2004年全国高中数学联赛模拟试卷3.pdf

文学竞赛之育 中学生数学 2 0 0 4 年 7 月上 2 0 0 4 年全国高中数学联赛模拟试卷 华南师大附中 5 1 0 6 3 0 李兴怀 数学奥林匹克在华南师大附中 华南师大附中是广东省教育厅直属中学 1 9 5 2 年 华南师大附中由原中山大学附中 岭南大学附中 华 南联大附中和广东文理学院附中四所中学合并组建 而成 1 9 7 8年恢复为广东塔重点中学 1 9 8 6 年被评为 首批广东省一级学校 2 0 0 2 年华南师大附中由一所完 全中学发展成以校本部 独立高中和广东奥林匹克学 校 为核心 有两所民办完全中学和一所民办公助独 立高中的教育集 团 成为一所在 国内备 受关注 在 国 外有一定影响的现代化中学 据不完全统计 校友中 有中国科学院院士4名 中国工程院院士3名 第三 世界国家科学院院士 1 名 1 9 9 3 年华南师大附中承办 了由广东省教 育厅直 接领导的广东奥林匹克学校 奥校每年面向全省招收 两个初中班和一个高中班 对各科学习成绩优秀且理 科特长明显的学生加强培养教育 努力发展他们已经 显露 出来的才华和优势 为他们将来成为高层次的拔 尖人才打下坚实的基础 并力争在国内 国际学科奥 林匹克竞赛中取得优异成绩 近十年来 学生中有 4 O多人次入选数 理 化等 学科的国家集训队 先后获得国际数学奥林匹克竞赛 金牌 5 枚 银牌 1 枚 铜牌 1 枚 获国际物理 化学奥林 匹克竞赛金牌各 1 枚 获国际环境科研项 目奥林匹克 竞赛金牌 1 枚 获亚洲物理奥林 匹克竞赛金牌 1 枚 以华南师大附中学生为主组成的广东代表队连 续三年 2 0 0 2 年 2 0 0 3 年 2 0 0 4 年 取得 中国数学奥林 匹克团体总分第一名 三次夺得 陈省身杯 并且先 后于2 0 0 0 年和2 0 0 4 年两次代表中国参加了俄罗斯国 家数学奥林匹克竞赛 共取得了4 枚金牌 7 枚银牌的 显著成绩 作者简介 李兴怀 1 9 5 8 年 2 月生 陕西岐山人 现为华南师 大附中高级教 师 广东省特级教师 中国数学奥林 匹 克高级教练 教学和科研成绩突出 1 9 8 9 年 9月被评 为 全国优 秀教师 2 0 0 0年 1 2月获广东省教育厅和 广东省科协颁发的 为我国数学奥林匹克竞赛做出突 圈 出贡献奖 他所指导的学生在数学高考 数学竞赛等 方面都取得了优异成绩 其中方家聪同学连续两次夺 得全国中学生数学冬令营个人第一名 黄潇 黄景炽 同学分别取得 2 0 0 0 年和2 0 0 3 年广东省高考数学单科 状元 李鑫 朱琪慧 方家聪等同学在国际数学奥林匹 克竞赛中共获得四枚金牌 一枚银牌 有多项科研项 目获省市优 秀教学成果奖 第一试 一 选择题 满分 3 6 分 每小题 6 分 1 二次函数 厂 z 一z 一2 a x 2 a 4的值域为 1 o 则实数a的取值范围是 A 一1 3 1 B 一o 一1 U 3 o C 一1 3 D 以上都不对 2 一个正 棱锥的侧棱长等于底面边长 则 的 最大值为 A 4 B 5 c 6 D 无最大值 3 设 a a z a 为分母为 6 O的所有既约真分 数 则奎 o s 竺 z 等于 A 0 B 8 C 1 6 D 3 0 4 椭圆的长轴长为 6 左顶点在圆 z 一3 一 2 一4 上 左准线为Y轴 则该椭圆的离心率 e 的 取值范围是 A 蔷 导 B c 詈 D 导 1 5 对于任意的整数 2 满足a 一a 1 b 一 6 3 n的正数 与b的大小关系是 A a 6 1 B 6 a 1 C a 1且 O 6 1 D 0 n 1 6 已知存在整数 z z 2 z 满足z z z 一1 5 9 9 则正整数 的最小值为 A 1 5 9 9 B 1 6 C 1 4 D 1 5 二 填空题 满分 5 4 分 每小题 9 分 7 若 函 数 f 而 1 V 1 i V 1 维普资讯 2 0 0 4 年 7 月上 中学生数学 2 f 2 0 0 4 一 8 已 知实数a J9 满足a 一 3 a 5 a 一1 一3 卢 2 5 J9 5 贝 0 t t J 9 一 9 函数 s 一 x 4 5 x 2 8 x F 2 5 可 的最大值为 1 0 复数 z满足 条件 a r g z 3 一 设 一 可6 3 i 当 Z l l Z 一 取最大值时 Z的值为 1 1 若z 且z z 一 号 则 c o s x s i n y c o s z的最大值与最小值的和为 1 2 只由 1 2 3 组成的不大于 1 亿的正整数中 能够被 3 整除的个数是 三 解答题 满分 6 O 分 每小题2 O 分 1 3 设数列 n 满足 n l 3 n l n 一 n 1 一1 2 3 证明对所有的正整数 有 1 n 2 1 4 已知双曲线 一百y一1 n 6 o 的离心率 n o一 一 2 一 一 过其右焦点 F 且与z轴垂直的直 线 L交双 曲线于 A B两点 左焦点记为 F 求 A F F z 的大小 1 5 设 是给定的自然数 3 对于 个给定的 实数n n z n 记 n l 1 i O A A A 故符 合题意的 5 在 一5 时 当侧棱与底面所成的角为 a r c c o s 时 侧棱长等于底面边长 故选 B 2 s i n 3 B 由于对任意口 n n 口 均有 1 一 n n l n 2 n 所以妻 c o s a4 一 一妻 i 警 于是我们有 l l i l 2 妻 c 警 z 一 妻 c 警 z i 警 z 一 而1 i l i l 2 6 O中与 6 O 互质的数的个数 一 6 0 一6 0 1 一 1 1 一 寺 1 一 了1 一 1 6 故 誊 c s 警 一 8 故 选 B 4 A 设椭圆的左顶点的坐标为 3 2 c o s O 2 2 s i n O 由椭圆的定义 可知3 3 e e 3 2 c o s O 故 e 一 于 是 詈 导 故 选 A 5 A 首先 n 1 6 1 否则 若 O a 1 从而n 1 矛盾 若 0 6 3 a 3 从而 6 1 矛盾 故 n b 均大于 1 一方面 n 一b 一 n 1 一 6 3 a 一n 一n 一6 1 另一方 面 n b 一 n 一6 n n b b 一 故 n 一n 一6 1 一 n 一6 n 一 n 一 6 b 一 即 az a b 一 1一a 2 n I a 2 n 2 b b 一 一 1 所 以 o 即 o 故 n 6 n o n D 综上所述 有 n 6 1 故选 A 6 D 注意到 当z为偶数时 z 0 m o d 1 6 而 z为 奇 数 时 z 1 m o d 8 依 次 可 知 1 m o d l 6 所 以 z 0或 1 m o d 1 6 而 1 5 9 9 1 5 m o d l 6 所以 1 5 又由于 1 5 9 9 5 1 2 X 3 2 X1 故 1 5 9 9 可以表示为 1 5个整数的 4 次方之和 从而所求的 的最小值为 1 5 7 丽 一 1 因为 f x 一 维普资讯 一 一 阿 所 以 1 f 2 f 2 0 0 4 一 F 一1 可一 面 万 T一 面 二 T 一 丽 二 一 1 8 2 由口 一3 口 5 a 一1 0 得 口 一1 2 口 一1 2 0 又由 一3 5 一5 一 得 1 一 2 1 一 2 0 设 z 一 z 2 x 2 则 z 为 R上的单调 增函数 由上述结论知 a 一1 1 一 所以a 一1 1 一J9 故口 J9 2 9 因为 S一 一 干 其几何意义是抛物线 一 z 上的动 点 M x 到定点A 4 3 B O 2 的距离之差的最大 值 易知s I MA l I MBI l A B l 一 1 7 等号可以 取到 所以s的最大值为 1 7 1 0 满足条件 a r g z 3 一 5 的复数 Z在以 一3 O 为起点 且与 z 轴正向成 角的射线上 此射线与过 一6 o o 3 两点的直 线交 于点 P 6 一5 3 6 因而 复数 Z一 旦 使得 取最大值 1 1 1 1 l 1 1 专 3 由 条 件 知 z一 y 4 z 号 一 蠢 蠢 一 号 s i n x y 0 s i n y z O 于是 c o s xs i n yc o s z 一 c s z s in y 4 z sin y z 1 c s z s i n z 一 1 c s2 z 1 c o s 了 7 C 一百 1 在 z 一 号 z 一 蠢 时 取 等 号 又 因 为 z i n 1 c o s E i 一 i X C O S s l n y c o s z c o s z L s i n x y s i n x y z 十 一 j 1 c s z s i n z 一 1 c s 2z c s 蠢 一 吉 2 在 z 一 蠢 z 一 时 取 等 号 故 所 求 的 和 为 吉 吉 2 一 吉 3 1 2 3 2 8 0 只由1 2 3 组成的几位数有 3 个 其 中不大于 1 亿的正整数的个数是 3 3 3 3 一 9 8 4 0 将这 9 8 4 o个数从小到大 t 4 分成一组 1 2 3 l 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 显然 每组中有且只 有一个数能被3 整除 所以满足条件的正整数的个数 是 9 8 4 0 3 2 8 0 1 3 1 用数学归纳法证之 1 当 1 时 a 3 1 2 不等式成立 2 假设n k k 1 时 不等式成立 即a 2 则 a 一 n k 1 2 2 一 1 2 k 5 k 3 也就是说 当 一 1 时 a 1 2 根据 r 和 2 对所有的 1 有 a 2 2 由 a 一d d 一 1 及 1 对 2 有 a 一a 一 l n 1 一k 1 4 1 n 1 一1 2 一k 1 4 1 2 a 1 1 故 a 2 a 一 1 1 2 2 a 2 1 1 2 a 2 2 1 2 a 1 2 2 1 2 n 1 1 一1 2 3 1 一1 2 一1 故 故 斗 一 一 c 结论成立 1 4 设 AF l F 2 一口 F l A F 2 一 则 口 一9 O 由正弦定理得 l A F l l A F I l F F l 一五 一 由分比定理得 2 c l A F l l A F 一 2 d s i n B s i n 9 0 一 s i m一 1 一 s i m 所以 一 一 即 一 故 1 一e 维普资讯 a m