数学北师大版八年级下册一师一优课《反证法》教学设计.doc

反证法教学设计学情分析：综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数学问题时常用的思维方式。反证法是间接证明的一种基本方法，但反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。教学目的：1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。3、情感态度：让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。重点难点：反证法证明命题的过程教学方法：互动式教学教学过程：（一） 情景激疑 理解领会：音频播放：相传在古代有一个贤臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他过去对国有功，采用了一个由命运来最后裁定的办法，用两张纸片，一张上写活字，一张上写死字，处决前由它来抽，抽到活字可赦免，而奸臣阴险歹毒，命人用两张纸片上都写上死字，凑巧这个诡计被贤臣的朋友知道了，悲痛地告诉了他，并表示要和他一起揭露奸臣的阴谋，这个贤臣想了想，高兴地说：“我有救了！”提问：请你们猜猜他的办法是什么？音频播放：他叫这个朋友不要声张，处决前抽纸片时，只见他抽出一张纸片谁也不让看就吞了下去，监斩官只好看剩下的纸片是什么字了。剩下的字无疑是个“死”字，于是这个贤臣就被赦免了。提问：贤臣为什么能死里逃生？预设：贤臣反面考虑问题，“死”字的反面是“生”字。导入课题：这就是反面思考问题的威力，能在最后危机时刻挽救一个生命，这也是这位贤臣的智慧，智慧的力量是庞大的，在当地社会，人需要智慧，国家需要智慧，个人的成功和国家的强大都离不开智慧的支撑，这节课我们就来学习这种反面解决问题的智慧，这就是我们今天要学习的“反证法”。（板书课题）设计意图：从小故事入手，不仅能激发学生的兴趣，也能更好的说明反证法的推理思想。（二）合作探究 体验发现认识反证法问题1：请同学们尝试证明命题一个三角形中不可能有两个直角。已知：在ABC中，ABAC, 求证：B C”。在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,C90”，请问结论成立吗？请说明理由。（课件演示，学生分组讨论交流）问题2：证明一个命题的方法可以正面直接证明，还可以如何证明？小结：没有从正去证明，而是从结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。反证法定义：假设命题结论的反面成立，从这个假设出发，经过推理得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果，证明结论否定不成立，间接肯定原命题的结论成立的证明方法叫做反证法。问题3：:通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，小组讨论总结应用反证法的步骤。小结：证明步骤：反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。设计意图： 让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤。问题3：这些步骤中，你认为哪个步骤最重要？小结：在这三个步骤中，最重要的是第一步，如果找不到问题的反面，证明就没有力度，同学们在运用反证法的时候要注意这个问题。其次是第二步，要从假设出发找出矛盾。下面我们一起来练习：写出下列各结论的反面：（1）a/b（2）a0（3）b是正数（4） 至多有一个（5）至少有一个设计意图： 让学生在体验、探究中学到了知识，体现了学生的主体地位。（三）反思提炼 加深认识1、典例分析例1：已知：如图，在ABC中,若C是直角， 求证：B一定是锐角.教学活动：学生讨论完成。设计意图： 学生直接证明可能存在困难，但以填空形式出示学生能较好的理解并完成证明过程。例2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。教学活动：学生独立思考，在练习本上完成。例3：若a1、a2、a3、a4、a5都是实数，且a1+a2+a3+a4+a51试说明这五个数中至少有一个大于或等于1/5。教学活动：让学生分组讨论，合作完成第三个命题证明，熟练反证法的证明过程。设计意图：对不同的形式的命题做反设，进一步熟练反证法证。2、 应用反证法的情形：提问：完成了这么多反证法的练习，请同学们总结，哪些命题会用反证法？的情形？应用反证法的情形：直接证明困难;需分成很多类进行讨论结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”-类命题；结论为“唯一”类，存在性命题；存在无穷多个质数否定类命题：设计意图：对不同的形式的命题做反设，为证明中的反设步骤铺垫，突破第一个难点，突出归谬矛盾的不同种类。3、 常用护互为否定的表述形式教学活动：学生口答完成。正面词等于大于小于是都是至少一个至多n个否定不不等于不不大于（小于或等于）不不小于（大于或等于）不不是不不都是一一个也没有至至少（n+1）个设计意图：反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的。C（四）举一反三 学以致用诸葛亮与反证法。视频播放： 三国时代，诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，诸葛亮冷静思考之后，传令打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声优雅。司马懿来到城前，见此情景，心中疑惑，他想：“诸葛亮一生聪明过人，谨慎有余，从不冒险。今天如此这般，与其一生表现矛盾，恐怕城内必有伏兵，故意诱我入城，决不中计也！”于是急令退兵。这就是家喻户晓的“空城计”。展开讨论：诸葛亮面临的问题是什么？从正面考虑该如何解决这个问题？诸葛亮是如何考虑的？点评：诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面的方法（用少数老弱军士去拼杀）很难或根本无法解决的问题，诸葛亮利用了司马懿的心理上的矛盾，才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的。这就是家喻户晓的“空城计”。教学活动：两位学生讲述三国中应用反证法的故事草船借箭、曹操败走好华容道。设计意图：学生生动幽默地将讲述诸葛亮应用反证法的故事，课堂反应热烈。（五）矢志不渝情系反证法导入：我们在感受反证法的快捷、方便的同时，不能忘记那些利用反证法作出突出贡献的科学家，让我们一起来认识矢志不渝情系反证法的俄国科学家罗巴切夫斯基。老师讲解：非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立带来了近百年来数学的巨大进步，对现代物理学、天文学都产生了深远的影响。但是，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基在1815年提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者“欧洲数学之王”德国的高斯也由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，不肯公开支持他的工作。其实，凭高斯在数学界的声望和影响，完全有可能减少罗巴切夫斯基的压力，促进学术界对非欧几何的公认。然而，在顽固的保守势力面前他却丧失了斗争的勇气。高斯的沉默和软弱表现，不仅严重限制了他在非欧几何研究上所能达到的高度，而且客观上也助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击，晚年的罗巴切夫斯基身体变得越来越多病，眼睛逐渐失明，最后终于什么也看不见了，他在苦闷和抑郁中度过生命的最后一段路程。然而，历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点和见解作出正确的评价。他去世8年后，1868年，非欧几何得到学术界的高度评价和一致赞美，这时的罗巴切夫斯基则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。提问：通过讲述上面的故事，同学们有什么感触？预设：我们了解了反证法背后的辛酸历史，学习数学家坚持真理畏权势、锲而不舍的奋斗精神。小结：在科学探索的征途中，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗。我们在学习数学知识的同时，更应该学习数学家的这种品质，这也是我们学习数学的真谛。（六）课堂小结 知识升华1、 反证法定义2、 反证法步骤（七）走出课堂 联系生活小结：正难则反，直接的思路较抽象较困难时，其反面就会较具体较容易，它不仅能体现出证明者的智慧，还能体现出数学的概括性和美丽！反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，它能训练我们的逆向思维，培养我们思维的严密性，促进我们数学思维的形成，只要我们正确熟练运用，就能做到精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨，提