2012年上海高考数学(理科)试卷(全Word版,填空、选择完.doc

2012年上海高考数学（理科）试卷 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1计算：= （i为虚数单位）. 2若集合，则= . 3函数的值域是 . 4若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 5在的二项展开式中，常数项等于 . 6有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则 . 7已知函数（a为常数）.若在区间1,+)上是增函数，则a的取值范围是 . 8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9已知是奇函数，且.若，则 .xOMlaOMxla10如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式，则 .11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12在平行四边形ABCD中，A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .13已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .ABCD14如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ ）（A）.（B）.（C）.（D）.16在中，若，则的形状是（ ）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.17设，. 随机变量取值、的概率均为0.2，随机变量取值、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差，则（ ）（A）.（B）.（C）.（D）与的大小关系与、的取值有关.18设，. 在中，正数的个数是（ ）ABCDPE（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海xOyPA里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分） （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）23对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P. （1）若x2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）2012年上海高考数学（理科）试卷解答 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1计算：= 1-2i （i为虚数单位）. 解析 . 2若集合，则= . 解析 ，AB=. 3函数的值域是 . 解析. 4若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角函数值表示）. 解析 方向向量，所以，倾斜角a=arctan2. 5在的二项展开式中，常数项等于 -160 . 解析 展开式通项，令6-2r=0，得r=3，故常数项为. 6有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则 . 解析 易知V1,V2,Vn,是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 . 7已知函数（a为常数）.若在区间1,+)上是增函数，则a的取值范围是 (-, 1 . 解析令，则，由于底数，故， 由的图像知在区间1,+)上是增函数时，a1.POrlhPl2pr 8若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 . 解析 如图，l=2，又2pr2=pl=2pr=1， 所以h=，故体积. 9已知是奇函数，且.若，则 -1 .xOMla 解析 是奇函数，则，所以， 1.10如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式，则 . 解析 的直角坐标也是(2,0)，斜率，所以其直角坐标方程为， 化为极坐标方程为：， ，即.（或）11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 解析 设概率p=，则，求k，分三步：选二人，让他们选择的项目相同，有种；确定上述二人所选择的相同的项目，有种；确定另一人所选的项目，有种. 所以，故p=.12在平行四边形ABCD中，A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别xyABCDMN是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 2, 5 . 解析 如图建系，则A(0,0)，B(2,0)，D(,)，C(,). 设0,1，则， 所以M(2+,)，N(-2t,)，故=(2+)(-2t)+=，因为t0,1，所以f (t)递减，()max= f (0)=5，()min= f (1)=2.评注 当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点：M在B（N在C）和M在C（N在D），而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间！出题大虾太给蒙派一族面子了！13已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).xyABC15图1NxyODM15P图2函数的图像与x轴围成的图形的面积为. 解析如图1， 所以， 易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MNO与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.ABCDE评注对于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。14如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .ADBEC 解析 作BEAD于E，连接CE，则AD平面BEC，所以CEAD， 由题设，B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE. 取BC中点F，连接EF，则EFBC，EF=2，四面体ABCD的体积，显然，当E在AD中点，即B是短轴端点时，BE有最大值为b=，所以. 评注 本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大！当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天！二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ B ）（A）.（B）.（C）.（D）. 解析 实系数方程虚根成对，所以也是一根，所以-b=2，c=1+2=3，选B.16在中，若，则的形状是（ C ）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.解析 由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得， 所以C是钝角，选C.17设，. 随机变量取值、的概率均为0.2，随机变量取值、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差，则（ A ）（A）.（B）.（C）.（D）与的大小关系与、的取值有关.解析=t，+)=t， + ； 记，同理得 ， 只要比较与有大小， ，所以，选A.评注 本题的数据范围够阴的，似乎为了与选项D匹配，若为此范围面困惑，那就中了阴招！稍加计算，考生会发现和相等，其中的智者，更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值，故比第一组更“集中”、更“稳定”，根据方差的涵义，立得而迅即攻下此题。18设，. 在中，正数的个数是（ D ） xya2a12a13a24a23a26a27a49a48a38a37a（A）25.（B）50.（C）75.（D）100. 解析 对于1k25，ak0（唯a25=0)，所以Sk（1k25）都为正数. 当26k49时，令，则，画出ka终边如右， 其终边两两关于x轴对称，即有， 所以+0 +=+，其中k=26,27,49，此时，所以，又，所以，从而当k=26,27,49时，Sk都是正数，S50=S49+a50=S49+0=S490.对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上，可选D. 评注 本题中数列难于求和，可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号，为此，需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想。而重中之重，是看清楚角序列的终边的对称性，此为攻题之关键。ABCDPE三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）解（1）因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD， 从而CDPD. 3分ABCDPExyz 因为PD=，CD=2， 所以三角形PCD的面积为. 6分 （2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，. 8分 设与的夹角为q，则 ，q=.ABCDPEF 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 解法二取PB中点F，连接EF、AF，则 EFBC，从而AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）解（1）由，得. 由得. 3分 因为，所以，. 由得. 6分 （2）当x1,2时，2-x0,1，因此. 10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. 14分21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. 6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分22在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分） （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）解（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：. 过点A与渐近线平行的直线方程为，即. 解方程组，得. 2分 所以所求三角形的面积1为. 4分 （2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切， 故，即. 6分 由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. 又，所以 ，故OPOQ. 10分 （3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直于x轴时， 设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为. 由，得，所以.同理. 13分 设O到直线MN的距离为d，因为， 所以，即d=. 综上，O到直线MN的距离是定值. 16分23对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P. （1）若x2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式.（