南京大学大一上数学系期中试卷2011final.pdf

微积分微积分微积分微积分 I I I I 第一层次 期中试题 第一层次 期中试题 第一层次 期中试题 第一层次 期中试题 2011 11 122011 11 122011 11 122011 11 12 第第第第 1 1 1 1 页页页页 共共共共 4 4 4 4 页页页页 微积分微积分微积分微积分 I I I I 第一层次 期中试题参考答案 第一层次 期中试题参考答案 第一层次 期中试题参考答案 第一层次 期中试题参考答案2011 11 122011 11 122011 11 122011 11 12 一 12 分 每小题 6 分 用极限定义证明下列极限 1 1 lim0 1 1 n n n N 语言 2 2 lim2 2 x x 语言 证明 1 因为 11 1 1 1 n nnn nn 所以0 取 2 1 1N 当nN 时 有 11 0 1 1 n n n 取 当0 2 x 有 2 2 2 2 2 2 x xx x 2 0 1cos lim 1 cos x x xx 微积分微积分微积分微积分 I I I I 第一层次 期中试题 第一层次 期中试题 第一层次 期中试题 第一层次 期中试题 2011 11 122011 11 122011 11 122011 11 12 第第第第 2 2 2 2 页页页页 共共共共 4 4 4 4 页页页页 3 1 ln 0 lim csc x x x 4 1 1 0 ln 1 lim x e x x x 解 1 原式 1ln 222 1 1 11 1 lim1lim1limlnln 1 a n nn nnn nnn na ana enaa n n 2 原式 2 2 00 1 cos0 51 limlim 2 1cos 2 xx xx x x xx i 3 原式 0 0 lnsincos sin exp lim exp lim 1 ln1 xx xxx e xx 4 原式 2 000 ln 1 ln 1 1 1 1 exp lim exp lim exp lim 1 1 2 x xxx xxxxx e x exx 三 6 分 求arctanxx 关于基准无穷小x的无穷小主部 因为 2 132 000 arctan1 1 1 11 limlimlim 3 1 3 kkk xxx xxx k xkxkxx 所以arctanxx 关于基准无穷小x的无穷小主部为 3 1 3 x 四 18 分 每小题 6 分 计算下列各题 1 设 yy x 由 2 ln 1 arctan xt ytt 所确定 求 2 2 d y dx 解 2 2 1 1 1 2 1 2 dydy dttt dxdx dttt 22 22 111 2 2 1 4 d yddydtt dxdt dx dx dtdtttt 2 设 2 1 2 y xx 求 1 n yn 解 因为 111 321 y xx 所以 11 1 11 3 2 1 n n nn n y xx 3 设 1 arcsiny x 求dy 微积分微积分微积分微积分 I I I I 第一层次 期中试题 第一层次 期中试题 第一层次 期中试题 第一层次 期中试题 2011 11 122011 11 122011 11 122011 11 12 第第第第 3 3 3 3 页页页页 共共共共 4 4 4 4 页页页页 解 3 2 11 21 2 1 1 dx dydx x x x x i 五 10 分 设 11 10 6 1 2 nn xxxn 求其极限 并论证极限的存在性 解 设lim n n xA 对 1 6 nn xx 两边关于n 取极限 得6AA 解得 23 AA 或舍去 所以lim2 n n x 下面对这个极限证明之 因为 1 11 1 2 1 0 2 2 62 2 262 n nnnn n x xxxx x 11 1 11 2 12 22 nn x 由 闭区间上连续函数的零点定理 存在 1 1 0 1 cx 使得 0F c 即 f cc 2 设 0 x G xef xx xc 0 c G xC G x在 0 c上可导 且 0 0GG c 由洛尔定理 存在 0 0 1 cc 使得 0 G 而 1 1 xxx G xef xxefxefxf xx 将 代人 0 G x 并整理可得 1ff 八 8 分 已知 2 lim0 1 x x axb x 求常数