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中国矿业大学高等数学（上）期中试卷（2009级统考 考试时间 100分钟） 班级 姓名 学号 成绩 1（10分）求极限。2（10分）求曲线的水平渐近线方程。3（10分）求函数在闭区间上的最大值和最小值。4（10分），并判断它是否为极值点。5（10分）设， 求。6（10分）设常数，判断方程在内实根的个数，并说明理由。7（10分）已知曲线L的方程为，（1）讨论L的凹凸性；（2）过点引L的切线，求切线的方程。8（10分）（1）写出的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式；（2）确定常数A、B、C的值，使。9（10分）在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围面积最小（其中，椭圆面积）。10（10分）设在上具有二阶导数，且及。证明：（1）在区间内至少存在一点，使；（2）在区间内至少存在一点，使。中国矿业大学高等数学（上）期中试卷参考评分标准（2009级统考 考试时间 100分钟）1（10分）求极限。解 5分 5分2（10分）求曲线的水平渐近线方程。解：， 6分， 所以，水平渐近线方程为 。 4分3（10分）求函数在闭区间上的最大值和最小值。解，得驻点和不可导点。 4分由 ， 3分比较可得 最大值为，最小值为 3分4（10分），解：，代入方程：，得唯一驻点： x = 1 5分所以，故x = 1为极小点。 5分5（10分）设，求解当时， 3分 3分 3分所以，在点不可导。 1分6（10分）设常数，判断方程在内实根的个数，并说明理由。解 设，当时，单调减少；当时，单调增加； 5分又 ，所以，方程在和内分别有且仅有一个实根。 5分7（10分）已知曲线L的方程为，（1）讨论L的凹凸性；（2）过点引L的切线，求切线的方程。解：（1） 5分（2）切线方程为，设切点，则 得 切点为（2，3），切线方程为 5分8（10分）（1）写出的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式；（2）确定常数A、B、C的值，使。解：（1）麦克劳林公式 ， 3分 （2）由（1）代入已知等式 整理得比较两边同次幂函数得 B+1=A， C+B+=0， ，解得 ，。 7分9（10分）在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围面积最小（其中，椭圆面积）。解 设切点为，椭圆方程两边求导 ， 得斜率 ， 切线方程为 ，即 ， 图形面积 ， 5分设 ， ，得唯一驻点 ，由实际问题知，此时面积最小。故，所求点为。 5分10（10分）设在上具有二阶导数，且及。证明：（1）在区间内至少存在一点，使；（2）在区间内至少存在一点，使。证 （1）不妨设，。因为 ，由保号性定理知，类似地， ， 由介值定
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