考研2012届钻石卡学员基础阶段高数测试卷二答案(数一).pdf

您的满意是我们唯一和全部的追求 第 页 共 10 页 1 2012 届钻石卡学员基础阶段测试卷二答案届钻石卡学员基础阶段测试卷二答案 数一高数数一高数 一 选择题一 选择题 本题共 8 小题 每小题 4 分 满分 32 分 每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要 求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D A B C D C 1 当0 x 时 下述一些无穷小与 3 x为同阶无穷小的是 A 32 xxx B 1 cosx x x C 2ln 1 0 1 x t xedt D ln 1 1 sin1 x xx 答案 C 解析 A 项 当0 x 时 322 xxxx 是比 3 x低阶的无穷小 B 项 当0 x 时 2 1 1 cos1 2 2 x x xx xx 是比 3 x低阶的无穷小 C 项 当0 x 时 2 2ln 1 ln1 2 0 3322 0000 1 11 ln11 1 limlimlimlim 33 x x t xxxx eedt xx x xxxx 2 2 0 11 lim 33 x x x 是与 3 x为同阶无穷小 D 项 当0 x 时 ln 1ln 1ln 1 sin 1 sin11 ln 1ln 1 sin sin xxx xxexxxx 2 x是比 3 x低阶的无穷小 因此 答案选 C 2 设函数 f x可导 0 0f 0 1 f 3 0 sin 1 lim 2 k x fx x 则 A 2k 2 B 3k 3 C 3k 2 D 4k 1 答案 C 解析 33 3 3 00 sinsin sin limlim sin kk xx fxfx x xxx 3 3 3 0 33 00 3 0 sin0 sin lim sin0 sinsin 0lim01lim 1sin1 lim 2 k x kk xx k x fxf x xx xx ff xx x x 23k 因此故应选 C 您的满意是我们唯一和全部的追求 第 页 共 10 页 2 3 设 f x与 g x在 0 xx 处可导 并且是它们的极大值点 F xf x g x 则 A 0 xx 必是 F x的极大值点 B 0 xx 必是 F x的极小值点 C 0 xx 必不是 F x的极值点 D 0 xx 可以是 F x的极值点 也可以不是 F x的极值点 答案 D 解析 A 项 设 2 f xx 显然 00f 为极大值 设 2 g xx 显然 00g 为极大值 而 4 F xf x g xx 0F为极小值 所以 A 错误 故 C 也错误 B 项 设 2 f xx 显然 00f 为极大值 设 2 1g xx 显然 01g 为极大值 又因为 22 1F xf x g xxx 易见 00F 而当0 x 且x很小时 0F x 从0 到 0 的一段弧长为 A 2 0 1 b saeb d B 0 1 b sabed C 2 0 1 b saed D 2 0 1 bb sabeabed 答案 A 解析 利用极坐标方程表示曲线的弧长公式 22 2 22 000 1 bbb srrdaeabedaeb d 因此选 A 5 设 2 1 sin 0 00 x yxy xyf x y xy 当 当 则 0 1 x f A 0 B 1 C 2 D 不存在 答案 B 解析 由多元函数在一点的偏导数定义可知 2 2 2 000 1sin0 1 0 1 sin 0 1 limlimlim1 x xxx xxf xfx f xxx 故答案选 B 6 设 2 2 uxyz 则u在点 2 1 1 处的梯度为 A 2 4 2 B 2 4 2 C 2 4 2 D 2 4 2 答案 C 您的满意是我们唯一和全部的追求 第 页 共 10 页 3 解析 因 uuu gradfijk xyz 而2 u y x 2 u x y 2 u z z 则 2 1 1 2 u x 2 1 1 4 u y 2 1 1 2 u z 故242gradfijk 2 4 2 因此答案选 C 7 ln 10 ex Idxf x y dy 交换积分次序为 A ln 10 ex Idyf x y dx B 1 0 y e e Idyf x y dx C ln 01 xe Idyf x y dx D 1 0 y e e Idyf x y dx 答案 D 解析 该二重积分的积分区间如图 先确定x的取值范围 则积分区间可写为 1 0lnxeyx 若先确定y的取值范围 则积分区间可写为 01 y yexe 因此交换次序后 二重积分变为 1 0 y e e Idyf x y dx 故答案选 D 8 设 1 1ln 1 n n u n 则级数 A 1 n n u 与 2 1 n n u 都收敛 B 1 n n u 与 2 1 n n u 都发散 C 1 n n u 收敛 而 2 1 n n u 发散 D 1 n n u 发散 而 2 1 n n u 收敛 答案 C 解析 1 n n u 是交错级数 满足莱布尼兹判别法的两个条件 所以是收敛 而 2 1 n n u 是正项级数 同时 2 2 1 ln1 limlim1 11 n nn un nn 级数 1 1 n n 发散 所以 2 1 n n u 发散 因此答案选 C 二 填空题二 填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 您的满意是我们唯一和全部的追求 第 页 共 10 页 4 9 10 11 12 13 14 e 2yx 2 2 2 2 2 sin 1 2 sin xy xy x yexy xy y xeyxy xy 1 cos 2cos C x x C为任意常数 2 3 0 2 1 22 x ex x x 当 当0 zxy 9 2 1 0 lim x x x ex 答案 e 解析 此题为 1 型 2 2 1 1 ln 00 limlim x ex x x x xx exe 其中 222 0000 ln 11 111 limlnlimlimlim 2 x xx x xxxx ex exe ex xxxx 洛必达法则 0 1 lim 22 x x e 洛必达法则 所以 1 2 ee 原式 10 曲线 3 2 2 1 x y x 的斜渐近线方程为 解析 设斜渐近线方程为yaxb 则 3 2 2 1 lim2 x x x a x 3 2 2 lim20 1 x x bx x 所以曲线的斜渐近线方程为 2yx 11 已知函数 22 lncos xy xyexy 则y 答案 2 2 2 2 2 sin 1 2 sin xy xy x yexy xy y xeyxy xy 解析 直接对方程两边求导 得 2 2 2 sin12 xy xy eyxyxyyy xy 您的满意是我们唯一和全部的追求 第 页 共 10 页 5 整理得 2 2 2 2 2 sin 1 2 sin xy xy x yexy xy y xeyxy xy 注 此题还可以用公式法或一阶微分形式的不变性 12 微分方程tansinyyxx 的通解y 答案 1 cos 2cos C x x C为任意常数 解析 这是一阶线性非齐次方程 通解为 tantan 1 1 sincos 2cos xdxxdxC yex edxCx x C为任意常数 注 注 由于积分方法不同 所以通解形式不唯一 只要所有通解满足方程即可 13 设 0 x ex f x xx 当 当0 则 1 x F xf t dt 答案 2 3 0 2 1 22 x ex x x 当 当0 解析 因为 1 x F xf t dt 是变限积分 而 f t又是分段函数 所以应对上限x分段讨论 当0 x 时 101 10 x t xx F xf t dtf t dte dttdt 13 1 22 xx ee 当0 x 时 2 11 1 22 xx x F xf t dttdt 于是 2 3 0 2 1 22 x ex F x x 解析 因为 f af b 且 f x不恒为常数 所以 至少存在一点 ca b 使得 f cf af b 4 分 不妨设 f cf af b 显然 f x在 a c上满足拉格朗日定理条件 于是至少存在一个 a ca b 使 0 f cf a f ca 8 分 同理可证 f cf af b 综上所述 在 a b内至少存在一个 a b 使 0f 10 分 17 本题满分 10 分 试证 方程 0 ln1 cos2 x xxdx e 在 0 内只有两个不同的实根 证明 记 0 1 cos20kxdx 方程化为ln x xk e 2 分 令 ln x f xxk e 则 11 fx xe 5 分 显然 fx 在 0 e为正 即 f x函数在 0 e单增 fx 在 e 为负 所以函数 f x在 e 单减 因此xe 是极大点也是最大点 所以最大值为 f ek 7 分 又因为 0 lim x f x lim x f x 9 分 所以 函数在 0 ee 和上各有且仅有一个零点 即方程在 0 上仅有两个不同实根 10 分 18 本题满分 10 分 求由曲线 2 yx 2yx 围成的图形绕y轴旋转一周生成的旋转体的体积V 解析 由图可见 实际要求如图阴影部分绕y轴旋转所成的体积即可 2 分 求出交点坐标为 1 1 和 2 4 由旋转体的体积公式 所求体积 您的满意是我们唯一和全部的追求 第 页 共 10 页 8 44 22 12 02 Vx dyx dy 6 分 其中 2 1 xy 2 2 2 2xy 于是 44 2 02 2Vydyydy 8 分 16 3 10 分 19 本题满分 11 分 求函数 4 2 yxyxz 在直线6 yx x轴和y轴所围成的区域D 上的最大值和最小值 解析 238 4 2 2 yxxyyxyxxy x z 1 分 24 4 222 yxxyxyxx y z 2 分 即 42 823 yx yx 由此可解得 yxz在D内唯一驻点 1 2 且4 1 2 z 4 分 在D的边界0 y 60 x上 0 yxz 6 分 在D的边界0 x 60 y上 0 yxz 8 分 在边界 60 6 xyx上 60 6 2 23 xxxyxz 令 6 2 23 xxx 60 x 则xxx246 2 设0 x 得 4 x 则 0 0 4 64 6 0 10 分 综上所述 由此可知 yxz在区域D上最大值为 4 最小值为64 11 分 20 本题满分 11 分 求二阶常系数非齐次线性微分方程323sinyyyx 的通解 解析 方程323sinyyyx 的特征方程为 2 320 2 分 其根为1 或者2 所以其齐次微分方程的通解为 2 12 xx yC eC e 12 C C为任意常数 5 分 又因为其特征方程的根不等于i 所以其一个特解的形式是cossinyaxbx 7 分 代入原方程得 9 10 a 3 10 b 9 分 所以通解为 2 12 93 cossin 1010 xx yC eC exx 12 C C为任意常数 11 分 您的满意是我们唯一和全部的追求 第 页 共 10 页 9 21 本小题满分 11 分 设L为从点 0 0O到点 1 1A且在OA连线下方的任意简单曲线 它与直线OA所围图形的面积为 S 求 22 2 L xy dxy dy 解析 积分曲线如图所示 取 1 LAO 则AO的方程为yx 3 分 所以有 22 2 L xy dxy dy 11 2222 22 L LL xy dxy dyxy dxy dy 6 分 0 22 1 2 D dxdyxxxdx 8 分 1 2 S 11 分 22 本题满分 11 分 求曲面积分 22 x y zdxdy 其中 为球面 2222 xyzR 的下半部分的下侧 解析 在xOy面上的投影区域为 222 xy Dx y xyR 2 分 在 上 222 zRxy 因 取下侧 故 2222222 xy D x y zdxdyx yRxydxdy 4 分 42222 cossin xy D Rd d 极坐标 6 分 2 2522 00 1 sin 2 4 R dRd 7 分 55 2 0 sinsincoscos 4 RtRt Rt Rtdt 8 分 77 4 26 4 22 45 37 5 3105 RR 11 分 23 本题满分 11 分 求幂级数 2 1 1 1 21 n n x n 在区间 1 1 内的和函数 S x 解析 因为 2 1 1 1 21 n n S xx n 不妨设 2 1 1 1 21 n n Sxx n 2 2 1 n n Sxx 则 12 S xSxSx 2 分 您的满意是我们唯一和全部的追求 第 页 共 10 页 10 其中 2