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高考数学复习资料 高考冲刺 分类讨论思想 热点分析热点分析 高考动向高考动向 分类讨论是一种重要的逻辑方法 也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一 突出 考查学生思维的严谨性和周密性 以及认识问题的全面性和深刻性 提高学生分析问题 解 决问题的能力 能体现 着重考查数学能力 的要求 因此分类讨论是历年数学高考的重点 与热点 而且也是高考的一个难点 数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分 它不仅形式多样 而且具有很强的综合性和逻 辑性 知识升华知识升华 1 分类讨论的常见情形分类讨论的常见情形 1 由数学概念引起的分类讨论 主要是指有的概念本身是分类的 在不同条件下有 不同结论 则必 须进行分类讨论求解 如绝对值 直线斜率 指数函数 对数函数等 2 由性质 定理 公式引起的分类讨论 有的数学定理 公式 性质是分类给出的 在不同条件下 结论不一致 如二次函数 y ax2 bx c a 0 由 a 的正负而导致开口方向不确定 等比数列前 n 项 和公式因公比 q 是否为 1 而导致公式的表达式不确定等 3 由某些数学式子变形引起的分类讨论 有的数学式子本身是分类给出的 如 ax2 bx c 0 a 0 a 0 a 0 解法是不同的 4 由图形引起的分类讨论 有的图形的类型 位置也要分类 如角的终边所在象限 点 线 面的 位置关系等 5 由实际意义引起的讨论 此类问题在应用题中常见 6 由参数变化引起的讨论 所解问题含有参数时 必须对参数的不同取值进行分类 讨论 含有参数 的数学问题中 参变量的不同取值 使得变形受限导致不同的结果 2 分类的原则分类的原则 1 每次分类的对象是确定的 标准是同一的 分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论 即认识为什么要分类讨论 又从几方面开 始讨论 只有明确了讨论原因 才能准确 恰当地进行分类与讨论 这就要求我们准确掌握 所用的概念 定理 定义 考虑问题要全面 函数问题中的定义域 方程问题中根之间的大 小 直线与二次曲线位置关系中的判别式等等 常常是分类讨论划分的依据 2 每次分类的对象不遗漏 不重复 分层次 不越级讨论 当问题中出现多个不确定因素时 要以起主导作用的因素进行划分 做到不重不漏 然 后对划分的每一类分别求解 再整合后得到一个完整的答案 数形结合是简化分类讨论的重 要方法 3 分类讨论的一般步骤分类讨论的一般步骤 第一 明确讨论对象 确定对象的范围 第二 确定分类标准 进行合理分类 做到不重不漏 第三 逐类讨论 获得阶段性结果 第四 归纳总结 得出结论 4 分类讨论应注意的问题分类讨论应注意的问题 第一 按主元分类的结果应求并集 第二 按参数分类的结果要分类给出 第三 分类讨论是一种重要的解题策略 但这种分类讨论的方法有时比较繁杂 若有可 能 应尽量避 免分类 经典例题透析经典例题透析 类型一 不等式中的字母讨论 1 解关于的不等式 思路点拨 思路点拨 依据式子的特点 此题应先按对最高次项的系数是否为 0 来分类 然 后对式子分解因式 并按两个根之间的大小关系来分类讨论 而对于与时 先写 简单好作的 解析 解析 1 当时 原不等式化为一次不等式 2 当时 原不等式变为 若 则原不等式化为 不等式解为或 若 则原不等式化为 当时 不等式解为 当时 不等式解为 当时 不等式解为 综上所述 原不等式的解集为 当时 解集为 当时 解集为 x x 1 当时 解集为 当时 解集为 当时 解集为 总结升华 总结升华 1 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤 1 明确讨论的对象 确定对象的全体 确定分类标准 正确分类 不重不漏 2 逐步进行讨论 获得结段性结论 3 归纳总结 综合结论 2 一般分类讨论问题的原则为 按谁碍事就分谁 不等式中的字母讨论标准有 最高次 项的系数能否为 0 不等式对应的根的大小关系 有没有根 判别式 等 3 字母讨论一般按从易到难 从等到不等的顺序进行 举一反三 举一反三 变式 变式 1 解关于的不等式 解析 解析 原不等式可分解因式为 下面按两个根与的大小关系分类 1 当 即或时 不等式为或 不等式的解集 为 2 当 即时 不等式的解集为 3 当 即或时 不等式的解集为 综上所述 原不等式的解集为 当或时 当时 当或时 变式 变式 2 解关于的不等式 解析 解析 1 当时 不等式为 解集为 2 当时 需要对方程的根的情况进行讨论 即时 方程有两根 则原不等式的解为 即时 方程没有实根 此时为开口向上的抛物线 故原不等式的解为 即时 方程有两相等实根为 则原不等式的解为 3 当时 恒成立 即时 方程有两根 此时 为开口向下的抛物线 故原不等式的解集为 综上所述 原不等式的解集为 当时 解集为 当时 解集为 当时 解集为 当时 解集为 类型二 函数中的分类讨论 2 设为实数 记函数的最大值为 设 求 的取值范围 并把表示为 的函数 求 试求满足的所有实数 解析 解析 I 要使 有意义 必须且 即 且 的取值范围是 由 得 II 由题意知即为函数 的最大值 时 直线是抛物线的对称轴 可分以下几种情况进行讨论 1 当时 函数 的图象是开口向上的抛物线的一 段 由知在上单调递增 故 2 当时 有 2 3 当时 函数 的图象是开口向下的抛物线的一 段 若即时 若即时 若即时 综上所述 有 III 当时 当时 故当时 当时 由知 故 当时 故或 从而有或 要使 必须有 即 此时 综上所述 满足的所有实数为 或 举一反三 举一反三 变式 变式 1 函数的图象经过点 1 3 且 f x 在 1 上恒 有 f x 3 求函数 f x 解析 解析 f x 图象经过点 1 3 则 整理得 解得或 1 当时 则 此时 x 1 时 f x 3 不满 足题意 2 当 则 此时 x 1 时 即 f x 3 满足题意为所求 综上 变式变式 2 已知函数有最大值 2 求实数的取值 解析 解析 令 则 1 当即时 解得 或 舍 2 当即时 解得 或 舍 3 当即时 解得 全都舍去 综上 当或时 能使函数的最大值为 2 3 已知函数 1 讨论的单调性 2 求在区间上的最小值 解析 解析 1 函数的定义域为 0 对求导数 得 解不等式 得 0 x e 解不等式 得 x e 故在 0 e 上单调递增 在 e 上单调递减 2 当 2a e 时 即时 由 1 知在 0 e 上单调递增 所以 当 a e 时 由 1 知在 e 上单调递减 所以 当时 需比较与的大小 因为 所以 若 则 此时 若 2 a e 则 此时 综上 当 0 a 2 时 当 a 2 时 总结升华总结升华 对于函数问题 定义域要首先考虑 而 中 比较大小时 作差应该是 非常有效的方法 举一反三 举一反三 变式 变式 1 设 1 利用函数单调性的意义 判断 f x 在 0 上的单调性 2 记 f x 在 0 x 1 上的最小值为 g a 求 y g a 的解析式 解析 解析 1 设 0 x1 x2 则 f x2 f x1 由题设 x2 x1 0 ax1 x2 0 当 0 x1 x2 时 f x2 f x1 0 即 f x2 f x1 则 f x 在区间 0 单调递减 当 x1 x2 时 f x2 f x1 0 即 f x2 f x1 则 f x 在区间 单调递增 2 因为 0 x 1 由 1 的结论 当 0 1 即 a 1 时 g a f 2 当 1 即 0 a 1 时 g a f 1 a 综上 所求的函数 y g a 变式 变式 2 求函数在上的值域 解析 解析 令 则 1 当 0 a 1 时 0 x a f x 0 只有 a 1 且 x 1 时 f x 0 f x 在 0 a 上单增 从而 值域为 2 当 a 1 时 0 x a f x 在单增 在上单减 并且 值域为 3 当 1 a 0 时 0 x a f x 在 0 a 上递减 从而即 值域为 4 当 a 1 时 0 x a f x 在单减 在上单增 又 值域为 类型三 数列 4 数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 Sn 是各项均为正数的等比数列 试比较 与的大小 并证明你的结论 解析 解析 设等比数列 Sn 的公比为 q 则 q 0 q 1 时 Sn S1 a1 当 n 1 时 a2 0 即 当 n 2 时 an Sn Sn 1 a1 a1 0 即 q 1 时 Sn S1 qn 1 a1 qn 1 当 n 1 时 即 当 n 2 时 an Sn Sn 1 a1 qn 1 a1 qn 2 a1 qn 2 q 1 此时 q 1 时 0 q 1 时 总结升华 总结升华 等比数列前 n 项和公式分 q 1 或 q 1 两种情况进行讨论 举一反三 举一反三 变式 变式 1 求数列 1 a a2 a2 a3 a4 a3 a4 a5 a6 其中 a 0 的前 n 项和 Sn 解析 解析 数列的通项 an an 1 an a2n 2 讨论 1 当 a 1 时 an n Sn 1 2 n 2 当 a 1 时 3 当 a 1 且 a 0 时 变式 变式 2 设 an 是由正数组成的等比数列 Sn是其前 n 项和 证明 解析 解析 1 当 q 1 时 Sn na1 从而 2 当 q 1 时 从而 由 1 2 得 函数为单调递减函数 变式 变式 3 已知 an 是公比为 q 的等比数列 且 a1 a3 a2成等差数列 求 q 的值 设 bn 是以 2 为首项 q 为公差的等差数列 其前 n 项和为 Sn 当 n 2 时 比较 Sn与 bn的大小 并说 明理由 解析 解析 由题设 2a3 a1 a2 即 2a1q2 a1 a1q a1 0 2q2 q 1 0 或 若 q 1 则 当 n 2 时 若 当 n 2 时 故对于 n N 当 2 n 9 时 Sn bn 当 n 10 时 Sn bn 当 n 11 时 Sn bn 变式 变式 4 对于数列 规定数列为数列的一阶差分数列 其中 一 般 地 规 定为的 k 阶 差 分 数 列 其 中 且 k N k 2 1 已知数列的通项公式 试证明是等差数列 2 若数列的首项 a1 13 且满足 求数 列 及的通项公式 3 在 2 的条件下 判断是否存在最小值 若存在 求出其最小值 若不存在 说明理由 解析 解析 1 依题意 数列是首项为 1 公差为 5 的等差数列 2 3 令 则当时 函数单调递减 当时 函数单调递增 又因 而 所以当 n 2 时 数列 an存在最小值 其最小值为 18 类型四 解析几何 5 已知椭圆 C 的方程为 点 P a b 的坐标满足 过点 P 的直线 l 与椭圆交于 A B 两点 点 Q 为线段 AB 的中点 求 1 点 Q 的轨迹方程 2 点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数 思路点拨 思路点拨 本题求点的轨迹方程 点与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交等知识 解析 解析 1 设点 A B 的坐标为 x1 y1 x2 y2 点 Q 的坐标为 Q x y 当 x1 x2时 可设直线 l y k x a b 由已知 y1 k x1 a b y2 k x2 a b 由 得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 由 得 y1 y2 k x1 x2 2ak 2b 由 及 得 点 Q 的坐标满足方程 2x2 y2 2ax by 0 当 x1 x2时 l 平行于 y 轴 因此 AB 的中点 Q 一定落在 x 轴上 即 Q 的坐标为 a 0 显然 Q 点的坐标满足方程 综上所述 点 Q 的坐标满足方程 2x2 y2 2ax by 0 设方程 所表示的曲线为 L 则由 得 2a2 b2 x2 4ax 2 b2 0 由于 8b2 a2 1 由已知 a2 1 所以当 a2 1 时 0 曲线 L 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P a b 当 a2 1 时 0 曲线 L 与椭圆无交点 而因为 0 0 在椭圆 C 内 又在曲线 L 上 所以曲线 L 在椭圆 C 内 故点 Q 的轨迹方程为 2x2 y2 2ax by 0 2 由 解得或 又由 解得或 则 当 a 0 b 0 即点 P a b 为原点 曲线 L 与坐标轴只有一个交点 0 0 当 a 0 且 0 b 时 即点 P a b 不在椭圆 C 外且在除去原点的 y 轴上时 点 a 0 与 0 0 重合 曲线 L 与坐标轴有两个交点 0 b 与 0 0 当 b 0 且 0 a 1 时 即点 P a b 不在椭圆 C 外且在除去原点的 x 轴上时 曲线 L 与坐标轴有两个交点 a 0 与 0 0 当 0 a 1 且 0 b 时 即点 P a b 在椭圆 C 内且不在坐标轴上时 曲线 L 与坐标轴有三个交点 a 0 0 b 与 0 0 总结升华 总结升华 本题充分运用了分类讨论的思想方法 以及综合运用知识解题的能力 此题运 算量大 涉及知识点较多 需要较高的运算能力和逻辑推理能力 做为考题区分度好 特别是分 类讨论时易出错 举一反三 举一反三 变式 变式 1 讨论 k 的取值 说明方程表示的曲线 解析 解析 方程中 x y 的平方项系数是否为 0 是否相等决定着方程表示的曲线 故需要对 k 值就以上情况分类讨论 当 k2 0 即 k 0 时 方程化为 表示顶点在原点 x 轴为对称轴 开口 向左的抛物线 当 2k 1 0 即时 方程化为 x x 8 0 x 0 或 x 8 表示 y 轴和过点 8 0 斜率不存在的两平行直线 当 k2 2k 1 即 k 1 时 方程化为 表示以 1 0 为圆心 半径 为 1 的圆 当 k 0 k 1 时 方程可化为 当 方程表示焦点在平行 y 轴直线上 中心在的椭圆 当时 方程表示以为中心 焦点在 x 轴上的双曲线 变式 变式 2 已知圆 x2 y2 1 和双曲线 x 1 2 y2 1 直线 l 与双曲线交于不同两点 A B 且线段 AB 的中点恰是 l 与圆相切的切点 求直线 l 的方程 解析 解析 当 l 斜率不存在时 由对称性可知 l 方程为 x 1 当 l 斜率存在时设 l 方程为 y kx b 由 l 与圆相切 l 方程代入双曲线整理得 1 k2 x2 2 kb 1 x b2 0 1 k2 0 0 设 A x1 y1 B x2 y2 AB 中点为 M 由 AB OM 整理得 k2 1 2kb 0 将 k2 1 b2代入 b2 2bk 0 b b 2k 0 b 0 否则 l 过原点与圆不相切 b 2k 解方程组 得 经检验 0 l 的方程为 x 1 或 高考冲刺 数形结合 热点分析热点分析 高考动向高考动向 数形结合应用广泛 不仅在解答选择题 填空题中显示出它的优越性 而且在解决一些 抽象数学问题中常起到事半功倍的效果 高考中利用数形结合的思想在解决选 填题中十分 方便 而在解答题中书写应以代数推理论证为主 几何方法可作为思考的方法 数形结合的 重点是研究 以形助数 但 以数解形 在近年高考试题中也得到了加强 其发展趋势不 容忽视 历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查 且占比例较大 知识升华知识升华 数形结合是通过 以形助数 将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形 或 以数助形 借助数的精确性来阐明形的某种属性 把抽象的数学语言与直观的图形结 合起来思考 也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来 是解决问题的一种数学思想方 法 它能使抽象问题具体化 复杂问题简单化 在数学解题中具有极为独特的策略指导与调 节作用 具体地说 数形结合的基本思路是 根据数的结构特征 构造出与之相应的几何图形 并利用图形的特性和规律 解决数的问题 或将图形信息全部转化成代数信息 使解决形的 问题转化为数量关系的讨论 选择题 填空题等客观性题型 由于不要求解答过程 就某些题目而言 这给学生创造 了灵活运用数形结合思想 寻找快速思路的空间 但在解答题中 运用数形结合思想时 要 注意辅之以严格的逻辑推理 形 上的直观是不够严密的 1 高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面 高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面 1 集合问题中 Venn 图 韦恩图 的运用 2 数轴及直角坐标系的广泛应用 3 函数图象的应用 4 数学概念及数学表达式几何意义的应用 5 解析几何 立体几何中的数形结合 2 运用数形结合思想分析解决问题时 要遵循三个原则 运用数形结合思想分析解决问题时 要遵循三个原则 1 等价性原则 要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应 2 双方性原则 既要进行几何直观分析 又要进行相应的代数抽象探求 仅对代数 问题进行几何分 析容易出错 3 简单性原则 不要为了 数形结合 而数形结合 具体运用时 一要考虑是否可 行和是否有利 二要选择好突破口 恰当设参 用参 建立关系 做好转化 三要挖掘隐含条件 准确界定参变 量的取值范围 特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳 3 进行数形结合的信息转换 主要有三个途径 进行数形结合的信息转换 主要有三个途径 1 建立坐标系 引入参变数 化静为动 以动求解 如解析几何 2 构造成转化为熟悉的函数模型 利用函数图象求解 3 构造成转化为熟悉的几何模型 利用图形特征求解 4 常见的 常见的 以形助数以形助数 的方法有 的方法有 1 借助于数轴 文氏图 树状图 单位圆 2 借助于函数图象 区域 如线性规划 向量本身的几何背景 3 借助于方程的曲线 由方程代数式 联想其几何背景 并用几何知识解决问题 如 点 直线 斜 率 距离 圆及其他曲线 直线和曲线的位置关系等 对解决代数问题都有重要作 用 应充分予以 重视 5 常见的把数作为手段的数形结合 常见的把数作为手段的数形结合 主要体现在解析几何中 历年高考的解答题都有这方面的考查 经典例题透析经典例题透析 类型一 利用数形结合思想解决函数问题 1 已知 若的最小值记为 写出 的表达式 思路点拨 思路点拨 依据函数的对称轴与区间的位置关系 结合函数图 象确定在上的增减情况 进而可以明确在何处取最小值 解析 解析 由于 所以抛物线的对称轴为 开口向上 当 即时 在 t t 1 上单调递增 如图 所示 当 x t 时 最小 即 当 即时 在上递减 在上递增 如图 当时 最小 即 当 即时 在 t t 1 上单调递减 如图 当 x t 1 时 最小 即 图 图 图 综合 得 总结升华总结升华 通过二次函数的图象确定解题思路 直观 清晰 体现了数形结合的优越性 应特别注意 对于二次函数在闭区间上的最值问题 应抓住对称轴与所给区间的相对位置关 系进行讨论解决 首先确定其对称轴与区间的位置关系 结合函数图象确定在闭区间上的增 减情况 然后再确定在何处取最值 举一反三 举一反三 变式 变式 1 已知函数在 0 x 1 时有最大值 2 求 a 的值 解析 解析 抛物线的开口向下 对称轴是 如图所示 1 2 3 1 当 a 0 时 如图 1 所示 当 x 0 时 y 有最大值 即 1 a 2 即 a 1 适合 a 0 2 当 0 a 1 时 如图 2 所示 当 x a 时 y 有最大值 即 a2 a 1 2 解得 0 a 1 不合题意 3 当 a 1 时 如图 3 所示 当 x 1 时 y 有最大值 即 a 2 综合 1 2 3 可知 a 的值是 1 或 2 变式 变式 2 已知函数 写出的单调区间 设 求在 0 a 上的最大值 解析 解析 如图 1 的单调增区间 单调减区间 1 2 2 当 a 1 时 当时 当 变式 变式 3 已知 1 若 在上的最大值为 最小值为 求证 2 当 时 对于给定的负数 有一个最大的正数 使得 x 0 时 都有 f x 5 问 a 为何值时 M a 最大 并求出这个最大值 解析 解析 1 若 a 0 则 c 0 f x 2bx 当 2 x 2 时 f x 的最大值与最小值一定互为相反数 与题意不符合 a 0 若 a 0 假设 区间 2 2 在对称轴的左外侧或右外侧 f x 在 2 2 上是单调函数 这是不可能的 2 当 时 所以 图 1 图 2 1 当即 时 如图 1 则 所以是方程的较小根 即 2 当即 时 如图 2 则 所以是方程的较大根 即 当且仅当 时 等号成立 由于 因此当且仅当时 取最大值 类型二 利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2 若关于 x 的方程有两个不同的实数根 求实数 m 的取值范围 思路点拨思路点拨 将方程的左右两边分别看作两个函数 画出函数的图象 借助图象间的关系后求 解 可简化运算 解析 解析 画出和的图象 当直线过点 即时 两图象有两个交点 又由当曲线与曲线相切时 二者只有一个交点 设切点 则 即 解得切点 又直线过切点 得 当时 两函数图象有两个交点 即方程有两个不等实根 误区警示 作图时 图形的相对位置关系不准确 易造成结果错误 总结升华 总结升华 1 解决这类问题时要准确画出函数图象 注意函数的定义域 2 用图象法讨论方程 特别是含参数的方程 解的个数是一种行之有效的方法 值得 注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 有时可能先作适当调整 以便于作图 然后作出两 个函数的图象 由图求解 3 在运用数形结合思想分析问题和解决问题时 需做到以下四点 要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征 要恰当设参 合理用参 建立关系 做好转化 要正确确定参数的取值范围 以防重复和遗漏 精心联想 数 与 形 使一些较难解决的代数问题几何化 几何问题代数化 便于问题求解 举一反三 举一反三 变式 变式 1 若关于 x 的方程在 1 1 内有 1 个实根 则 k 的取值范围 是 解析解析 把方程左 右两侧看作两个函数 利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个 数 设 x 1 1 如图 当或时 关于 x 的方程在 1 1 内有 1 个实根 变式 变式 2 若 0 2 且方程有两个不同的实数根 求实数 m 的取值范围及这两个实根的和 解析 解析 将原方程转化为三角函数的图象与直线 有两个不同的 交点时 求 a 的范围及 的值 设 在同一坐标中作出这两个函数的图象 由图可知 当或时 y1与 y2的图象有两个不同交点 即对应方程有两个不同的实数根 若 设原方程的一个根为 则另一个根为 若 设 原 方 程 的 一 个 根 为 则 另 一 个 根 为 所以这两个实根的和为或 且由对称性可知 这两个实根的和为或 类型三 依据式子的结构 赋予式子恰当的几何意义 数形 结合解答 3 求函数的最大值和最小值 思路点拨思路点拨 可变形为 故可看作是两点 和的连线斜率的倍 只需求出范围即可 也可以利用三角函数的有界性 反解求解 方法一 方法一 数形结合 可看作是单位圆上的动点 为圆外一点 如图 由图可知 显然 设直线的方程 解得 方法二 方法二 令 总结升华总结升华 一些代数式所表示的几何意义往往是解题的关键 故要熟练掌握一些代数式 的几何意义 1 表示动点 x y 与定点 a b 两点间的距离 2 表示动点 x y 与定点 a b 两点连线的斜率 3 求 ax by 的最值 就是求直线 ax by t 在 y 轴上的截距的最值 举一反三 举一反三 变式 变式 1 已知圆 C x 2 2 y2 1 P x y 为圆 C 上任一点 1 求的最大 最小值 2 求的最大 最小值 3 求 x 2y 的最大 最小值 解析 解析 联想所求代数式的几何意义 再画出草图 结合图象求解 1 表示点 x y 与原点的距离 由题意知 P x y 在圆 C 上 又 C 2 0 半径 r 1 OC 2 的最大值为 2 r 2 1 3 的最小值为 2 r 2 1 1 2 表示点 x y 与定点 1 2 两点连线的斜率 设 Q 1 2 过 Q 点作圆 C 的两条切线 如图 将整理得 kx y 2 k 0 解得 所以的最大值为 最小值为 3 令 x 2y u 则可视为一组平行线系 当直线与圆 C 有公共点时 可求得 u 的范围 最值必在直线与圆 C 相切时取得 这时 x 2y 的最大值为 最小值为 变式 变式 2 求函数的最小值 解析 解析 则 y 看作点 P x 0 到点 A 1 1 与 B 3 2 距离之和 如图 点 A 1 1 关于 x 轴的对称点 A 1 1 则即为 P 到 A B 距离之和的最小值 变式变式 3 若方程 x2 1 a x 1 a b 0 的两根分别为椭圆 双曲线的离心率 则的取 值范围是 A B 或C D 或 解析 解析 如图 由题知方程的根 一个在 0 1 之间 一个在 1 2 之间 则 即 下面利用线性规划的知识 则可看作可行域内的点与原点 O 0 0 连线的 斜率 则 选 C 高考冲刺 转化与化归思想 热点分析热点分析 高考动向高考动向 转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位 可以说比比皆是 如未知向已知的转化 新知识向旧知识的转化 复杂问题向简单问题的转化 不同数学问题之间的互相转化 实际 问题向数学问题转化等等 各种变换 具体解题方法都是转化的手段 转化的思想方法渗透 到所有的数学教学内容和解题过程中 知识升华知识升华 转化与化归思想方法 就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换 使之转化 进而得到解决的一种方法 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 将未解决的问题变换转化为已解决的问题 解题的过程就是 化归 的过程 不断地改变待解决的问题 重新叙述它 变换它 直到最 后成功地找到某些有用的东西为止 1 转化与化归应遵循的原则 转化与化归应遵循的原则 1 熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题 以利于我们运用熟知的知识 经 验和方法来解决 2 简单化原则 将复杂问题化归为简单问题 通过对简单问题的解决 达到解决复 杂问题的目的 或获得某种解题的启示和依据 3 和谐化原则 化归问题的条件或结论 使其表现形式更符合数与形内部所呈现的 和谐统一的形 式 或者转化命题 使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律 4 直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决 5 正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时 可考虑问题的反面 设法从问题的 反面去探求 使 问题获解 2 转化与化归的基本类型 转化与化归的基本类型 1 正与反 一般与特殊的转化 即正难则反 特殊化原则 2 常量与变量的变化 即在处理多元问题时 选取其中的变量 或参数 当 主元 其他的变量 看作常量 3 数与形的转化 即利用对数量关系的讨论来研究图形性质 也可利用图形直观提 供思路 直观地 反映函数或方程中的变量之间的关系 4 数学各分支之间的转化 如利用向量方法解立体几何问题 用解析几何方法处理 平面几何 代 数 三角问题等 5 相等与不等之间的转化 如利用均值不等式 判别式等 6 实际问题与数学模型的转化 3 常见的转化方法 常见的转化方法 1 直接转化法 把原问题直接转化为基本定理 基本公式或基本图形问题 2 换元法 运用 换元 把超越式转化为有理式或使整式降幂等 把较复杂的函数 方程 不等式 问题转化为易于解决的基本问题 3 数形结合法 研究原问题中数量关系 解析式 与空间形式 图形 关系 通过 互相变换 获得 转化途径 4 参数法 引进参数 使原问题的变换具有灵活性 易于转化 5 构造法 构造 一个合适的数学模型 把问题变为易于解决的问题 6 坐标法 以坐标系为工具 用计算方法解决几何问题 7 类比法 运用类比推理 猜测问题的结论 8 特殊化方法 把原问题的形式向特殊化形式转化 并证明特殊化后的结论适合原 问题 9 一般化方法 当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时 可将 问题通过一般化 的途径进行转化 10 等价问题法 把原问题转化为一个易于解决的等价命题 达到转化目的 11 加强命题法 在证明不等式时 原命题难以得证 往往把命题的结论加强 即把 命题的结论加强 为原命题的充分条件 反而能将原命题转化为一个较易证明的命题 加强命题法 是非等价转化方 法 12 补集法 如果正面解决原问题有困难 可把原问题结果看作集合 A 而把包含该 问题的整体问题 的结果类比为全集 U 通过解决全集 U 及补集获得原问题的解决 以上所列的一些方法是互相交叉的 不能截然分割 经典例题透析经典例题透析 类型一 常量与变量的转化问题 1 已知二次方程 ax2 2 2a 1 x 4a 7 0 中的 a 为正整数 问 a 取何值时此方程 至少有一个整数根 思路点拨思路点拨 本题可以将原方程变为关于 a 的式子 根据 a 为正整数 得出 x 的取值 再代回去 求出 a 的值 解析 解析 原方程即是 x2 4x 4 a 2x 7 x 2 不是原方程的解 又 a 为正整数 解得 3 x 1 又 x 是整数且 x 2 x 3 1 0 1 把它们分别代入原方程得 故当 a 1 或 a 5 时 原方程至少有一个整数根 知识升华知识升华 解决本题易按求根公式 讨论方程至少有一个整数根的条件 而无法进行下 去 将变量与参数变更关系 视 a 为主元 转换思考的角度 使解法变得简易 举一反三 举一反三 变式 1 已知 a 0 且 a 1 若关于 x 的方程 loga x 3 loga x 2 loga x 1 1 有实根 求实数 a 的取值范围 解析 解析 要使原方程有意义 需 解得 x 3 原方程化为 x 3 a x 1 x 2 在区间 3 上有解 问题转化为求右端在 3 上的值域 即将 a 看作 x 的函数 a x 由 x 3 x 3 0 当且仅当 即时取等号 又 x 3 时 a 0 故 a 的取值范围是 变式 2 设 若 t 2 2 时 y 0 恒成立 求 x 的取值范围 答案 答案 类型二 等价转化 2 已知函数的值域为 1 4 求实数 a b 的值 思路点拨思路点拨 设 将所给函数看作关于 x 的方程 则由题意可知当 y 1 4 时 关于 x 的方程有实数解 解析 解析 的定义域为 R 故可等价转化为 yx2 ax y b 0 令 a2 4y y b 0 即 4y2 4by a2 0 则由题意可知 不等式 4y2 4by a2 0 的解集为 1 4 也就是 1 4 是关于 y 的方程 4y2 4by a2 0 的两根 a 4 b 3 所以所求实数 a 4 b 3 总结升华总结升华 本题是利用函数 不等式与方程的关系一步一步地等价转化使问题得以解决 常见的转化类型有高次向低次的转化 多元向一元的转化 分式向整式的转化 无理向有理 的转化 空间向平面的转化等 举一反三 举一反三 变式 1 已知奇函数在定义域 1 1 上是减函数 且 求实数的取值范围 答案 答案 变式 2 若的图象在 0 1 内与 x 轴恰好有一个交点 则 a 的取 值范围为 解析 解析 的图象是直线 在 0 1 内与 x 轴恰有一个交点 则 则 a 3 当 a 0 时不合题意 变式 3 已知函数 满足 求的 最大值 最小值及取得最大值和最小值时对应 a c 的值 答案 答案 此时 此时 类型三 正面与反面的转化问题 3 已知非空集合 A x x2 Amx 2m 6 0 x R 若 A R 求实数 m 的 取值范围 R 表示负实数集 R 表示正实数集 思路点拨 思路点拨 本题可以根据 A R 的反面 A R 时的取值范围进行求解 解析 解析 设全集 U m 16m2 8m 24 0 m m 1 或 方程 x2 4mx 2m 6 0 的两根均非负的充要条件是 可得 A R 时 实数 m 的取值范围为 A R 时 实数 m 的取值范围为 m m 1 知识升华 知识升华 正面难以解决的问题 可采用补集的思想 转化为反面问题来解决 一个题 目若出现多种成立的情况 则不成立的情况一般较少 易从反而考虑 比如题目中出现 至 多 至少 等字眼时 举一反三 举一反三 变式 1 试求常数 m 的范围 使曲线 y x2的所有弦都不能被直线 y m x 3 垂直平分 解析 解析 问题可以转化为 为使曲线 y x2有两个对称于直线 y m x 3 的点 求 m 的取值范围 易得 因此原问题的解是 变式 2 已知二次函数 f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 若区间 1 1 内至少存在一个实数 c 使 f c 0 则实数 p 的取值范围是 A B C D 解析 解析 问题转化为先求在 1 1 内没有一个实数 C 使 f c 0 即对任意 x 1 1 f x 0 的 P 的取值范围 由二次函数 f x 在 1 1 的图形易知 f 1 0 且 f 1 0 解得 或 P 3 满足已知条件的 P 的取值范围为 变式 3 已知 三条 抛 物线 中至少有一条与 x 轴相交 求实 a 的取值范围 答案 答案 或 类型四 换元转化问题 4 求函数的最大值 思路点拨 思路点拨 令 t sin x 将函数转化为关于 t 的二次函数 再求二次函数在区间 1 1 上的最大值 解析 解析 设 sin x t 则 1 t 1 令 如图所示 当 a 0 时 有 同理 当 a 0 时 有 所以 当 a 0 时函数的最大值为 3 4a 当 a 0 时函数的最大值为 3 4a 总结升华 总结升华 通过换元将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题 特别注意 换元后所得 t 的函数的定义域为 1 1 应该讨论二次函数对应的抛物线 的对称轴相对于区间 1 1 的位置 才能确定其最值 举一反三 举一反三 变式 1 已知 x2 y2 1 则 z x 2y 的取值范围是 解析 解析 令 x cos y sin 则 变式 2 已知 a R 求函数 y a sin x a cos x 的最小值 解析 解析 设 t sin x cos x 则 故 而 于是 原问题化归为求二次函数在上的最 值问题 当时 若 t a 当时 在上 单 调 递 减 当时 在上 单 调 递 增 变式 3 已知 t R 1 当 t 1 时 解不等式 2 如果 x 0 1 时 恒成立 求参数 t 的取值范围 答案答案 1 2 t 1 类型五 命题的转化 5 关于 x 的方程 x3 3x2 a 0 只有一个实数根 求 a 的取值范围 思路点拨思路点拨 本题是一个高次方程的问题 无法用判别式去判定根的个数 故可以转化 命题 转化为曲线 y x3 3x2与直线 y a 有一个交点 求实数 a 的取值范围 解析 解析 由 x3 3x2 a 0 得 a x3 3x2 令 令 得 x 0 或 x 2 当 x 0 时 当 x 0 2 时 当 x 2 时 所以在 0 和 2 上是增函数 在 0 2 上为减函数 又 如图所示 画出的草图 结合图象 直线 y a 与曲线 y x3 3x2有一个公共点时 则 a 4 或 a 0 所以关于 x 的方程 x3 3x2 a 0 只有一个实数根时 实数 a 的取值范围为 a 4 或 a 0 总结升华总结升华 在解题的过程中 直接考虑思维受阻时 要学会变换解决问题的角度 转化 命题的形式 使问题变得直观 简洁 进而使问题得以解决 有些问题可以考虑其反面 通 过解决反面使问题得以解决 有些空间中的问题转化为平面问题则变得简洁 这就是转化与 化归思想的真谛 举一反三 举一反三 变式 设 0 2 且方程有两个不同的实数根 求实数 m 的 取值范围及这两个实根的和 解析 解析 将原方程转化为三角函数的图象与直线 有两个不同的 交点时 求 a 的范围及 的值 如图 在同一坐标系中 作出及 y m 的图象 由图可知 当或时 直线与曲线有两个交点 即原方程有两个不同实根 若 设原方程的一个根为 则另一个根为 若 设原方程的一个根为 则另一个根为 且由对称性可知 这两个实根的和为或 高考冲刺 怎样解数学选择题 热点分析热点分析 高考动向高考动向 数学选择题在当今高考试卷中 不但题目数量多 且占分比例高 考生能否迅速 准确 全面 简捷地解好选择题 成为得分的关键 并且直接影响到解答题的答题时间及答题的情 绪状态 高考中数学选择题属小题 具有概括性强 知识覆盖面宽 小巧灵活 有一定的综合性 和深度的特点 解题的基本原则是 小题不能大做 因而答题方法很有技巧性 如果题 题都严格论证 个个都详细演算 耗时太多 以致于很多学生没时间做后面会做的题而造成 隐性失分 留下终生遗憾 夺取高考数学试卷高分的关键就是 准 快 稳 地求解选择题 准确是解答选 择题的先决条件 选择题不设中间分 一步失误 造成错选 全题无分 所以应仔细审题 深入分析 正确推演 谨防疏漏 初选后认真检验 确保准确 迅速是赢得时间获取高分的 必要条件 高考中考生不适应能力型的考试 致使 超时失分 也叫 隐形失分 是造 成低分的一大因素 对于选择题的答题时间 应该控制在不超过 40 分钟左右 速度越快越好 高考要求每道选择题在 1 3 分钟内解完 知识升华知识升华 选择题的结构特点选择题的结构特点 选择题有题干和 个可供挑选的选择项 其中一个正确答案 三个诱误项 选择题的 结构中包含着我们解题的信息源 特别注意 个选择支也是已知条件 选择题的求解策略选择题的求解策略 充分利用题设和选择项两方面所提供的信息作出判断 一般来说 能定性判定的 就不 再使用复杂的定量计算 能使用特殊值判定的 也不必采用常规解法 能使用间接解法的 也不必采用直接解法 对于明显可以否定的选择项 应及早排除 以缩小选择的范围 对于 具有多种解题思路的 宜于选择最简解法等等 一般有两种思路 一是从题干出发考虑 探 求结果 二是从题干和选择项联合考虑或从选项出发探求是否满足题干条件 选择题的常用方法选择题的常用方法 由于选择题提供了备选答案 又不要求写出解题过程 因此出现了一些特有的解法 在 选择题求解中很适用 结合数学选择题的结构特点及近几年的高考题 有以下几种常用解法 直接法 排除法 特例法 图解法 数形结合法 代入法 经典例题透析经典例题透析 类型一 直接法 直接从题设条件出发 运用有关 运用有关的概念 定义 公理 定理 性质 公式等 使用正确的解题方法 经过严密的推理和准确的运算 得出正确的结论 然后对照题目中给 出的选择项 对号入座 作出相应的选择 这种方法称之为直接法 是一种基础的 重要 的 常用的方法 一般涉及概念 性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法 1 设是 上的奇函数 当 0 x 1 时 则等于 A 0 5B 0 5C 1 5D 1 5 思路点拨 思路点拨 认真分析题目已知 若能发现的周期性 即能看出 对解题将会带来极大的方便 解析 解析 是以 4 为周期的函数 又 为奇函数 且有当 0 x 1 时 选 B 总结升华总结升华 直接法解选择题 它和解解答题的思路 程序方法是一致的 不同之处在于 解选择题不需要书写过程 这就给我们创造灵活解答选择题的空间 即在推理严谨 计算准 确的前提下 可以简化解题的步骤 简化计算 再就是在考查问题的已知条件和选择项的前 提下 洞察问题的实质 找寻到最佳的解题方法 这样才会使问题解得真正的简洁 准确 迅速 举一反三 举一反三 变式 1 设 F1 F2为双曲线的两个焦点 点 P 在双曲线上 且满足 F1PF2 90 则 F1PF2的面积为 A 1B C 2D 解析 解析 选 A 变式 2 设函数 f x Asin x j 其中 A 0 0 x R 则 f 0 0 是 f x 为 奇函数的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 解析 若 f 0 0 即 sinj 0 j k k Z f x Asin x 或 f x Asin x f x 为奇函数 则充分性成立 若 f x 为奇函数 则 f x f x 0 恒成立 f 0 f 0 0 f 0 0 则必要性成立 选 C 类型二 排法除 从已知条件出发 通过观察分析或推理运算各选项提供的信息 对于错误的选项 逐一 剔除 从而获得正确的结论 这种方法称为排除法 排除法常常应用于条件多于一个时 先 根据一些已知条件 在选择项中找出与其相矛盾的选项 予以排除 然后再根据另一些已知 条件 在余下的选项中 再找出与其矛盾的选项 再予以排除 直到得出正确的选项为止 2 双曲线 mx 2 y2 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍 则 m A B 4C 4D 解析 解析 曲线 mx 2 y2 1 是双曲线 m 0 排除 C D 将代入 方程变为 虚轴长为 4 而实轴长为 2 满足题意 应选 A 总结升华总结升华 排除法一般是适用于不易用直接法求解的问题 排除法的主要特点就是能较 快的限制选择的范围 从而目标更加明确 这样就可以避免小题大做 小题铸错 认真而又 全面的观察 深刻而又恰当的分析 是解好选择题的前提 用排除法解题尤其注意 不然的 话就有可能将正确选项排除在外 导致错误 当题目中的条件多于一个时 先根据某些条件 在选择支中找出明显与之矛盾的 予以否定 再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找 出矛盾 这样逐步排除 直到得出正确的选择 它与特例法 图解法等结合使用是解选择题 的常用方法 举一反三 举一反三 变式 1 如图是周期为 2 的三角函数的图象 那么可以写成 A sin 1 x B sin 1 x C sin x 1 D sin 1 x 解析 解析 选图象上的特殊点 1 0 易排除 A B 又 x 0 时 y 0 排除 C 应选 D 变式 2 钝角三角形的三边分别为 a a 1 a 2 其最大角不超过 120 则 a 的取 值范围是 A B C D 解析 解析 令 a 1 则三边为 1 2 3 不能构成三角形 排除 A D 令 a 3 则三边为 3 4 5 三角形应为直角三角形 排除 C 故选 B 如果该题用直接法解 设最大角为 C 则 这样解起来较麻烦 变式 3 设集合 A 则等于 A B C D 解析 解析 因为 显然 x 0 排除 C D 取 x 1 不属于集合 排除 B 故选 A 变式 4 不等式 ax 2 ax b 0 a b Z 且 a 0 的解集是区间 2 1 满足这个条件的 绝对值最小的 a 和绝对值最小的 b 值分别是 A a 1 b 2B a 1 b 2C a 1 b 2D a 1 b 2 解析 解析 首先 二次不等式 ax 2 ax b 0 的解集为 2 1 由二次函数的图象易知 必有 a 0 可排除 A C 其次 将选择项 D 的结论 a 1 b 2 代入不等式 则不等式化为 x 2 x 2 0 即 x2 x 2 0 此不等式无解 故 D 也被排除 故选 B 类型三 特例法 根据题设和各选项的具体情况和特点 选取满足条件的特殊的数值 特殊的集合 特殊 的点 特殊的图形或者特殊的位置状态 代替题设普遍条件 得出特殊结论 对各个选项进 行检验 从而得到正确的判断的方法称为特例法 常用的特例有特殊数值 特殊数列 特殊 函数 特殊图形 特殊角 特殊位置等 3 若 则 A B C D 解析 解析 取 满足不等式 即 否定 A C D 应选 B 总结升华总结升华 本题是采用设特殊值的方法进行检验得解的 用特例法解决问题时要注意以 下两点 1 所选取的特殊值或特殊点一定要简单 且符合题设条件 2 有时因问题需要或选取数值或点不当可能会出现两个或两个以上的选择项都正确 这时应根据问 题的题设再恰当地选取一个特殊值或点进行检验 以达到选择正确选项的目的 举一反三 举一