数学北师大版九年级上册“象大师一样猜想 ——课题：猜想、证明与拓广”教学设计.doc

“象大师一样猜想课题：猜想、证明与拓广”教学设计佛山市禅城区澜石中学 张美彩 一、教学内容：北师大版九年级数学上册P166至P158二、教学目标1知识与技能目标：通过问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，其周长与面积是已知矩形的周长与面积相同的倍数。让学生经历猜想、证明、拓广的过程，初步掌握寻求一般性的解决方法，理解证明的必要性。2能力与方法目标：感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，提高综合运用知识的能力。3情感与态度目标：在合作交流中扩展思路，培养合作精神与参与意识。三、重点难点分析教学重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程教学难点：在问题解决过程中综合运用所学知识四、课时安排：两课时 辅助教具：多媒体课件五、教学方法：探究式教学法 六、教学过程：（一）创设情境，提出问题教师活动学生活动设计意图创设情境情境1（1）出示一道较简单的数字规律题并要求学生猜想出用n表示出规律。（2）引言：猜想是点燃思维的火花。你们知道有哪些数学猜想呢？自主探索、举手回答 引发学生思维起点情境2（1）请学生回答（歌德巴赫猜想）（2）简单介绍著名的数学大师三个著名的数学猜想的例子：歌德巴赫猜想、费马猜想、费马数猜想。（3）说明猜想中有对的，有错的，有未知对错的。听、读资料，感悟大师们的智慧与执着 学生学习兴趣和说明猜想对错三种可能性提出问题1（1）引言：希望你们能象大师一样对于数学问题能大胆猜想，小心求证。（2）对一个几何问题进行猜想：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，其周长与面积是已知矩形的周长与面积相同的倍数。引言：问题较大，从哪里入手分析呢？一般问题可从特殊问题入手。我们不妨从特殊的矩形正方形和特殊的倍数入手。分析、理解问题，与同伴交流看法 希望，激发斗志。通过引言，逼近目标，使学生自觉地、主动地参与进来。（二）讨论探究，解决问题教师活动学生活动设计意图讨论探究，解决问题活动过程1（1）引导学生说出猜想1：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，其周长与面积是已知正方形的周长与面积的2倍。（2）让学生说方法，师生评议，小结解法：、取特殊值验证边长周长面积已知正方形141所求正方形82这样所求正方形的边长不存在结论：一个反例说明不存在这样的正方形。、证明设已知正方形的边长为，则周长为，面积为。设存在这样的正方形，它的周长为，面积为。边长为. 则有 因为，所以方程组无解。所以不存在这样的正方形。、用相似图形的性质巧妙解释：正方形是相似的，面积之比是周长之比的平方。所以不存在这样的正方形。（3）得出结论：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍动笔解题、合作讨论，利用实物投影仪出示自己的解答过程。通过动脑、动口、动手学习，发展思维，掌握方法。通过列表法，帮助学生理清题骨干。小结解决问题的一般过程是：问题猜想举例验证发现规律证明得出结论。如果能举出反例或者应用了一些特殊的性质也能解答问题。学生发表见解通过小结形成新知，学会解决问题的方法，学会数学地思考变换角度，出问题2（1）引言：对于正方形来说，猜想失败了。你接着会怎么做？（2）整理猜想2：任意给定一个长方形（非正方形），是否存在另一个长方形，其周长与面积是已知长方形的周长与面积的2倍。生答：可看看一般矩形的情况。并提出猜想引导学生进入问题角色，同时变换激发了灵感。活动过程2（1） 引言：你会怎样去求证它呢？（2） 引导学生用长和宽来描述矩形，分小组对同一种情况进行验证。如已知矩形的长和宽分别为2、1或3、1或4、1或3、2等等，小组可任意选择。（3） 各小组代表发言，师生评价。（4） 课件出示其中一种情况的不同解法方法一：（用方程、方程组）解：设存在这样的矩形。设它的长和宽分别为、。长宽周长面积已知矩形2162所求矩形xy124则有 解为 （均0，有意义。） 存在这样的矩形。方法二：（用函数） 满足“加倍”要求的(x,y)就可以看做一次函数y=x+6与反比例函数的图象在第一象限内交点的坐标，由图中得这样的交点存在，所以满足要求的矩形是存在的。（画图象）（5）引言：很多小组小心计算，发现满足要求的矩形是存在的。由此能否肯定其它的情况也成立呢？（不能）要再举例验证吗？（6）引导学生答出：值有无数种取法，不能一一验证，需要引入字母。可部分引入或者一次全部引入字母。（7）课件出示两种情况。如果已知矩形的长和宽分别为n和1 设存在这样的矩形。设它的长和宽分别为、。长宽周长面积已知矩形n12（n+1）n所求矩形4 (n+1)2n则有 出示一组有意义的解，说明存在这样的矩形更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时证明：设存在这样的矩形。设它的长和宽分别为、。长宽周长面积已知矩形nm2（n+m）mn所求矩形xy4 (n+m)2mn则有 出示一组有意义的解，说明存在这样的矩形生答：先举例验证独自解题并在组内交流小组代表发言思考并回答问题学生能列出方程组，有小部分学生能求出解，但分析解是否有意义时有难度，因此在此学生要花较多时间消化。 一次在自我探索和合作交流中发展自己的认知水平，通过展示不同的 特殊值取法和不同的解法，使学生的思维进一步地发散，从而培养思维的广度和深度。后面两种求解和判别解是否有意义时，难度较大，而课件展于过程能很好地突破了难点小结（1）引言：通过求证这个猜想，你获得哪些知识？（2）小结：解决问题的一般过程：问题猜想举例验证发现规律证明得出结论。即要证明一个复杂问题，通常从具体问题入手。可综合运用几何、代数、函数来解题学生发表见解通过小结形成新知，学会解决问题的方法，学会数学地思考（三）巩固新知，应用拓广教师活动学生活动设计意图巩固新知，应用拓广活动1（纵向拓广）（1）引言：还能得出其它猜想吗？（2）整理和肯定学生拓广出的猜想生回答：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍或者一半？ 通过问题的“变式”，把学生的思维推向高潮，培养了学生举一反三的能力。活动2（横向拓广）（1）引言：还能改变图形得出其它猜想吗？（2）整理和肯定学生拓广出的猜想换成对三角形、圆形等的猜想 将新方法又迁移到新问题中。小结（1）引言：刚才是从哪些方面进行拓广的？（2）整理：是从图形方面和数量方面进行拓广的。也可以条件结论换过来拓广。（3）这些猜想可在课后或者以后掌握更多知识时再来求证。学生回答 明确要点，帮助学生形成知识系统。（四）课堂总结 （1）学生谈本节课的收获。 （2）师再次总结解决问题的一般过程 （3）师：与数学大师们的猜想来比较，说明在我们所提出的猜想中也有对的，有错的，也有待证的。继续学习大师们的钻研精神，大胆猜想，小心求证。（五）作业布置写出解决问题3的过程：任意给定一个矩