第二十五届 2014年 “希望杯”全国数学邀请赛培训题 初中二年级 详解.ppt

第二十五届 2014年 希望杯 全国数学邀请赛培训题 1 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数 有理数的定义 有限和无限循环小数叫做有理数 或整数与分数统称为有理数 实数的定义 有理数和无理数统称为实数 A 分数 B 实数 C 无理数 D 无限不循环小数 送分题 但考点还是有2点 是要注意到有个 不 字 这是个低级 陷阱 但很多人都会陷下去 不要看到C选项中的 无理数 就不看清楚题意就选C 是要掌握好课本中 实数 的分类和定义 就是平时强调的要背书问题 A 分数是用分式表达成 其中a b均为整数 且b不等于0 的有理数 实数 有理数 无理数 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 自然数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 有限小数及无限循环小数 一般有三种情况 有一定的规律 但不循环的无限小数 这5个数中 有理数的个数是 A 2 B 3 C 4 D 5 考点 要知道 是无限不循环小数 可以拆项分解成完全平方式 然后去根号 化简得出它是一个有理数 B 答案中用反证法证明第五个式子中的 n 4 和 n 2 不可能同时是完全平方数 相对较复杂 可以简单想像 因为 n 4 和 n 2 只相差2 我们在自然数中是找不到两个相差是2的完全平方数 简单证明 假设 n 4 和 n 2 都是完全平方数 令 n 4 x2 n 2 y2 x2 y2 2 x y x y 2 又 x y都是大于0的整数 且x y 只可能x y 2 x y 1解得 则n不是自然数 与假设矛盾 3 化简 1 n 1p2 n n为自然数 得 A p2n B p2n C pn 2 D pn 2 1 n 1p2 n 先不 1和p的值 去中括号 1 n n 1 p2n an 幂的乘方法则 符号叙述 语言叙述 幂的乘方 底数不变 指数相乘 n和 n 1 是连续的自然数 n n 1 必为偶数 原式 p2n A 积的乘方法则 积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 4 已知 a5 a3 a a2 a4 则实数a的取值范围是 A 01 C 1 a 0 D a 1 D 在a3 a两边同时乘以a a 0 可得 a2 a4 在a3 a两边同时除以a a 0 可得 a2 1 a 1 最繁是解不等式 5 化简 得 1 a 0 即a 1 a 1 0 B 一个正数的平方根有2个 它们互为相反数 0只有1个平方根 它是0本身 负数没有平方根 性质 一般地 如果一个数的平方等于a 那么这个数叫做a的平方根或二次方根 即 若x2 a 那么x叫做a的平方根 记作 x 正数的平方根有2个 其中正数a的正的平方根 也叫做a的算术平方根 6 若 ax 3y 2 4x2 12xy by2 则a b的值分别是 待定系数法 A 2 9 B 2 9 C 2 9 D 4 9 待定系数法是根据已知条件 建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式 得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组 解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法 在学一次函数时 求一次函数的表达式时已接触过 待定系数法的步骤 确定所求问题的待定系数 建立条件与结果含有待定的系数的恒等式 根据恒等式列出含有待定的系数的方程或方程组 解方程或方程组以确定待定的系数 ax 3y 2 4x2 12xy by2 a2x2 6axy 9y2 4x2 12xy by2 对比各项系数 得 解得 C 7 若a b c都是负数 并且则a b c中 A a最大 B b最大 C c最大 D c最小 若a b c都是负数 则都是正数 利用倒数 再加1 可将a b c合在一起 不等式同乘以一个负数数 不等式的基本性质 再取倒数 得 C 加法法则 同向不等式相加 乘法法则 A B C D 灵活运用完全平方公式是解决这道题的关键 D 一次性统一指数 数字会太大 较能计算 9 已知a b c d都是正数 并且a2 3 b3 4 c4 5 d5 6 其中a b c d中最大的是 A a B b C c D d 先比较a与b的大小 再将其中较大的数与c比较 依次类推 A a2 3 b3 4 a2 3 33 b3 2 42 即a6 27 b6 16 a b 非负整数集合 自然数集 记号N n N 读n属于N 即n属于非负整数集合 自然数集 乘方法则 再比较a与c a2 2 32 9 c4 5 a c 最后比较a与d a2 5 35 243 d5 2 62 36 a d 同底数幂的乘法 am an am n m n都是正整数 同底数幂相乘 底数 指数 不变 相加 幂的乘方 底数不变 指数相乘 10 已知二次三项式x2 mx 8 m是整数 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积 则m的值可能是 较传统的解法是用待定系数法 对所给的数学问题 根据已知条件和要求 先设出问题的多项式表达形式 含待定的字母系数 然后利用已知条件 确定或消去所设待定系数 使问题获解的这种方法叫待定系数法 用待定系数法解题目的一般步骤是 1 根据多项式次数关系 假设一个含待定系数的等式 2 利用恒等式对应项系数相等 列出含有待定系数的方程 3 解方程组 求出待定系数 再代入所设问题的结构中去 得到需求问题的解 A 1 B 2 C 3 D 4 B x2 mx 8 x a x b 即x2 mx 8 x2 a b x ab a b为整数 由1式 2式 可消去a 得 A 1 B 1 C D 3 D y 0 方程两边可同时除以y 12 方程组的解的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 分类讨论思想 A 在解答某些数学问题时 因为存在一些不确定的因素 解答无法用统一的方法或结论 不能给出统一的表述 对这类问题依情况加以分类 并逐类求解 然后综合求解 这种解题的方法叫分类讨论法 分类讨论涉及初中数学的所有知识点 其关键是弄清引起分类的原因 明确分类讨论的对象和标准 分情况加以讨论求解 再将不同结论综合归纳 得出正确答案 分类的原则是既不重复 也不遗漏 当x 0 y 0时 方程组是 两个方程互相矛盾 原方程组无解 当x 0 y 0时 方程组是 两个方程互相矛盾 原方程组无解 当x 0 y 0时 方程组是 当x 0 y 0时 方程组是 与条件矛盾 舍去 13 在xy直角坐标系中 函数 xy x y 1 0的图象是 A 三条直线x 0 y 0 x y 1 0 B 两条直线x 0 x y 1 0 C 一个点 0 0 和一条直线x y 1 0 D 两个点 0 1 1 0 D 利用非负数的性质 常用非负数有 由题设 xy x y 1 0知 xy 0 x y 1 0 所以图象为两个点 0 1 1 0 这也是一种数形结合思想 不要被 图象 两字吓倒 可以把它看成是解方程的知识 数形结合是数学解题中常用的思想方法 使用数形结合的方法 很多问题能迎刃而解 且解法简捷 所谓数形结合 就是根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 数形结合思想通过 以形助数 以数解形 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 能够变抽象思维为形象思维 有助于把握数学问题的本质 它是数学的规律性与灵活性的有机结合 实现数形结合 常与以下内容有关 实数与数轴上的点的对应关系 函数与图象的对应关系 曲线与方程的对应关系 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义 如等式 以几何元素和几何条件为背景 建立起来的概念 如复数 三角函数等 14 已知正整数m n p满足m n p 且 则p的最大值是 A 16 B 8 C 4 D 2 先解决掉右边的 m n p 若p 4 则 又 m n 4 上式只有在m n 4时 成立 p的最大值是4 C 15 在xy直角坐标系中 在y轴上找一点P 使P到点A 4 3 点B 2 1 的距离之和最小 则点P的坐标是 A 0 0 B C D 1 利用轴对称变换将两点在同侧转化为在两侧 从而将折线问题转化为两点之间线段问题 D 2 作一个定点的对称点 关键应找到对称轴 动点在哪条线上移动 这条线所在直线就是对称轴 牧童放牛 问题 A y 作点B关于y轴的对称点B 2 1 连接B A 交轴于点P 此时的点P即为所求的点 设直线B A的解析式是y kx b 用待定系数法求出直线B A的函数解析式 然后求直线B A与y轴的交点即可 将点A 4 3 点B 2 1 的坐标值代入 得 直线B A的函数解析式为 最重要的是看到 距离之和最小 这几个字 最小值的方法都是差不多的 从函数图象上看 正比例函数y kx的图象与y轴交于原点 0 0 一次函数y kx b的图象与y轴交于 0 b 点 上题若知道P是直线B A与y轴的交点 如果熟背书中的定义性质 那么自然而然就会想到用待定系数法求一次函数的解析式 再增加点函数知识 1 正确理解正比例函数与一次函数之间的关系 从解析式上看 对于一次函数的一般形式y kx b k b为常数 k 0 当b 0时 即可得到正比例函数的解析式y kx k为常数 k 0 正比例函数是一次函数 而一次函数不全是正比例函数 例如 函数y 2x 3是一次函数 但不是正比例函数 而函数y 2x是正比例函数 也是一次函数 即一次函数包含正比例函数 二者不能并列 从函数图象上看 正比例函数y kx的图象与y轴交于原点 0 0 一次函数y kx b的图象与y轴交于 0 b 点 由此可知 直线y kx通过适当的平移可得到直线y kx b 2 用函数观点看一次函数与一次方程 组 不等式的内在联系 用一次函数图象来解方程或不等式未必简单 但是从函数角度看问题 能发现一次函数 一元一次方程与一元一次不等式之间的联系 由于任何一元一次方程都可以转化为ax b 0 a b为常数 a 0 的形式 所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为0时 求相应的自变量x的值 从图象上看 这相当于已知直线y ax b 确定它与x轴交点的横坐标 一元一次不等式都可以转化为ax b 0或ax b 0的形式 解一元一次不等式可以看做当一次函数的函数值y大于或小于0时 求自变量x相应的取值范围 从图象上看 一次函数y ax b的图象在x轴上的部分对应y 0 这时对应的自变量x的所有取值为不等式ax b 0的解集 同理 一次函数图象在x轴下方的部分对应的x的所有取值为ax b 0的解集 利用一次函数的图象能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解 这种用函数观点认识问题的方法 对于继续学习数学很重要 一般地 每个二元一次方程组 也对应两条直线 从 数 的角度看 解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等 以及这个函数值是何值 从 形 的角度看 解方程组相当于确定两条直线交点的坐标 方程 组 不等式与函数之间互相联系 用函数观点可以把它们统一起来 解决问题时 应根据具体情况灵活地 有机地把它们结合起来使用 3 基本的方法与技巧 能用待定系数法求一次函数的关系式 用两点法准确画出一次函数的图象 借助图象深刻理解一次函数的性质 渗透数形结合的思想 会利用图象判断k b的取值范围 对于实际问题 要根据等量关系写出函数关系式 体现用函数思想解决实际问题能力 关于函数的分类讨论要求 从图象上反映为折线 有其丰富的实际背景 函数定义 在某变化过程中有两个变量x y 按照某个对应法则 对于给定的x 有唯一确定的y与之对应 那么y就叫做x的函数 其中x叫自变量 y叫因变量 在一个变化过程中 发生变化的量叫变量 有些数值是不随变量而改变的 我们称它们为常量 自变量 函数一个与它量有关联的变量 这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值 因变量 函数 随着自变量的变化而变化 且自变量取唯一值时 因变量 函数 有且只有唯一值与其相对应 函数值 在y是x的函数中 x确定一个值 Y就随之确定一个值 当x取a时 Y就随之确定为b b就叫做a的函数值 16 已知A x1 y1 点B x2 y2 是一次函数y 2m 1 x 3的图象上的两点 当x1y2 则m的取值范围是 一次函数y kx b的性质 它是过的一条直线 A B C D A 0 b 当k 0时 y随x的增大而增大 当k 0时 y随x的增大而减小 当x1y2 即 y随x的增大而减小 送分题 只是考你对 当x1y2 这句话是否理解 17 当 1 x 2时 函数y ax 6满足y 10 则a的取值范围是 A a 4 B a 2 C 4 a 2且a 0 D 4 a 2 当a 0 y ax 6 6 符合题意 当a 0时 函数y ax 6是一次函数 由题知 当 1 x 2时 y 10 则有 x 1 y ax 6 a 6 10 解得 a 4 x 2 y ax 6 2a 6 10 解得 a 2 4 a 2 且a 0 综上所述 a的取值范围是 4 a 2 D 18 已知反比例函数 m为常数 当x 0时 y随x的增大而增大 则m的取值范围是 A B C D C 当x 0时 的值随x的增大而增大 所以 19 某班50名同学中 5月份出生的频率是0 14 那么这个班不是5月份出生的同学有 A 43名 B 7名 C 14名 D 36名 A 50名同学中 5月份出生的频率是0 14 那么不是5月份出生的同学的频率是0 86 即不是5月份出生的同学有 50 0 86 43 名 20 有红球 黄球 黑球各若干个 黄色球都标有数字5 黑色球都标有数字6 红色球上标的数字已经看不清了 现在取出8个球 其中红球个数最多 若红球上标的数字都相同 8个球上的数字和是39 则 A 红球上的数字是5 取出的8个球中有5个红球 B 红球上的数字是3 取出的8个球中有3个红球 C 红球上的数字是4 取出的8个球中有4个红球 D 红球上的数字是6 取出的8个球中有6个红球 C 设红球上都标有数字p 取出的8个球中有x个红球 y个黑球 z个黄球 则 将 代入 得 px 6y 5 8 x y 39 0 p 5 将 化为z 8 x y px 6y 1 5x 5y 0 x p 1 y 1 0 y 1 5 p x x 1 y 1 5 p x 4 p x 1 p 4 y 1 x 8 x y z 2y 1 z 2y 1 y 3 5 另外z x y 1 8 x y z 2x y 3y 2 y 2 y 3 x 4 z 1 21 已知质数p q满足5p2 3q 59 则以p 3 1 p q 2p q 4为边长的三角形是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 5p2 3q 59是奇数 所以p q一奇一偶 又p q都是质数 p q中有一个是2 若q 2 则 不合题意 若p 2 则 若q 13 此时 p 3 5 1 p q 12 2p q 4 13 52 122 132 这个三角形是直角三角形 B 22 有下列三个命题 五边形的内角中至少有两个钝角 十二边形共有54条对角线 内角和等于外角和的多边形的边数为4 其中正确命题的个数是 五边形外角和是360 所以5个外角中不能有4个或5个钝角 即外角中至多有3个钝角 内角中至多有3个锐角 至少有2个钝角 考虑内角不要从内角入手 如果从外角入手 问题就可简单化 A 0 B 1 C 2 D 3 D 从十二边形一个顶点出发可引出12 3 9 条 对角线 所有对角线的条数是12 9 2 54 从 对角线 的定义出发 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段 一个顶点可连接多少条 根据多边形的内角和公式和外角和性质 列一个简单的方程就可以解决问题 n 2 180 360 n 4 23 在菱形ABCD中 A B 1 5 若菱形的周长是8 则高是 A B 4 C 1 D 2 在菱形ABCD中 AD BC A B 180 又 A B 1 5 A 30 菱形的高 1 C 24 如图 在平行四边形ABCD中 AE BC于E AB2 2 AE EC a 若a使代数式a2 2a 3的值为零 则平行四边形ABCD的面积是 A 4 B 3 C 2 D 1 C a2 2a 3 0 a 3 a 1 0 又a 0 a 1 在直角 ABE中 BE2 AB2 AE2 BE 1 BC EB EC 2 平行四边形ABCD的面积是2 25 ThesideofsquareABCDis1 ABCDrotatesaroundpointA30 andbecomessqusreA B C D TheareaoftheoverlappingpartofthesquareABCDandthesquareA B C D is A B C D 译文 已知正方形ABCD边长是1 将正方形ABCD绕点A旋转30 得到正方形A B C D 则正方形A B C D 与正方形ABCDA重叠部分的面积是 英 r te t vt 美 rotet Rt AB E Rt ADE AB E ADE 30 B overlapping v l p n 重叠 搭接 BC x轴 AC y轴 ABC的面积记为S 则 A S 2 B S 4 C 24 设A点的坐标为 x1 y1 则 B点的坐标为 x1 y1 C点的坐标为 x1 y1 ABC的面积是 B A 27 如图 周长是34的矩形ABCD被分成7个全等的小矩形 则矩形ABCD的面积是 A 208 B 140 C 70 D 196 设小矩形的长和宽分别是x y 则有 C 28 使代数式的值是整数的所有自然x的和是 A 5 B 6 C 12 D 22 为使是整数 自然x可取0 1 2 3 5 11 它们的和是22 D 29 若自然数p q满足 则p除以197 余数是 A 0 B 73 C 157 D 19 A 而197是质数 所以p被197整除 30 If m istheintegerpartofm thenthevalueof m is A 2702 B 2701 C 2700 D 2699 B n 整数 n 价值 价格 30 If m istheintegerpartofm thenthevalueof m is A 2702 B 2701 C 2700 D 2699 B n 整数 n 价值 价格 31 分解因式 4x4 3x2 1 32 分解因式 解法1 解法2 33 已知 解法1 解法2 本例的解法采用的是整体代入的方法 应用得当会使问题的求解过程大大简化 这是代入消元法的一种特殊类型 整体代入法 34 已知A 20142014 B 1 2 2014 2 则AB 填 或 若两数之和一定 如等于2015 则它们的差越大 它们的积就越小 原因可由完全平方和公式和完全平方差公式得出 上面各因式的分子都是2014 即1 2014 分母都不小于2014 所以 此题首先要懂得两数比较的方法可以把它们写成分数的形式进行比较 然后要想到可2014 1 2013 2 2012 3 2011 4 2015 最后利用 35 已知 则AB 填 或 利用完全平方和公式 a b 2 还有平方差公式 a b a b 已学 36 若两个不等实数m n满足 则实数a的绝对值是 37 已知a是无理数 并且ab a b 1 则实数b 因式分解 或者叫解方程 a是无理数 a 1也是无理数 38 若的平方根是 先注意字眼 平方根 一出现 平方根 就要想到有正负两个值 因此的平方根是 3 39 若a是正整数 是整数 则a的所有可能值的和是 a的所有可能值的和是 只是分析取值范围而已 考点是知道二次根式里面的数一定是非负数 它才有意义 40 已知实数a b满足 则a b的值是 分析取值范围 知道二次根式里面的数一定是非负数 它才有意义 以前做过很多利用非负数性质的题 即非负数 非负数 非负数 0 则各非负数的值必定都等于0 而这里多了项2a 最简单直接的方法是 看看是否能把2a消去 则原式可化简为 41 方程组的正整数解是 令a5 b4 k20 k是正整数 令c3 d2 m6 m是正整数 则a k4 b k5 则c m2 d m3 由a c 15 得 k4 m2 15 k2 m k2 m 15 1 5 3 因为k m是正整数 k2 m k2 m 则 用换元法 然后从分解因式和分解因数入手 看似很难 但懂得方法就简单了 41 方程组的正整数解是 令a5 b4 k20 k是正整数 令c3 d2 m6 m是正整数 则a k4 b k5 则c m2 d m3 由a c 15 得 k4 m2 15 k2 m k2 m 15 1 5 3 因为k m是正整数 k2 m k2 m 则 用换元法 然后从分解因式和分解因数入手 看似很难 但懂得方法就简单了 42 若k 47 41004 4n 并且k是一个完全平方数 则正整数n 或 由k 27 2 2 27 22000 22000 2 27 22000 2 得n 2000 由k 27 2 2 27 21004 21004 2 a2 2ab b2 a b 2 4n可以是完全平方式的b项 也可以是完全平方式的2ab项 27 21004 2 得n 506 此题有2个考点 必须熟练掌握好完全平方公式 不能忘记分类讨论思想 43 若实数x y满足x2 y2 x2y2 4xy 1 0 则 x y 2 一条等式 要求两个未知数 首先就要联想到以前做过的利用非负数性质 即非负数 非负数 非负数 0 各非负数都等于0 或者是考虑A B 0 得出A 0或B 0 这里的非负数可能是两个完全平方式 将 4xy拆成两个 2xy 则原式可化为 44 若n n 0 是关于x的方程x2 mx 5n 0的根 则m n 要理解 根 的定义 若n代入得 n2 mn 5n 0 A B 0 得出A 0或B 0 一条等式 要求两个或两个以上未知数 首先就要联想到利用非负数性质 非负数没得想 那么就考虑 n n m 5 0 n 0 n m 5 即m n 5 45 观察下列各式 其中的规律可用含n n为正整数 的等式表示为 两个连续奇数的积 46 设实数a b满足则的值是 A B 0 得出A 0或B 0 分解因式非常重要 47 若 将分式的分子 分母都除以xy 得 从未知入手 化为含有已知的式子 再整体代入 也可从已知入手 通过适当变形 再整体代换 整体代换 适当变形 48 若abc 1 则 解法1 利用1 abc 以及中间项不变 若abc 1 求 解法1 因为abc 1 所以a b c都不为零 解法2 由abc 1 得将之代入原式 已学 若abc 1 解方程 解 abc 1 所以原方程可变形为 化简整理为 化简整理为 49 若a b c是互不相等的实数 化简 中间项作为桥梁 最主要是把b c拆成a b和c a 然后再利用平方差公式 49 若a b c是互不相等的实数 化简 用换元法 化简计算 式中a b c两两不相等 是否想起拆项公式的 50 若关于x的不等式ax b的解集是x 则关于x的不等式 a 2b x a 0的解集是 因为关于x的不等式ax b的解集是 乘法法则 将代入不等式 a 2b x a 0 得 51 若关于x的不等式组 的解集是x 4 则m的取值范围是 由原不等式组可知 4x 24 5x 20 解得x 4 又x m m 4 故m 4 52 若关于x的不等式组的解集是 1 x 1 则 a b 2013 又知 1 x 1 53 在xy直角坐标系中 无论k为何值 一次函数 2k 1 x k 3 y k 11 0的图象必经过定点 函数的解析式可变形为 k 2x y 1 x 3y 11 0 无论k为何值该式都成立 所以 解2 由 2k 1 x k 3 y k 11 0 得 2x y k x 3y k 11 不论k为何值 上式都成立 所以2x y 1 x 3y 11 解得 x 2 y 3 即不论k为何值 一次函数 2k 1 x k 3 y k 11 0的图象恒过 2 3 不管k取何值都要成立 也就是与k无关那么k的系数必为0 而为了使等式k 2x y 1 x y 11 0成立 x y 11也要为0 所以此函数的图象必经过定点 2 3 待定系数法 54 在xy直角坐标系中 若函数y ax b和y kx的图象交于点P 并且点P关于原点的对称点P 的坐标是 4 2 则关于x y的方程组 由点P 的坐标是 4 2 可知点P的坐标是 4 2 又因为两直线的交点坐标就是方程组的解 所以原方程组的解是 55 如图 点A是反比例函数图象上的一点 若AB垂直于y轴 垂足为B 则 AOB的面积是 设点A的坐标是A x1 y1 则点B的坐标是B 0 y1 x1y1 3 线段AB的长是 x1 线段OB的长是 y1 所以 AOB的面积是 A 56 两个反比例函数在第一象限内的图象如图所示 点P在的图象上 PC x轴于点C 交的图象于点A PC y轴 于点D 交的图象于点B 当点P在的图象上运动时 有以下结论 ODB与 OCA的面积相等 四边形PAOB的面积不会发生变化 PA与PB始终相等 当点A是PC的中点时 点B一定是PD的中点 其中 错误的结论是 点P在的图象上 不妨设点P的坐标是 x0 y0 其中 x0 0 y0 0 且 x0y0 k 由题意知 C点的坐标是 x0 0 D点的坐标是 0 y0 A点的坐标是 B点的坐标是 正确 四边形PAOB的面积不会发生变化 PA与PB始终相等 当点A是PC的中点时 点B一定是PD的中点 点P在的图象上 不妨设点P的坐标是 x0 y0 其中 x0 0 y0 0 且 x0y0 k 由题意知 C点的坐标是 x0 0 D点的坐标是 0 y0 A点的坐标是 B点的坐标是 四边形PAOB的面积不会发生变化 正确 PA与PB的长度随P点的位置变化而变化 所以 不正确 当点A是PC的中点时 A点的坐标是 此时B点的横坐标是 所以B点恰好是PD的中点 正确 57 如图 直角三角形AOB中 O为坐标原点 AOB 90 B 30 若A在反比例函数图象上运动 那么点B在函数的图象上运动 又 点B在第四象限 解 分别过A B作AN y轴于N BM y轴于M 设A a b A在反比例函数的图象上 ab 1 在 OAN与 BOM中 AON 90 BOM OBM ONA BMO 90 OAN BOM 在Rt AOB中 AOB 90 B 30 点B在函数的图象上运动 本题应用到相似三角形的判定及性质 用待定系数法求函数的解析式 57 如图 直角三角形AOB中 O为坐标原点 AOB 90 B 30 若A在反比例函数图象上运动 那么点B在函数的图象上运动 自A B分别作y轴的垂线AN BM 垂足分别为N M 则 想不出面积比为什么会等于1 3 58 图7 1 是一个正三角形 分别连接这个三角形各边上的中点得到图 2 再连接图 2 中间的小三角形各边上的中点得到图 3 按此方法继续下去 前三个图形中三角形的个数分别是1个 5个 9个 那么第5个图形中三角形的个数是个 第n个图形中三角形的个数是个 前三个图形中三角形的个数分别是1个 5个 9个 第2个图形中三角形的个数比第1个图形中三角形的个数多4个 第3个图形中三角形的个数比第2个图形中三角形的个数也多4个 于是第5个图形中三角形的个数是 9 4 4 17 个 第n个图形中三角形的个数是 1 4 n 1 4n 3 个 59 已知P是正方形ABCD所在平面上的点 使 PAB PBC PCD PDA都是等腰三角形的点P有个 点P可能在正方形内 也可能在正方形外 A P点有9处 如图 以正方形的各边为边向正方形的内或外作等边三角形 则这些等边三角形的顶点为所作的P点 还有正方形的对角线的交点也满足条件 根据正方形的性质可得 满足这样的点首先有 两条对角线的交点 再以四个顶点为圆心以边长为半径画圆 在正方形里面和外面的交点一共有8个 根据半径相等 这些点就是要求的点 59 已知P是正方形ABCD所在平面上的点 使 PAB PBC PCD PDA都是等腰三角形的点P有个 易知正方形的中心满足条件 画出正方形平行于边的对称轴 分别以A B C D为圆心 以边长为半径画弧 这些弧线与两条对称轴有8个交点 60 若 ABC的三边长a b c满c3 a3 b3 则 ABC是三角形 填 锐角 直角 或 钝角 显然c a c b 所以 ABC是锐角三角形 解 a3 b3 c3 C为 ABC中的最大角 由余弦定理得 C为锐角 还要用到 余弦定理 其实答案这样说不严谨 a3 b3 c3 显然c a c b 61 过等腰三角形一个底角顶点的直线将等腰三角形分为两个等腰三角形 则原来的等腰三角形顶角的度数是 分类讨论相思 设 ABC中 AB AC A x 如图 当AD DB CB CD时 A ABD x BDC CBD 2x ABC ACB 3x 7x 180 如图 当AD DB CB时 A ABD x BDC BCD ABC 2x A ABC ACB 180 A ABC ACB 180 5x 180 A 36 如果过等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形 那么这个等腰三角形的顶角的度数为 分类讨论相思 经过顶角的顶点有两种情况 经过底角的顶点也有两种情况 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形 则AC BC AD CD BD 设 A x 则 ACD A x B A x BCD B x 4x 180 顶角是90 如图 AC BC BD AD CD 设 B x A B ACD x CDB BCD 2x 5x 180 则顶角是108 当过底角的的顶点把它分成了两个等腰三角形 如上题 一种是顶角是36 一种是顶角是 62 如图 将周长为8的 ABC沿BC方向平移1个单位 得到 DEF 则四边形ABFD的周长为 又 AB BC AC 8 将 ABC沿边BC向右平移1个单位得到 DEF AD 1 BF BC CF DF AC BC 1 四边形ABFD的周长是 AD AB BF DF 1 AB BC 1 AC 1 8 1 10 63 如图 已知 ABC与 CDE都是等边三角形 若 AEB 145 则 DBE的度数是 易证 ACE BCD SAS DBE EBC CBD 可能有 CBD CAE 将 DBE拆分 替换 可在 EBC CBD这两个角中看是否能找到对等的角来替换 现在已有 DBE EBC CAE 怎么能 EBC CAE扯在一起 又跟 AEB 145 有关联 CAE EAB ABE EBC BCA 180 EBC CAE 180 60 180 145 DBE 85 64 Asshowinginthefigure10 if XOY 60 Misapointintheangle XOY ThedistancefromMtoOXisMA whichis2 ThedistancefromMtoOYisMB whichis11 ThevalueofOMis 64 译文 如图10 若 XOY 60 点M是 XOY内一点 它到OX的距离MA 2 到OY的距离MB 11 则OM 如图 延长AM交OY于C 则 ACO 30 在Rt MBC中 MC 2MB 22 OC 2OA 在Rt CAO中 AC AM MC 24 OA2 OC2 AC2 4OA2 AC2 在Rt MAO中 OM2 OA2 AM2 OM 14 65 如图 已知直线相邻两条平行直线间的距离都是1 若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上 则正方形ABCD的面积是 D1 B1 易发现 BB1C CD1D ASA 由B D分别向l4引垂线 交l4于B1 D1 B1C D1D 2 又 BB1 1 66 如图 分别以 ABC的AB AC为边在形外作正方形ABEF ACMN 若 ABC的面积S ABC 6 则 AFN的面积S AFN N 分别作NH FA于H CG AB于G 可证明 AGC AHN AAS CG NH 又 AB AF S AFN S ABC 6 67 如图 矩形ABCD中 AB 8 BC 4 将矩形沿AC折叠 点D落在D 处 则重叠部分 AFC的面积为 易证 AFD CFB D F BF 设D F x 则AF 8 x 在Rt AFD 中 8 x 2 x2 42 解得 x 3 AF AB FB 8 3 5 68 如图 平行四边形ABCD中 A 1 0 B 0 2 顶点C D在双曲线上 边AD交y轴于点E 且E是AD的中点 则k 过C D两点作x轴的垂线 垂足为F H 过C点作CG DH 垂足为G DH x轴 DH y轴 DG BO 2 又 AE ED AO OH 而A 1 0 故D 1 K ABCD是平行四边形 AB CD ABC ADC BO DH OBC EDH CDG ABO AOB CGD AAS AOB DGC 90 故C 2 k 2 GC AO 1 C D在双曲线上 1 k 2 k 2 解得k 4 69 如图 在菱形ABCD中 B 60 点E F分别从点B D出发以同样的速度沿边BC DC向点C运动 给出以下结论 A AE AF CEF CFE 当点E F分别为边BC DC的中点时 AEF是等边三角形 当点E F分别为边BC DC的中点时 AEF的面积最大 其中正确的结论有个 解 点E F分别从点B D出发以同样的速度沿边BC DC向点C运动 BE DF AB AD B D ABE ADF AE AF 正确 CE CF CEF CFE 正确 BE DF 在菱形ABCD中 B 60 AB BC ABC是等边三角形 当点E F分别为边BC DC的中点时 三线合一 ABE和 ADF是直角三角形 且 BAE DAF 30 EAF 120 30 30 60 AEF是等边三角形 正确 69 如图 在菱形ABCD中 B 60 点E F分别从点B D出发以同样的速度沿边BC DC向点C运动 给出以下结论 当点E F分别为边BC DC的中点时 AEF的面积最大 其中正确的结论有个 AEF的面积 菱形ABCD的面积 ABE的面积 ADF的面积 CEF的面积 AEF的面积是BE的二次函数 当BE 0时 AEF的面积最大 错误 69 在梯形ABCD中 AD BC A 90 C 45 E是CD的中点 AB 2AD 4 则BE 过点D E作DF BC交BC于点F 延长AD BE交于点G 由题易得BF 2 C 45 CF DF 4 BC BF FC 6 E是CD的中点 AD BC DG BC 6 在Rt ABG中 且BG 2BE 四边形ABFD是矩形 70 在梯形ABCD中 AD BC A 90 C 45 E是CD的中点 AB 2AD 4 则BE A 解 如图 分别过点D E作DF BC于点F EH BC于点H EH DF DFB DFC EHB EHC 90 又 A 90 AD BC ABC 90度 四边形ABFD是矩形 AB 2AD 4 AD 2 BF AD 2 DF AB 4 在Rt DFC中 C 45 FC DF 4 E是CD的中点 HC EH 2 FH 2 BH 4 在Rt EBH中 分析 求和的式子中每一项都可以表示成 分析 求和的式子中每一项都可以表示成 上式对k 1 2 3 99求和 得 72 Thepositiverealnumbersolutionfortheequation setis x y z thenx y z 译文 已知方程组的正实数解为 x y z 则x y z 解 令xyz u 则 到U 6时 就有点牵强了 73 已知两个三位数的和仍是三位数且能被9整除 则x y 能被3或9整除的数的特征是 这个数的各位上的数字之和能被3或9整除 解 x y都是0到9的整数 74 方程的正整数解 x y z 是 因为x y z是正整数 由原方程得 经检验 1 2 3 是原方程的根 故原方程的正整数解是 1 2 3 75 一个正整数的平方数 去掉它的个位数 十位数和百位数后 还有一个平方数 则满足要求的最大的正整数 设n为所求 去掉n2的后三位数 得至k2 则 0 n2 1000k2 1000 n2 1000k2 n 32k 1000 n2 1000k2 322k2 1000k2 24k2 6 k 当k 6时 n 192 若n 192 则 1000 n2 1000k2 1932 1000 62 1249 显然不成立 当n 192时 1922 36846满足要求 同余两个整数a b除以正整数m 若余数相同 则称a与b关于模m同余 记作a b modm 这叫做同余式 76 若m n是整数 且n2 3m2n2 30m2 517 求3m2n2的值 由题设的等式 得 如果a b m