB，设CODq ，则tan2_8如图，AB是O的直径，CB切O与B，CD切O与D，交BA的延长线于E若AB3，ED2，则BC的长为_三、解答题9如图，在梯形ABCD中，ABCD，O为内切圆，E为切点，()求AOD的度数；()若AO8 cm，DO6 cm，求OE的长10如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的O经过点D(1)求证：BC是O切线；(2)若BD5，DC3，求AC的长11如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CDAB于E，连结AC、OC、BC(1)求证：ACOBCD；(2)若BE2，CD8，求AB和AC的长专题十三 相似三角形定理与圆幂定理参考答案习题13一、选择题：1A 2C 3D 4C二、填空题5 612 7 83三、解答题9()ABCD，BADADC180.O内切于梯形ABCD，AO平分BAD，有DAOBAD，又DO平分ADC，有ADOADCDAOADO(BADADC)90，AOD180(DAOADO)90()在RtAOD中，AO8cm，DO6cm，由勾股定理，得E为切点，OEAD有AEO90，AEOAOD又CAD为公共角，AEOAOD.10(1)连接ODOAOD，AD平分BAC，ODAOAD，OADCADODACADODACODBC90BC是O的切线(2)过D作DEAB于EA