2012年上海高考数学(文科)试卷(全Word版,完美解析版).doc

2012年上海高考数学（文科）试卷 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1计算：= （i为虚数单位）. 2若集合，则= . 3函数的最小正周期是 . 4若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 5一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该圆柱的表面积为 . 6方程的解是 .7有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则 . 8在的二项展开式中，常数项等于 .9已知是奇函数. 若且.，则 .OMxla10满足约束条件的目标函数的最小值是 .11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .13已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .14已知.各项均为正数的数列满足，.若 ，则的值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ ）（A）.（B）.（C）.（D）.16对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件.17在中，若，则的形状是（ ）（A）钝角三角形.（B）直角三角形.（C）锐角三角形.（D）不能确定.18若，则在中，正数的个数是（ ）（A）16.（B）72.（C）86.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）PABCD19如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海xOyPA里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分） （3）设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分）23对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,m）.求证：（k=1,2,m）；（6分） （3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.2012年上海高考数学（文科）试卷解答 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1计算：= 1-2i （i为虚数单位）. 解析 . 2若集合，则= .解析 ，AB=. 3函数的最小正周期是 p . 解析 ，T=. 4若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 解析 ，所以的倾斜角的大小为. 5一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该圆柱的表面积为 6p . 解析 2pr=2p，r=1，S表=2prh+2pr2=4p+2p=6p. 6方程的解是. 解析 ，.7有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则 . 解析 易知V1,V2,Vn,是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 . 8在的二项展开式中，常数项等于 -20 .解析 展开式通项，令6-2r=0，得r=3，故常数项为.9已知是奇函数. 若且.，则 3 . 解析 是奇函数，则，,所以.xyOAB2-2-11CD10满足约束条件的目标函数的最小值是 -2 . 解析 可行域是如图的菱形ABCD，代入计算，知为最小.11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 解析 设概率p=，则，求k，分三步：选项目相同的二人，有种；确定上述二人所选相同的项目，有种；确定另一人所选的项目，有种. 所以，故p=.12在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上ABDCyx21(O)MN的点，且满足，则的取值范围是 1, 4 . 解析 如图建系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,1). 设0,1，则， 所以M(2,t)，N(2-2t,1)，故=4-4t+t=4-3t=f(t)，因为t0,1，所以f (t)递减，所以()max= f (0)=4，()min= f (1)=1.13已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .xyABC11图1(O)NxyODM1P图2解析 如图1， 所以， 易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MND与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.14已知.各项均为正数的数列满足，.若 ，则的值是. 解析 (*)，所以有：， ；又，得，令，则,由题设，所以，变形(*)为，则，故，所以.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ D ）（A）.（B）.（C）.（D）. 解析 实系数方程虚根成对，所以也是一根，所以-b=2，c=1+2=3，选D.16对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ B ）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件. 解析 取m=n=-1，则方程不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当然有，即条件必要，故选B.17在中，若，则的形状是（ A ）（A）钝角三角形.（B）直角三角形.（C）锐角三角形.（D）不能确定. 解析 由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得， 所以C是钝角，选A.18若，则在中，正数的个数是（ C ）xya2a3a4a6a5a8a9a13a12a11a10a7a14a（A）16.（B）72.（C）86.（D）100. 解析 令，则，当1n14时，画出角序列na终边如图， 其终边两两关于x轴对称，故有均为正数， 而，由周期性可知，当14k-13n14k时，Sn0， 而，其中k=1,2,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有1001486个，选C.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）PABCD19如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）PABCDE解（1）， 2分 三棱锥P-ABC的体积为. 6分 （2）取PB的中点E，连接DE、AE，则 EDBC，所以ADE（或其补角）是异面直线 BC与AD所成的角. 8分 在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2， ，所以ADE=. 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）解（1）由，得. 由得. 3分 因为，所以，. 由得. 6分 （2）当x1,2时，2-x0,1，因此. 10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. 14分21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. 6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分22在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分） （3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分）解（1）双曲线，左焦点. 设，则， 2分 由M是右支上一点，知，所以，得. 所以. 5分 （2）左顶点，渐近线方程：. 过A与渐近线平行的直线方程为：，即. 解方程组，得. 8分 所求平行四边形的面积为. 10分 （3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即 (*).由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. ，所以 . 由(*)知，所以OPOQ. 16分23对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1