数学北师大版七年级上册变化.doc

运用数学变式，实现减负增效面对日新月异的知识经济和飞速发展的信息技术时代，传统的数学教学正面临着严峻的挑战。而中学数学中的变式教学，作为一项具有中国特色的传统教学方式依然绽放光芒，它通过训练引导学生多侧面、多角度、多渠道地思考问题，让学生多探究、多思索、多发现，有效地训练了学生逻辑思维的完备性、深刻性和创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力和应变能力，在课堂教学中起着不可估量的作用。文章从变式教学的原则、例（习）题变式类型、教学应注意的问题等方面作理论与实践上的梳理，进而为教师进行教学设计提供帮助，以期达到提高教学质量的目的。关键词：数学变式；教学原则；变式类型前言：数学变式教学概述随着素质教育的深化，数学教育更强调培养学生应变能力、创新能力，更注重学习向自主型、能力型、智力型、开放型转化。而全面减轻学生过重的课业负担，让学生从题海战术中走出来，更是当前教育界急需解决的一个重大课题。作为数学教师如何解决“减负增效”这一矛盾，其实有很多的做法值得教师去研究、去探讨，而强化数学变式教学是我们达到“减负增效”，提高教学质量最有效的方法之一。著名数学家G.波利亚曾说过：“一个专心的认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”所谓数学变式教学，就是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及例（习）题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景等非本质属性做出有效的变化，使其条件或结论发生改变，而本质属性却保持不变的一种教学方式。利用数学变式教学，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可寻的系列，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解决类似问题的思路、方法，有意识地暴露教师教学与学生学习的思维过程，充分调动学生学习的积极性，主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。学生也不需要大量、重复地做同一样类型的题目，从而帮助学生从题海中走出来，真正实现减负与增效。 变式教学的原则1.恒常有序的原则恒常有序的原则就是在教学设计中始终对提供不同的感性材料保持“形变而质不变”的原则，使学生从不同角度认识事物的本质特征，排除非本质特征，从而确切地掌握概念的内涵，同时通过先采用改变非本质属性的变式材料，再采用改变本质属性的变式材料的方式，防止非本质属性对后继学习产生负迁移，使学生获得的概念更精确、稳定和易于迁移。也就是说数学变式教学中的变式题的设计要有一定的逻辑顺序，即做到“教中有变，且变中有序”，同时，又要有效的排除变式所造成的非本质属性的干扰，从而使学生对数学知识理解得更深刻，同时让数学知识的本质属性在思维的深层“恒定”。如在讲分式的意义时，一个分式的值为零的条件是指分式的分子为零且分母不为零，因此对于： 源题1：若分式的值为0，则的值为 。学生容易得到答案，但实际上对“分子为零且分母不为零”这个条件还不是很清晰，为了帮助出学生巩固对“分母不为零”这个条件的认识，此时设计如下变式练习：变式1-1：当_时，分式的值为零？（分子为零时）变式1-2：当_时，分式的值为零？（当时，分母为零，因此要舍去）变式1-3：当_时，分式的值为零？（此时分母可以因式分解为，因此x的取值就不能等于6且不能等于-1，所以）通过以上的变式训练，可以使学生对一个分式的值为零的条件的理解逐渐加深，对本质的东西“分子为零且分母不为零”有个非常清晰的认识，从而使课堂在有限的时间内效益最大化。2.适度适量的原则适度，即是变式难度不能过高；适量，即是变式内容不宜过多。要求过高，学生思维往往会出现“卡壳”， 使学生产生畏难情绪，影响问题的解决，降低学习的效率，长期还会使学生产生逆反心理，对解题产生厌烦情绪，不利于学生主动探索精神的培养；内容过多，不但会再次造成题海，还会增加无效劳动，加重学生的负担，使学生持续的兴奋强度会降低。过高过多的变式不仅对学生学习课内知识没有帮助，而且超出了学生的接受能力，教学效果也就自然大打折扣了。为此变式题要精选，要以不太难但要学生动脑筋思考为度，使学生肯于思考，乐于思考，善于探索，从中发现规律。变式题的数量也尽量控制在35题之间。3.充分有效的原则抽象的知识不仅要通过熟悉的、广泛的、众多的事物才得以形成，而且在感性向理性的抽象思维活动中，教师除了提供常态的标准材料，还要变换材料的非本质属性，即提供充分的事物变式让学生感知、比较。否则，学生对事物进行抽象概括是容易造成知识内涵增加，外延缩小。如学习垂径定理，学生对定理“如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并平分这条弦所对的弧”理解不透，经常在判断中出错，学生出错的根源在于对定理的关键词“直径、平分、不是直径”没有深刻理解，因此我们可以设计出如下变式题让学生去判断，并在错误的判断中给出反例，让学生理解错误的原因。变式1：如图1，平分弦的直线垂直这条弦（）。变式2：如图2，平分弦的直径垂直这条弦（）。变式3：如图3，平分弦的半径垂直这条弦（）。通过上述三个小判断，指出直径与直线的区别，弦是直径时对结论的影响等，理解为什么要附加条件“这条弦不是直径”，学生的辨析能力得到了提高，思维更加缜密。继续设计下面的变式来提问学生：在“如果圆的直径垂直于弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧”这条性质中“如果圆的直径垂直于弦”后面没有附加条件，这是为什么？ 变式4：如图4，垂直于弦的直线平分这条弦（）。变式5：如图5，不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分（）。图1.图4图3图2图5通过以上变式题保证了学生从具体到抽象地概括是完善的逻辑思维活动，掌握的知识深刻、全面。可以防止学生形式地、机械地背诵、套用公式和定理，提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。例（习）题变式类型1.叙述变式在教学中，教师通过对题目的条件和结论的变换、条件一般化、背景的改变、知识联系实际等方式改变题目的叙述，揭示条件、结论间联系与规律，通过问题叙述的改变，让学生在不同叙述的情况下作出正确的分析，从而培养学生推理、探索、创新的思维能力。1.1变换条件和结论变换条件和结论是将原题的条件和结论都有所变动和加深，但所用的知识不离开“源题”的范围。源题2： 变式2-1： 变式2-2： 变式2-3：变式2-4： 1.2条件一般化条件一般化是指将原题中特殊条件，改为具有普遍性的条件，使题目具有一般性，在引导学生挖掘条件的同时也体会到由特殊到一般的数学思想源题3： 变式3-1：1.3改变背景改变背景是指在某些条件不变的情况下，改变另一些条件的呈现背景，使问题得到进一步深化。在教学中，变换例（习）题的呈现背景，从而激发学生的探求欲望，提高学生的创新能力的目的。变式3-2：变式3-3：变式3-4： 1.4联系实际“数学来源于生活”、“生活中充满了数学”，联系实际就是将抽象的数学问题转化为日常生活中常见的问题。教师根据丰富的生活经验，在例（习）题变式的过程中创设实际生活情景，以引起学生进行联想，让学生知道通过联系实际的问题变式来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。变式3-5： 题型变式就是填空题、选择题、证明题、解答题等不同题型之间进行变换或者将常规题改变成探索性问题等。如：源题4：解答题：变式4-1：选择题：变式4-2：证明题：变式4-3：探索题：上述变式题，不仅使学生了解不同题型之间知识的联系，而且还在巩固抛物线的定义的基础上，同时还复习圆与直线的知识、梯形的中位线定理等知识。3.图形变式在几何教学中，例（习）题的图形往往是以标准方式呈现的，但仅仅只让学生掌握标准图形是很不够的，当标准图形在学生头脑中固定化以后，如果图形的位置、形状、大小等非本质因素发生变化，学生识别图形就感到困难。所以教师在教学中既要考虑运用标准图形，又要考虑充分运用变式图形（尤其是位置变式），有意识的改变图形的非本质属性，而使本质属性保持不变来呈现各种变式图形，使学生更加明确地掌握图形的本质特征，建构完整清晰的知识。源题5：如图3.3-1，是一个钢架，是连接点与中点的支架，求证：。（人教课标版数学八年级（上）三角形全等的条件例1）变式5-1：如图3.3-2，若，那么和全等吗？变式5-2：如图3.3-3，若，那么和全等吗？ACDB图3.3-1BADC图3.3-3图3.3-2ACDB变式5-3：如图3.3-4，若，那么和全等吗？变式5-4：如图3.3-5，若、在同一条直线上，且，那么和全等吗？变式5-5：如图3.3-6，若，那么和全等吗？图3.3-4ACFBDE图3.3-5ACFBDE图3.3-6ACBD通过图形的由标准式向非标准式以及平移、旋转、轴对称等方式变换，在图形不断的变化中使学生掌握这些题的内在联系，从而初步掌握利用边边边定理判定两个三角形全等的方法。4.解法变式图3.4-1BDAC解法变式常称为“一题多解”。 解法变式的实质是以不同的解答方式，反映条件和结论的必然本质联系。通过解法变式，让学生从不同角度思考问题、解决问题，以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。在教学中教师应积极地思考如何引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。从而暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。源题6：已知：如图3.4-1，,平分，且。求证: 证法一：如图3.4-2，在上截取，连，可证，得到，,，又，故。证法二：如图3.4-3，延长至，使，连接，则有，得,由为平角可证结论成立。证法三：如图3.4-4，过分别作的两边的垂线，,为垂足，则，易证，有，故。证法四：如图3.4-5，过点作于点，交于点，连接，易证，则有,，根据垂直平分线的性质有,故。CBADF图3.4-3ABCDE图3.4-2ABDCFE图3.4-4DCBHG图3.4-5分析各种证法，可以发现不同方法之间也是有联系的，四种方法都利用构造全等三角形和等腰三角形进行转化，用到了相同的定理或性质，不同的是辅助线的添加方式，有的是截取，有的是延长，有的是作垂线。从此，做题目不再盲目，不再是过独木桥，而是可以从不同的角度去联想、分析、推理和归纳，从而达到殊途同归的效果。例（习）题的变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习需要，遵循学生的认知规律而进行变式，变式训练有时可设计成集中训练，有时一个题目的变式可设计分几次完成，充分展现知识螺旋式上升的方式。在设计例（习）题的变式题时，教师必须转变观念，发扬教学民主，充分考虑引导学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，恰当合理的设计变式，可使学生在一题多解和多题一解过程中，把知识学活，举一反三、触类旁通，进而激活学生大脑中原有的认知结构，唤醒学生的求知欲，形成了教师乐教、学生乐学的良好局面。参考文献鲍建生、黄荣金、易凌峰、顾泠沅.变式教学研究.数学教学.2003.1-3罗新兵、罗增儒.课堂问题变式浅析. 中学数学教学参考.2005.3谢全苗、刘淑珍.变式教学-研究性学习的一种模式.中学数学教学参考.2004.10余立峰.图形变式在教学中的作用. 中小学数学（初中版）.1996.7-8.黄修博、马帅超.学会变式课本例习题的方法. 中小学数学（初中版）.1997.12王强强、钱莉莉.要注重对例（习）题的挖掘与引申.中小学数学（教师版）.2001.11例题（习题）课的教学程序“知识归析 精选范例 解法变式 方法应用 题目变式、问题解决 总结升华”上述六个环节可根据具体情况有所删减1精选范例范例的来源可以是课本中的例题或习题，也可以是其它的题目，如选自辅导资料的题目或历年高考、中考题等选取的范例应具有“四性”：针对性、基础性、灵活性和可变性即对所学知识的训练有针对性；能用基本知识、基本方法加以解决；解法灵活多变；可以进行题目变式，联题成片在精选范例环节中，教师活动体现在：选择符合上述要求的题目，为学生创设优良的探索氛围学生活动体现在：自主审题，为实施解法变式、题目变式和主动探索、尝试发现作好情感准备2解法变式通过对范例实施解法变式，追求一题多解，解法优化，培养学生思维的广阔性和灵活性在解法变式环节中，教师活动体现在：（1）引导点拨当学生探索解法遇到困难时，及时给予启发、诱导、点拨（2）评价鼓励对学生探索得到的求解思路或方法，给予及时的鼓励性评价，以增强学生的探索信心和精神，激发探索欲学生活动体现在：（1）自主探索解法，求得问题解决（2）求新求异，多角度思考问题，多渠道寻求解决问题的方法（3）相互交流，相互启发，扩大探索成果（4）自主总结各种解法的规律与技巧，形成解题技能3方法应用总结范例的解题规律、方法，并把它运用到其它题目的解决过程，使解题方法得到迁移，形成技能技巧在方法应用环节中，教师活动体现在：（1）设计方法训练变式题组或引导学生通过对范例的变式而得到方法训练题组（2）引导学生运用解决范例的方法解答变式训练题组，并对学生给予引导和点拨学生活动体现在：自主解答变式训练题组，使方法得以迁移，形成技能技巧，提高解题能力4题目变式通过师生对范例的共同探索（包括变化条件、探求讨论、等价变化、逆向探索、图形变化、推广拓广等），获得题目的一类或几类变式，从而培养、锻炼学生的探索创新能力在探索变式环节中，教师活动体现在：（1）诱导启发，激发学生的探索创新欲望（2）适时引导、点拨，指引学生的探索方向（3）及时评价，鼓励学生的探索精神和继续探索的勇气学生活动体现在：（1）在教师的引导下，独立探索，挖掘题目变式（2）小组相互探讨，通过相互交流，相互启发，点燃创新思维的火花（3）人人参与，自由发言，充分体会成功感5问题解决对范例变式得到的数学问题，难易程度不同，应采取灵活多样的解决方式，如课上详解、略解，课下练习、书面作业，课下思考讨论等在问题解决环节中，教师活动体现在：（1）对变式题的分类处理，确定哪些题目课上解决，哪些题目课下思考（2）引导点拨，适时启发引导学生的解题方向，点拔可面向全体，也可面向个体，注意因材施教（3）适时作鼓励性评价学生活动体现在：（1）自主探索，按教师要求，探求规定题目的求解策略与方法（2）相互探讨，对不能自主解决的问题，同学之间、师生之间相互探讨（3）注意解题规律、方法的积累与总结6总结升华师生共同完成总结一是对解题方法、规律的总结升华，对课堂上所用知识、方法加以梳理、概括，纳入知识方法体系；二是对研究问题的方法加以总结，使学生掌握探究学习的方式方法，并逐步使之成为学生的自觉行为复习课的教学程序“知识归析 精选范例 解法探究 探索变式 问题解决 总结升华”应当指出，在一节复习课中可以完成一个循环，也可以完成多个循环对每一个循环，可以是完整的，也可以减少某些环节，这要根据具体情况，根据所选范例的特点而定1知识归析复习课的一个重要任务就是与学生一起回顾本专题的知识内容，使学生重温知识的内在联系，建立知识结构，为创新学习打下坚实的知识基础在知识归析环节中，教师活动体现在：（1）设计针对性、启发性强的问题，激发学生回顾旧知识的兴趣（2）引导学生建立知识结构学生活动体现在：主动参与，积极回顾、探究所学知识的内在本质联系，建立明晰、稳固的知识体系，使所学知识在回顾与反思中得到进一步升华2精选范例复习课所选的范例应具有针对性（针对复习专题的内容和学生的实际情况而选，起点要低，要面向全体学生）、典型性（为巩固“三基”而选，对某个知识点、某种方法、某种思想的训练有代表性，能起到以点代面的作用）、灵活性（解法多样、题型易变、易于实施变式教学）、综合性（体现所复习专题的知识、方法在本学科及其它学科中的应用）、层次性（即范例的选排、变式题的探索要有层次性，如由基础到技巧、由简单到复杂、由单一到综合等）在精选范例环节中，教师活动体现在：选择符合上述要求的题目，为学生创设广阔的探索空间学生活动体现在：自主审题，为实施解法变式、题目变式作好情感准备3解法探究通过对范例实施解法变式，追求一题多解，解法优化，培养学生思维的广阔性和灵活性在解法变式环节中，教师活动体现在：（1）引导点拨当学生探索解法遇到困难时，及时给予启发、诱导、点拨（2）评价鼓励对学生探索得到的求解思路或方法，给予及时的鼓励性评价，以增强学生的探索信心和精神，激发探索欲学生活动体现在：（1）自主探索解法，求得问题解决（2）求新求异，多角度思考问题，多渠道寻求解决问题的方法（3）相互交流，相互启发，扩大探索成果（4）自主总结各种解法的规律与技巧，形成解题技能4探索变式这里所说的“变式”，与前面例题课教学模式中所谈的“变式，相比，其特点是“新、深、广”，即变式题目新，知识渗透深，方法应用广在探索变式环节中，教师活动体现在：（1）诱导启发，创设情境，激发学生的探索、创新欲望（2）适时引导、点拨，指引学生的探索方向（如引导学生进行条件变式、结论变式、图形变式、等价变式、逆向变式、拓广变式等）（3）及时评价，鼓励学生的探索精神和继续探索的勇气学生活动体现在：通过独立探索、小组讨论、集体交流等方式，全员参与、积极思维，最大限度地探索题目的各种变式5问题解决对范例变式得到的数学问题，难易程度不同，应采取灵活多样的解决方式，如课上详解、略解，课下练习、书面作业，课下思考讨论等在问题解决环节中，教师活动体现在：（1）对变式题的分类处理，确定哪些题目课上解决，哪些题目课下思考（2）引导点拨，适时启发引导学生的解题方向，点拔可面向全体，也可面向个体，注意因材施教（3）适时作鼓励性评价学生活动体现在：（1）自主探索，按教师要求，探求规定题目的求解策略与方法（2）相互探讨，对不能自主解决的问题，同学之间、师生之间相互探讨（3）注意解题规律、方法的积累与总结6总结升华师生共同完成总结一是对解题方法、规律的总结升华，对课堂上所用知识、方法加以梳理、概括，纳入知识方法体系；二是对研究问题的方法加以总结，使学生掌握探究学习的方式方法，并逐步使之成为学生的自觉行为教案 11.3角平分线的性质定理及其逆定理的运用 四川省绵阳市科学城一中 朱联朗 教学目标知识与技能能灵活应用角平分线的性质定理及其逆定理进行有关的计算和证明；能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明；培养学生的推理、思维、提出问题和解决问题能力过程与方法经历寻找解典型问题的过程，进一步发展推理证明意识和能力；情感态度价值观通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略；教学重点 角平分线的性质定理和逆定理的典型问题教学功能的开掘与操作和解数学题的思想方法；教学难点 角平分线的性质定理和逆定理相关题的演变应用.解决办法 通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法.教学方法 启发式，问题讨论教具学具准备 多媒体、三角板教学过程同学们，上午好！非常高兴地能和大家一块儿进一步角平分线的性质定理及其逆定理的运用（一）知识归纳问题1 请同学们写出角平分线的性质定理及其逆定理；证明它们时将用到三角形全等判定公理的什么推论？问题2 这两个定理的题设和结论分别是什么？教师在黑板上板书课题：11.3角平分线的性质定理及其逆定理的运用，后到学生中巡视，发现出错漏的学生予以指导，纠正，并作为后继讲解的话题师：角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；逆定理是到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。关键词“角平分线”、“任意一点”、 “距离”、“相等”。NMCABP（二）精选范例例题精析 问题3 如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P求证：点P到三边AB、BC、CA 的距离相等（人教课本P21例题）理解题意：请同学们思考，问题3的已知条件是什么，有几个？结论是什么？怎么表示图中点P到三边AB、BC、CA 的距离？本例题两个已知事项，一个结论项 。应抓住“角平分线”和“距离”这几个字。（三）解法探究如果过点P作三条边的垂线段，用角平分线的性质可得DNMECABPFPD = PE，PE = PF，故PD = PE = PF，那么点P到三边AB、BC、CA的距离相等，当然也可以根据BDPBEP (AAS) 可得PD = PE和CFPCEP (AAS) 可得PE = PF，故PD = PE = PF，如图所示证法一：（提示：利用角平分线的逆定理）证明 过点P分别作PD、PE、PF垂直于AB、BC、CA，垂足依次为点D、E、F PB平分ABC，PC平分ACB， PD = PE，PE = PF， PD = PE = PF证法二：（提示：利用三角形全等AAS）问题4 把此题的条件和结论对调，如图，点P到ABC的三边AB、BC、CA 的距离相等，求证：BM、CN是ABC的角平分线 证法一：（提示：利用角平分线的性质）证法二：（提示：利用三角形全等HL）点评 遇到有角的平分线，常常向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或三角形全等，转化解决问题（四）探索变式与问题解决变式1 在原题目的基础上，利用角平分线的性质还可得到：（1）点P在BAC的平分线上；（2）BPC = 90 +A；（3）面积关系：（r = PD，ha表示BC = a边上的高，下同）变式2 如图，点P是ABC的外角MBC，NCB的平分线的交点，则点P到AB、BC、CA的距离相等学生互相讨论，教师巡视班级，观察监督学生的活动情况，也可参与到学生的讨论中去；师生共同分析讨论，探究问题的解答,让学生体验成功。证明 过点P分别作PD、PE、PF垂直于AB、BC、CA，垂足依次为点D、E、FPDBFENAMC PB平分MBC，PC平分NCB， PD = PE，PE = PF， PD = PE = PF教师PBNAMC说明 在变式2中，利用角平分线的性质还可证得：点P在BAC的平分线上；BPC = 90A变式3 如图，若点P是ABC一个内角A和外角MBC的平分线的交点，则点P到AB、BC、CA的距离相等证明方法与变式2相同l3l2l1教师说明 在变式3中，利用角平分线的性质及外角的性质还可以得到：点P在外角BCN的平分线上；P =ACB变式4 如图，l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有多少 处（人教P27 6题改编）（答案：4）在变式3和变式4中,教师重点关注(1)不同层次的学生对角的平分线的性质的理解程度;(2)对学生在练习中的问题进行针对性的分析、讲解。通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的