平面几何-五大定理及其证明.doc

平面几何 定理及其证明一、 梅涅劳斯定理1梅涅劳斯定理及其证明G定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有 证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G因为CG / AB，所以 （1）因为CG / AB，所以 （2）由（1）（2）可得，即得2梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F，若，那么，D、E、F三点共线证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有因为 ，所以有由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合即得D、E、F三点共线二、 塞瓦定理 3塞瓦定理及其证明定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有 证明：运用面积比可得根据等比定理有，所以同理可得，三式相乘得4塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，若，那么直线CD、AE、BF三线共点证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有 因为 ，所以有由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合即得D、E、F三点共线三、 西姆松定理5西姆松定理及其证明定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线证明：如图示，连接PC，连接 EF 交BC于点D/，连接PD/因为PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE =FEP因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC =BCP，即FAE =BCP所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，即得D、E、F三点共线EM四、 托勒密定理 6托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有 ABCD + BCAD = ACBD证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE =BAM因为ADB =ACB，即ADE =ACB，所以ADEACB，即得，即 （1）由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABEACD即得 ，即 （2）由（1）+（2）得 所以ABCD + BCAD = ACBD7托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形ABCD满足ABCD + BCAD = ACBD，那么A、B、C、D四点共圆证法1（同一法）：在凸四边形ABCD内取一点E，使得，则可得ABCD = BEAC （1）且 （2）则由及（2）可得于是有 ADBC = DEAC （3）由（1）+（3）可得 ABCD + BCAD = AC( BE + DE )据条件可得 BD = BE + DE，则点E在线段BD上则由，得，这说明A、B、C、D四点共圆8托勒密定理的推广及其证明 定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有 ABCD + BCAD ACBD证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，使得，则可得ABCD = BEAC （1）且 （2）则由及（2）可得于是 ADBC = DEAC （3）由（1）+（3）可得 ABCD + BCAD = AC( BE + DE )因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知ABCD + BCADACBD所以BE + DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE + DE BD所以ABCD + BCAD ACBD五、 欧拉定理9欧拉定理及其证明定理：设ABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示则有G、O、H三点共线（欧拉线），且满足证明（几何法）：连接OH，AE，两线段相交于点G/；连BO并延长交圆O于点D；连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC，如图 因为 CDBC，AHBC，所以 AH / CD同理CH / DA所以，AHCD为平行四边形可得AH = CD而CD = 2OE，