同济大学 高等数学下 03年期末考试试卷.pdf

高等数学高等数学 B 下 期终考试试卷 下 期终考试试卷 2003 年 6 月 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 一 填空题 每小题 5 分 共 40 分 1 曲面3 xyze z 在点 0 1 2 处的切平面方程是 答 答 042 yx 2 设有向闭曲线L从点 0 1 A沿直线到点 1 0 B 再沿圆弧1 22 yx逆时针 到点 0 1 C 然后沿直线回到点A 则 L xdyydx 2 1 答 答 42 1 3 设 为柱面1 22 yx夹在平面0 z与az 0 a部分的外侧 则 dxdyzdzdxydydzx A a B a2 C a3 D a4 答 B 答 B 4 设 为平面132 zyx在第四卦限部分的右侧 则 dxdyzdzdxydydzx 222 A dSzyx 222 32 B dSzyx 222 32 14 1 C dSzyx 222 32 D dSzyx 222 32 14 1 答 D 答 D 5 设0 a是常数 级数 1 2 3 1ln 1 n n n a 的收敛性为 A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 与a有关 答 A 答 A 6 设级数 0n n nx a的收敛半径3 R 则 必然是级数 0 1 n n n xa的收敛域 的子集 A 1 0 1 2 B 2 1 0 1 C 4 3 2 1 D 5 4 3 2 答 B 答 B 7 常系数线性微分方程0136 yyy的通解是 y 答 答 xCxCeCy x 2sin2cos 32 3 1 8 设 xf是 偶 函 数 且 周 期 为 2 它 在 0 的 表 达 式 为 x xx xf 2 1 2 0 xf的 傅 里 叶 级 数 为 1 0 cos 2 n n xna a 则 2 a 答 答 2 1 二 8 分 设函数 uf有连续的导数且1 1 f yxfz 其中 xyy 由 方程0 ye xy 确定 求 0 x dx dz 答 答 当0 x时 由方程0 ye xy 确定1 y 且 1 1 0 2 0 x x xy y dx dy dx dy yxf dx dz 1 0 x dx dz 2 11 1 f 三 10 分 求二重积分 D dxdyyx 1 22 其中平面区域D 1 x 1 y 答 答 1 1 4 22 D dxdyyxI 1 1 1414 2222 D D dxdyyxdxdyyx 1 0 2 2 0 14 dd 1 1 22 1 0 2 14 x dyyxdx 2 3 4 2 3 4 四 8 分 设 是顶点在球面 2222 aazyx 上的半顶角为 6 的内接正圆锥体 如图所示 若 的 密度为常数 求它对位于原点的单位质点的引力 引 力常数为G 三重积分的应用 答 三重积分的应用 答 0 x F 0 y F 3 r zdV GFz cos2 3 0 2 3 6 0 2 0 cos sin a drr r r ddG Ga 2 3 13 五 10 分 设一质量为m kg 的物体沿着螺旋线轨道 z y x sin cos 02 向下滑动 在滑动期间 它受到与运动方向 即 的切线方向 相反的摩擦力的作用 摩擦力的大小为重力的一半 1 写出摩擦力函数F 的表达式 2 试求物体从点 0 1 2A滑动到点 0 0 1 B摩擦力所做的功 第二类曲线积分 答 1 摩擦力 第二类曲线积分 答 1 摩擦力 1 cos sin 22 mg F 或 或 1 22 xy mg F 2 2 rdFW dzdydx mg cossin 22 0 2 22 1cossin 22 d mg mg 2 六 12 分 设函数 uf有二阶连续的导数 令 22 yxu 则复合函数 22 yxfz 满足 2222 2 2 2 2 yxzyx y z x z 1 证明 uf满足微分方程uff 4 1 4 1 2 求函数 uf 偏导数与微分方程 答 1 偏导数与微分方程 答 1 4 2 22222 2 2 yxfxyxf x z 4 2 22222 2 2 yxfxyxf y z 由 由 2222 2 2 2 2 yxzyx y z x z 得 得uff 4 1 4 1 2 由特征方程 2 由特征方程0 4 1 2 r 解得 解得 2 1 r 解得 解得 uf ueCeCuf uu 2 2 2 1 七 12 分 确定幂级数 1 12 n n xn的收敛域并求该幂级数的和函数 xs 1 1 lim lim 2 2 1 n n a a n n n n 收敛半径 收敛半径1 R 在 在1 x处级数发散 故收敛域为处级数发散 故收敛域为 1 1 因 因 x dxxs 0 1n n nx 故 故 x dxxs x 0 1 1 n n nx d