探究活动行程问题探究.doc

行程问题的探究上海民办桃李园实验学校 斯宜军一、教学目标：1、能利用公倍数及最小公倍数解决行程问题中一类同时成立的问题2、经历探究行程问题中同时成立的过程，体验分类讨论的思想3、通过一题多解的过程，提升数学思维的严密性二、教学重点：能通过读题、审题、探究体会“同时成立”三、教学难点：能用列举法来描述有限种结果，能了解同时成立的问题的处理策略。四、教学过程：（一）导入新课小明、小杰分别站在边长为12米的正方形道路ABCD的顶点D、C处，他们开始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走。问：(1)小明、小杰分别从一个顶点走到下一个顶点需要多少时间？答：知道路程和速度求时间，则小明、小杰分别需要12秒、10秒(2)小明、小杰分别走一圈回到起点需要多少时间？答：小明、小杰走完 一圈分别需要48秒、40秒（二）讲解新课小明、小杰分别站在边长为12米的正方形道路ABCD的顶点D、C处，他们开始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走。问：（1）经过多少秒，小明第一次（初始位置除外）到达点D处，且小杰第一次到达点C处？经过多少秒，小明第二次到达点D处，且小杰第二次到达点C处？有什么规律？答：小明每走一圈回到D处需要48秒，小杰每走一圈回到C处需要40秒，则两人同时回到出发点时间为48和40的公倍数。那么第一次同时回到出发点为48和40的最小公倍数，即为240秒；第二次回到出发点用时为480秒；规律：两人同时第次回到出发点用时为240秒。（为正整数）（2）经过多少秒，小明和小杰第一次都处在正方形的顶点处？有什么规律？答：小明每到下一个顶点需要12秒，小杰每到下一个顶点需要10秒，则两人同时处在顶点处的时间为12和10的公倍数。那么第一次处在顶点处的时间为12和10的最小公倍数，即为60秒。规律：两人同时第次处在顶点处用时为60秒。（为正整数）（3）经过多少秒，小明和小杰第一次都在正方形的同一顶点处？答：法（1）先考虑在顶点处，再通过列举法找到在同一顶点的情况。因为每经过240秒，小明和小杰所处的位置均恢复到初始位置，即小明在D处，小杰在C处。所以我们只需要考虑240秒内，两人同在顶点的所有可能结果。又因为两人每60秒同时在顶点处，所以列表如下：时间60秒120秒180秒240秒小明所处位置CBAD小杰所处位置ACAC所以，第一次两人都在正方形同一顶点处用时为180秒法（2）用行程问题中相遇的方法来解决。（为非负整数）当=0时，即为第一次相遇，解得师问：你们觉得这个答案严谨吗？需要检验吗？带领同学们再次认真审题，并鼓励他们提出自己的想法。结论：此时仅考虑在同一点，并没有考虑这个点是否为顶点。所以需要检验所得的时间是否为60的整数倍。经检验（为非负整数）符合题意（4）小明和小杰能同时出现在正方形的同一顶点D处吗？为什么？可能出现小明在点D而小杰在点B处的情况吗？答：因为每经过240秒，小明和小杰所处的位置均恢复到初始位置，即小明在D处，小杰在C处。所以我们只需要考虑240秒内，两人同在顶点的所有可能结果。又因为两人每60秒同时在顶点处，所以列表如下：时间60秒120秒180秒240秒小明所处位置CBAD小杰所处位置ACAC所以，由列表可知，两人不可能同时出现D处；也不可能出现小明在点D处而小杰在点B处或点C处。（三）巩固练习小明、小杰分别站在边长为12米的正方形道路ABCD的顶点D、C处，他们开始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按逆时针方向匀速行走。问：（1）经过多少秒，小明和小杰第一次都在正方形的同一顶点处？有什么规律？（2）小明和小杰能同时出现在正方形的同一顶点D处吗？为什么？可能出现小明在点D而小杰在点B处的情况吗？（四）小结小组交流说一说这节课你的收获（五）作业布置小明、小杰分别站在边长为12米的正方形道路ABCD的顶点D、B处，他们开始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走。问：（1）经过多少秒，小明和小杰第一次都在正方形的同一顶点处？有什么规律？（2）小明和小杰能同时出现在正方形的同一顶点D处吗？为什么？可能出现小明在点D而小杰在点B处的情况吗？五、教学设计说明（一）关于内容的说明本节课内容安排在第六章一次方程（组）和一次不等式（组）结束后的探究活动中，用意就是通过具体的探究活动来掌握同时成立处理策略。“同时成立”从集合的角度来看即为求两个集合的交集的过程。所以可以采用分别求出两者独立成立的情况，再求公共部分。（二）关于教法的说明1、为了降低难度，故设计了引例。让学生简单熟悉下行程问题中知道路程和速度求时间，知道环线行驶中走圈所用时间为单圈的整数倍。为引出下面的公倍数做好铺垫。2、新课讲解中同样遵循的是教材中原有的顺序，先设计的问题是两者同时回到出发点所用时间，所以时间既是48的倍数也是40的倍数，即为两数的公倍数。从而找到规律得出结论，每240秒两人都回到出发点，回到初始状态，为第三题的思考做了铺垫。这里存在了周期性，教学中可以适当介绍。如同你每周四体育活动课，那么你再经过几天可以上体育活动课呢？同样，第二题也是为第三题做铺垫的，第二问得到的结论是每60秒两人都处在顶点处。本节课的难点就落在第三问中，我采用了两种解法剖析了这道题，带领同学们用两种策略处理这里的同时成立。法一，先从满足在顶点处入手，再考虑周期性，故可以在240秒内列举法表示所有可能的结果，从结果中找到处在同一顶点的情况。这个逻辑是合理的。法二，则是先满足同一点这个条件，即两者相遇了，从而解得当=0时，即为第一次相遇，解得。但往往学生会忽略再去考虑此时相遇的点是否在顶点处了