河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高二数学上学期领军考试试题（含解析）.doc

河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高二数学上学期领军考试试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在中，、分别是内角、的对边，且，则角的大小为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析：根据余弦定理的推论求得，然后可求得详解：，由余弦定理的推论得，又，故选d点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果2.已知数列的前4项为：，则数列的通项公式是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据前四项的特点即可归纳出数列的通项公式.【详解】观察数列的前4项，可知分母为，分子是奇数，为，同时符号是正负相间，为，所以.故选b.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决本题的关键3.已知是等比数列的前项和，若，则（ ）a. -1b. c. d. 1【答案】d【解析】【分析】先判断公比能否为1，结合条件求出公比，进而利用等比数列下标和性质及通项公式得到结果.【详解】设等比数列的公比为，显然，则，解得.又.故选：d.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于常考题型.4.在中，角，的对边分别为，若，则的面积为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由正弦定理可得，从而可得，利用面积公式得到答案.【详解】由已知可得，则由正弦定理可得.又，所以.所以，所以，所以.故选：c.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查推理能力与计算能力，属于基础题.5.已知是等差数列的前项和，若，则（ ）a. 1009b. 1010c. 2020d. 2021【答案】b【解析】【分析】由可得，布列方程组解得基本量，从而得到结果.【详解】由已知可得，所以，设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以.故选：b.【点睛】本题考查等差数列通项公式与前n项和公式，考查等差数列下标和性质，考查学生的运算能力，属于中档题.6.已知中，所对的边分别是，角，成等差数列，且，则该三角形的形状是（ ）a. 直角三角形b. 等腰三角形c. 等边三角形d. 钝角三角形【答案】c【解析】【分析】由角，成等差数列，得，由可知，从而作出判断.【详解】由角，成等差数列，得；由，根据正弦定理得，所以，该三角形是等边三角形，故选：c.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查利用正弦定理进行边角的转化，考查合理恒等变形，属于常考题型.7.在中，角，的对边分别为，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用正弦定理结合条件可得，进而利用余弦定理可得所求角.【详解】因为，则由正弦定理可得，即.则由余弦定理，可得.又，所以.故选：d.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查学生合理边角转化的能力，属于中档题.8.已知是等差数列的前项和，若，且，成等比数列，则的最大值为（ ）a. 77b. 79c. 81d. 83【答案】c【解析】【分析】利用，成等比数列，可得或.分类讨论即可得到等差数列的前n项和的最值.【详解】设等差数列的公差为，因为，成等比数列.所以，即，整理得，解得或.当时，显然数列单调递增，不存在最大值.所以，所以，所以，所以的最大值为.故选：c【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列前n项和的最值，考查运算能力，属于中档题.9.已知数列是正项等比数列，若数列满足：，且，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】对n赋值可得，从而得到，解得，再结合，可得，得到结果.【详解】设等比数列的公比为，所以.则由已知，得当时，由，可得；当时，由，可得，所以，即，解得，所以，则，解得，所以，所以.故选：a.【点睛】本题考查数列通项的求法，考查等比数列通项公式，考查赋值法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.10.如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进40米到达点，测得，则大坝的坡角（）的余弦值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由，可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，进而由可得结果.【详解】因为，所以.在中，由正弦定理得，解得.在中，由正弦定理得，所以.又，所以，所以.故选：a.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题.11.梅赛德斯-奔驰（mercedes-benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】分别求出圆与阴影部分的面积，作商即可得到结果.【详解】由已知可得，则.又，.不妨设，则由正弦定理可得，则，所以阴影部分的面积为，圆的面积为，则在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为.故选：d.【点睛】本题考查几何概型的面积概型，合理求出阴影部分的面积是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题.12.已知数列中，若，数列的前项和为，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析】由题意变形可得，即数列是常数列，从而得到，又，利用裂项相消法求和即可.【详解】因为，化简可得，所以数列是常数列.又，所以，解得，则，所以，所以.故选：b.【点睛】本题考查数列的递推关系，数列通项的求法，裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知等比数列中，则_.【答案】18【解析】【分析】利用等比数列下标和性质即可得到结果。【详解】由等比中项的性质，可得，所以.故答案为：18【点睛】本题考查等比数列下标和性质，考查学生应用数列性质的能力，属于常考题型.14.在中，角，的对边分别为，若，则_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，结合余弦定理可得结果.【详解】因为，由正弦定理可得，设，则由余弦定理，可得.故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题.15.已知数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】由，得到数列前几项，明确数列具有周期性，从而得到结果.【详解】因为，所以，所以数列的周期为4，所以.故答案为：【点睛】本题考查递推关系，归纳猜想数列的周期性是解题的关键.16.在中，角，的对边分别，边上的中点分别为，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】在与中，利用余弦定理表示bd与ce，从而得到，利用余弦函数的有界性得到结果.【详解】因为，边上的中点分别为，所以，.在中，由余弦定理可得.在中，由余弦定理可得，所以.因为，所以，所以，所以，即的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查余弦定理解三角形，余弦型函数的值域，考查推理能力与运算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，角，对应的边分别是，.（）判断的形状；（）求的值.【答案】（）是等腰三角形.（）【解析】【分析】（）利用余弦定理得到，从而明确三角形的形状；（）由（）可知，故，利用正弦定理可得，再结合两角差余弦公式可得结果.【详解】（）由余弦定理，可得，即，解得.所以是等腰三角形.（）因为，所以.所以，所以.又由正弦定理，可得，所以，因为，所以，所以.所以.【点睛】本题考查三角形形状的判断及三角恒等变换，考查正弦定理、余弦定理及两角差余弦公式，考查计算能力，属于中档题.18.设公差不为零的等差数列满足，且，成等比数列.（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和.【答案】（）.（）【解析】【分析】（）利用等比中项及等差数列通项公式可得基本量，从而得到数列的通项公式；（）由（）可得，利用分组求和得到数列的前项和.【详解】（）设等差数列的公差为.因为，成等比数列，所以，即，整理得.又因为.所以联立，解得，.所以.（）由（）可得，所以.【点睛】本题考查等差数列与等比数列基本量的计算，考查分组求和法，考查计算能力，属于常考题型.19.在圆内接四边形中，的面积为.（）求；（）若，求长.【答案】（）.（）【解析】【分析】（）由的面积为可得，结合余弦定理可得；（）由，可得，进而可得，结合正弦定理可得结果.【详解】（）因为，.，.（）根据题意，得，.又，由正弦定理得：.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20.已知是数列的前项和，满足：，.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（）.（）【解析】【分析】（）由可得，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而得到数列的通项公式；（）由（）得利用错位相减法即可得到结果.【详解】（）因为，所以由已知，当时，.两式相减，可得.又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.（）由（）得.则，.两式相减，得，整理得，所以.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“sn”与“qsn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“snqsn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.21.在中，角，对应的边分别是，已知.（）求角的大小；（）若，分别为边上的高和中线，求的值.【答案】（）.（）【解析】【分析】（）由结合正弦定理可得角的大小；（）因为，所以由余弦定理，可得，.结合条件可得的值.【详解】（）因为，所以.则由正弦定理，可得，即，即，即，即.又因为，所以.又，所以.（）因为，所以由余弦定理，可得，即，所以，.因为为边上的中线，所以，所以，所以.又为边上的高，所以由三角形面积公式，得，即，解得.所以.【点睛】（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意22.已知数列中，.（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，证明：对任意的，都有.【答案】（）.（）证明见解析【解析】【分析】（）由可得，即数列是以1为前项，2为公差的等差数列，从而可得数列的通